Mines Physique 1 MP-MPI 2024

A2024 --- PHYSIQUE I MP

Cm

Concours commun

Mines-Ponts

ÉCOLE DES PONTS PARISTECH,
ISAE-SUPAERO, ENSTA PARIS,
TÉLÉCOM PARIS, MINES PARIS,
MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY,
IMT ATLANTIQUE, ENSAE PARIS,
CHIMIE PARISTECH - PSL.

Concours Mines-Télécom,
Concours Centrale-Supélec (Cycle International).

CONCOURS 2024
PREMIÈRE ÉPREUVE DE PHYSIQUE

Durée de l'épreuve : 3 heures

L'usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente
sur la première page de la copie :

PHYSIQUE I - MP

L'énoncé de cette épreuve comporte 6 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énoncé, il le
signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des 
initiatives qu'il est
amené à prendre.

Les sujets sont la propriété du GIP CCMEP. Ils sont publiés sous les termes de 
la licence
Creative Commons Attribution - Pas d'Utilisation Commerciale - Pas de 
Modification 3.0 France.
Tout autre usage est soumis à une autorisation préalable du Concours commun 
Mines Ponts.

Physique I, année 2024 -- filière MP

Des objets astronomiques, de Mars à Sirius

Ce sujet comporte deux problèmes totalement indépendants étudiant différents 
aspects de l'as-
tronomie (la science des planètes et des étoiles) et en particulier de 
l'astrophysique (l'étude
des modèles physiques des astres). Le problème I décrit des notions connues 
depuis le XVIT°
siècle (la mécanique céleste des trajectoires des planètes et les lois de 
KEPLER et NEWTON).
Le problème IT propose une étude de quelques propriétés énergétiques des 
étoiles en comparant
leur énergie gravitationnelle avec des termes comparables liés aux autres 
interactions au sein
de l'étoile.

Pour toutes les applications numériques, on se contentera de deux chiffres 
significatifs. Les
notations des constantes fondamentales utiles, des données numériques et des 
rappels de syntaxe
Python sont regroupés en fin d'énoncé. On pourra noter ü,,ü,,ü, la base 
cartésienne associée
au repère (Oxyz) et à,,üg la base locale associée aux coordonnées polaires r,0 
du point M
situé dans le plan (Oxy), cf. figure 1.

U

üp

M

"y À \ x

\

AT

AO > > X
O Ûr

FIGURE 1 -- Base locale associée aux coordonnées polaires

... d
On posera j* -- --1. On notera par un point les dérivées temporelles, f -- _. 
Les vecteurs w

sont surmontés d'une flèche, sauf les vecteurs unitaires notés à.

I Les lois de Kepler et l'unité astronomique

Ce problème est consacré aux lois de KEPLER (1609 et 1618) et à une mesure 
historique de
l'unité astronomique par CASSINI (1672). On notera que ces travaux sont toux 
deux nettement
antérieurs à la publication de la loi de la gravitation universelle par NEWTON 
(1687).

On s'intéressera en particulier aux orbites de la Terre et de Mars, la planète 
la plus proche de la
Terre avec une trajectoire extérieure. Le plan de sa trajectoire est presque 
confondu (à moins de
2° près) avec le plan de l'écliptique (la trajectoire terrestre). Ces deux 
trajectoires sont proches
de cercles autour du Soleil.

IA Mouvements d'une planète sous l'action d'un astre attracteur

On étudie ici, relativement à un référentiel galiléen (Ro), le mouvement d'un 
astre Z assimilé
à un point P de masse mP sous l'action du seul champ de gravitation exercé par 
un autre astre

attracteur 4 de masse m1 et de centre fixe À. On notera r = AP, r = |r| et r = 
rü,.

D -- 1. Quelle condition (inégalité forte) permet de considérer À comme fixe ?

Quelle est l'expression de la force gravitationnelle F exercée par 7 sur Z si 
les deux
astres sont assimilés à des points ?

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Physique I, année 2024 -- filière MP

L -- 2. Que devient l'expression de F si P reste ponctuel tandis que l'astre , 
de rayon R1 < r, possède une répartition de masse à symétrie sphérique ? On justifiera sa réponse. D -- 3. Cette expression reste-t-elle encore applicable si Z et 7 sont tous deux à symétrie sphé- rique ? On pourra, dans tout ce qui suit, considérer @# et À comme des points matériels À et P. 1 -- 4. Montrer que le mouvement de P est plan; on notera (Axy) le plan de ce mouvement. Définir la constante C issue de la loi des aires pour ce mouvement et relier cette constante aux coordonnées polaires (r,0) du mouvement de P dans (Axy). On note v la vitesse de P et ü,, a les vecteurs de la base polaire associée au mouvement de P. v est fonction du temps et donc aussi de l'angle polaire 0. -- üo + EUR du D -- 5. Exprimer -- et en déduire que (0) = C où EUR est une constante d'intégration et do p un paramètre du mouvement qu'on exprimera en fonction de EUR, mA et de la constante universelle de gravitation G. Montrer que le vecteur EUR est sans dimension et situé dans le plan (Axy) du mouvement. Sans perte de généralité, on peut supposer que EUR = eù, avec e = [fe] > 0.
Qi -- 6. Exprimer r et r4 en fonction de C, p, e et 6.

En déduire r en fonction de p, e et 0 et montrer que e < 1 pour un mouvement borné. Quelle est, dans ce cas et sans démonstration, la nature de la trajectoire ? On admettra que le mouvement est périodique de période T'. I.B Période du mouvement Qi -- 7. En utilisant par exemple la question précédente, montrer que T = Tp"/? /VGma où la 2 L dô constante Z s'obtient par le calcul de l'intégrale Z -- | o (1+ecosô)? DJ -- 8. Dans le cas particulier où e = 0, préciser la nature de la trajectoire et l'expression de T'; en déduire une des lois de Kepler, préciser laquelle et proposer son énoncé « historique » sous forme d'une phrase en français. Le calcul de l'intégrale Z en fonc- tion de e peut être mené de ma- 9.5 - nière numérique (au moyen d'un script Python) ; les résultats sont illustrés figure 2. 9.0 - 8.5 - DJ -- 9. Proposer l'écriture des lignes de code Python permettant le tracé de la figure 2 : courbe en trait 7.5 - plein puis mise en exergue d'une dizaine de valeurs 7.0 - régulièrement réparties pou 0U