Mines Physique 2 MP 2004

ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES,
ECOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AERONAUTIQ'UE ET DE L'ESPACE
DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TELECOMMUNICATIONS,
DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT--ETIENNE, DES MINES DE NANCY,
DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE
ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI)

CONCOURS D'ADMISSION
SECONDE ÉPREUVE DE PHYSIQUE
Filière MP
(Durée de l'épreuve : 3 heures ; l'usage de la calculatrice est autorisé)
Sujet mis à disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, INT, 
TPE--EIVP

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page 
de la copie :
Physique Il -- Filière MP

L'énoncé de cette épreuve, partiCulière aux candidats de la filière MP, 
comporte 8 pages.

' Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une 
erreur d'énoncé, il le
signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des 
initiatives qu'il est amené
à prendre.

° Tout résultat fourni dans l'énoncé peut être utilisé pour les questions 
ultérieures.

' Il ne faudra pas hésiter à formuler tout commentaire qui semblera pertinent. 
Le barème tiendra
compte de ces initiatives ainsi que des qualités de rédaction de la copie.
Notations : un vecteur est noté en gras (exemple : A) ; le vecteur unitaire 
pour la coordonnée a est
noté â.

LA DYNAMO TERRESTRE

L'hypothèse selon laquelle le champ magnétique terrestre n'aurait pas eu une 
polarité cons-
tante au cours du temps a été formulée pour la première fois par le 
géophysicien français
Bernard BRUNHES, au début du XX° siècle. Ce dernier s'appuyait sur des mesures
d'aimantation de roches volcaniques. Des travaux ultérieurs ont établi que le 
champ géoma-
gnétique subit, en plus des fluctuations quotidiennes et séculaires, de 
brusques renverse--
ments au cours desquels le Nord magnétique change d'hémi sphère. L'existence de 
périodes
de stabilité, s'étendant sur plus de cent millions d'années et suivies de 
nombreux renverse-
ments successifs, suggère un comportement chaotique] . Ce problème présente un 
modèle
fruste de la dynam02 terrestre pouvant rendre compte des changements de 
polarité du champ
géomagnétique terrestre. Indépendamment de cette modélisation, la première 
partie étudie
quelques propriétés du champ géomagnétique.

Données numériques et ordres de grandeur

Le repère terrestre est associé aux coordonnées sphériques
(r,9, (p) d'axe Oz orienté sud-nord. Le champ magnétique

terrestre est modélisé par le champ d'un dipôle permanent de
Fig, 1 _- Terre, noyau et moment moment M =--M î situé au centre O de la Terre, 
assimilée à

1 Comprenons ceci au sens faible : les oscillations de polarité du champ ne 
laissent percevoir aucune
régularité.
2 « Machine produisant un courant électrique à partir d'un mouvement».

une sphère de rayon RT (Fig. 1). Le noyau terrestre est assimilé à une sphère 
concentrique,
conductrice, fluide et homogène, de rayon RN. La température du noyau est notée 
T, sa

conductivité électrique 0' et sa capacité thermique massique c . L'intensité du 
champ B au

pôle Nord terrestre est notée BO.
Les données ci-dessous sont données avec une précision variable.

Intensité du moment dipolaire MT == 7,9X1022 A.m"'°'
Intensité de B au pôle Nord BO : 6x10"5 T.
Conductivité thermique du noyau O' =5 ><106 Q"' .m". Capacité thermique du noyau C'; 2 >< 104 J .K '1 .kg "1 . Masse volumique du noyau : . u z 8 >< 103 kg.m"3 Rayon terrestre moyen RT : 6400 >< 103 m. Rayon du noyau RN == 5><105 m . Perméabilitè du vide #0 : 47t ><10'7 H.m"l . Unité usuelle d'énergie 1 eV : l,6><10"19 J . Masse de l'électron ' m,. 2 10°30 kg. Petit formulaire pour la partie 1 : champ dipolaire, valeur moyenne Composantes, en coordonnées sphériques, du champ B produit par un dipôle magnétique M = M î : _ ,, Mcos(9) _ B.-- _ _g, Msin(9) r--27r r3 _ 471: r3 ' La valeur moyenne d'une fonction périodique f de période P t (f) _ 1 J 10 +P es -- T : Petit formulaire pour les parties 2 et 3 : point critique . «. d x- ' On nomme point critique du système différentiel -ä-;'- =fi(x1 ,x2 ,. ..,x,-- ,) , '= l, 2,. . ., N un point de coordonnées (x...x2c ,. . .,ch) satisfaisant, pour tout i, f;(xlc,x20 ,. ..,ch ): O. f (t) d t (résultat indépendant de &, ). () 'Il est courant, pour une étude locale, de linéariser le système étudié, au voisinage d'un point donné sur une trajectoire. Le système obtenu s'écrit généralement, en posant fc,-- = % ( xl ) / x1\ à : L xl » x N x N où L est une certaine matrice. Lorsque toutes les valeurs propres de L ont une partie réelle négative, le point considéré est dit stable. Lorsqu'il existe une valeur propre dont la partie réelle est positive, le point est dit instable. Lorsque toutes les parties réelles des valeurs pro- pres sont nulles, une étude plus fine est nécessaire pour conclure sur la stabilité locale. I -- Le champ magnétique terrestre Cl 1 -- Retrouver la valeur de M, à partir de celle de Bo. Cl 2 -- Admettant que ce moment magnétique soit produit par des courants volumiques de densité j, avec M = j(RN )4 , estimer la valeur de j. Comparer cette valeur aux densités de courant usuelles dans les circuits ordinaires (TP, électroménager...). - , , . , - . 4 . -- , , Cl 3 --- Vér1fier l'homogenerte de la relation M z ](RN) . Justifier que, en coordonnees sphe-- riques, la direction dominante du vecteur densité de courant j est (Î) . Cl 4 ---- Calculer PJ, puissance volumique dissipée par effet Joule dans le noyau terrestre. D 5 -- Supposons que l'énergie nécessaire à l'entretien du champ magnétique terrestre pro- vienne du noyau. La température du noyau diminuerait alors de AT pendant la durée At. Exprimer AT sous la forme AT= kP, At, où k est une constante que l'on explicitera. Calcu- ler AT pour une durée At de un siècle. Cl 6 -- Calculer numériquement l'intensité du champ B en un point A du plan équatorial situé à la distance rA : 6RT du point 0. 717 . . , . , -- Cl 7 -- Notant ). =3--6 la latitude du po1nt d'observation, etablrr l'equat10n et tracer la représentation graphique de la ligne de champ C A passant par A sous la forme r = f ( rA ,À) . Cl 8---- Établir l'expression de la norme de B sur CA en fonction de À et de Bo. Tracer l'allure de la courbe " B(À )" . Cette représentation rend--elle compte de "")." B(À) " ? À---->3

D 9 -- Une particule chargée de masse m, de vitesse v et d'énergie constante E 
A se déplace

dans le plan équatorial, au voisinage de C A, dans une région de l'espace 
suffisamment petite
pour que l'on puisse y supposer le champ B uniforme et constant. En adoptant a 
priori les
lois de la mécanique newtonienne, établir la relation entre m, "v" et EA. 
Commenter

l'application numérique pour un électron dont l'énergie serait E A = 1 MeV.

Il -- Dynamo homopolaire

II--l Régime périodique

Un disque conducteur de rayon a, d'axe vertical A, de

moment d'inertie Jpar rapport à cet axe est soumis à un
couple de moment constant I' =]" z, où 2 est le vecteur

unitaire de la verticale ascendante. Il peut tourner sans
frottements autour de A. Une spire circulaire de même axe

est reliée d'une part à l'axe, supposé parfaitement
conducteur (la spire est donc connectée au centre du disque),
d'autre part à un point de sa périphérie. L'ensemble forme
un circuit électrique de résistance R et d'inductance propre L.
Le coefficient d'inductance mutuelle entre la spire et le
disque est noté M. Le courant i dans le circuit et la vitesse de
rotation &) du disque ont des orientations définies par la

Fig. 2 -- Dynamo homopolaire

Figure '2. Le mouvement du disque modélise les mouvements de matière dans le 
noyau
terrestre, le couple modélise l'apport énergétique qui entretient ce mouvement. 
On admettra
que le'champ magnétique, dont l'amplitude est pr0portionnelle au courant i, est 
modélisé par

ce courant.

Supposons que le disque soit mis en rotation dans un champ magnétique axial. La 
force

électromotrice induite fait circuler un courant dans la spire, ce qui génère un 
champ magné-
tique axial B ,-- se superposant au champ excitateur. Le dispositif est ainsi 
une dynamo auto-

excitée ; même si le champ initial disparaît, la dynamo continue de fonctionner 
grâce à B ,-.

Cl 10 -- Exprimer, en fonction de l'inductance mutuelle M et de i, le moment 
des actions de
Laplace qui, s'ajoutant au couple [' , déterminent la rotation du disque ; on 
justifiera, ou à
défaut on admettra, que le champ produit par le courant soit de la forme B:( 
r)î- ; il sera

commode ici d'utiliser le système de coordonnées cylindriques. Représenter le 
circuit élec-
trique équivalent au dispositif et expliciter ses composants.

CI 11 -- En appliquant, d'une part les lois de la dynamique, d'autre part 
celles de
l'électrocinétique, établir le système [a] ci--dessous, de deux équations 
différentielles non

linéaires du premier ordre, couplées:

da1 1
.I-----=I"--------"Mz2 .
dt 275
di 1 [a]
R +L--=----Moe
[ dt 275 1

D 12-- Déterminer le point critique de coordonnées positives de [a]. On notera 
ces dernières,
respectivement, i et co.. Quel est le résultat de la substitution i ---> ---i ?

D 13 -- Effectuer et commenter un bilan instantané de puissance. Rappeler 
quelle peut être,
dans le cas de la Terre, l'origine physiqUedu couple mécanique.

Cl 14 ---- Le système [a] peut-il admettre une solution vérifiant Fw(t)= Ri2(t) 
'?

Cl 15 -- Supposonsà présent que le système [a] admette des solutions 
périodiques, de période
\ notée P. Montrer dans ce cas que

(.--2)=zflÎÇ-, (m)=27c% et (Z):--_-- ira)

D 16 -- Les variables réduites I , Q et u et le paramètre a sont définis par
1 _
? RJ R2]
i= 27r£-- I, w=2n£--Q, t= 271:--a et a=27r .
M M F M F LM

Vérifier que I , Q, u et a sont sans dimension ; établir le système [A] 
satisfait par les nou--

velles variables, [ et .Q, en fonction du temps réduit u. Quels en sont les 
points critiques,

10)?

de coordonnées notées respectivement + I-. et Q '? Vérifier la relation a- -- Î 
.
1

D 17 -- Établir le système différentiel relatifà Z( u) =Q(u)--l et [( u). 
Notant [(Q) = 10 et
Q(O)= Q... établir la relation suivante [R] entre Q et I , indépendante de u :

(Q--1)27--°(%--1)+)--(ln(â)-- (1 -13)(. [R]

Dans les figures ci--après, a =l, (Iol-- -- 0,3 et [20 = 0. La figure de gauche 
montre [R], I est en
' abscisse, [2 en ordonnée ,la figure de droite représente, en traits 
pointillés, I(u ) pOur
10 =0,3 et, en traits pleins, Q(u ) pour |Iol : 0,3. Commenter ces résultats.

---...--=.---

IK"fl"I
. fl--'I--N '
{|_-"__|!
_ lI--II--IÆ
l'--ll--l
IL"Jl"AI

' --2-----=--_Û--bn==u_2-

2 5 "E'--__...

-m-mm-
_ -Il-nm-
. I'm--mum
_ Ulm--Inu:

ran-mumu:
--n-mm

--°' 5 '0--2_4_...__--1'

II-2 Étude dynamique au voisinage d'un point critique.

Cl 18-- Dans le système [A] établi' a la question 16, on pose, au voisinage 
d'un point critique,
[(a ): l+X(u ) et à nouveau Q(u ): 1+Z(u ),avech( u)<oo

en déduire, pour l'allure des cycles Q(Il) ou Q(12) , lorsque u ---> oo (cf. 
question 17) ?

III--3 Allure de quelques solutions

Le recours aux simulations numériques est rendu nécessaire par la nature des 
conclusions sur
la stabilité.

D 27 -- Les figures ci-dessous montrent le résultat de l'intégration du système 
[T] pour un
certain jeu de paramètres. On observe successivement Il(u), Q(u) et Q: f(ll,lz) 
; dans

cette dernière figure, x, y et 2 représentent respectivement 11, 12 et Q(I 1, 
12). Les courbes

Iz(u) et S(u)= Il(u)+ 12(u) ont la même allure que celle de Il(u). Commenter 
ces résul--
tats. Peut-on en déduire quelques--uns des paramètres du modèle ?

"'--"'" I'M..."
l |]

mumu--um
flllWlllllWlü WllllllflMl WIllllllllfllllll1llll
lWlülll'lllllIlllllllllllllllfl

_ IMMIÏ llll'n WMI"
WN...IIIMIII

_ --I--l-
0 20 40 60 80

100

III-4 Retour sur les variables réduites ,

. . 1 FM . . .
Nous avons défi... plus haut le temps rédu1t u =------2 ---- t, ce qui permet 
d'introduire un

temps caractéristique du système, Tl =27t-Iî/I-n il y a d'autres temps 
caractéristiques. Par

exemple, la première équation du système [a], question 1 1, permet d'introduire 
le temps

, J L _
12 = F et la seconde équation le temps 13 =;. On remarque aussr que, L et M 
possé--
dant la même dimension, toute grandeur caractéristique peut être multipliée par 
le facteur

. . L "
sans drmensron (';/7 , où a est réel.

On se propose de déterminer d'autres grandeurs caractéristiques du système par 
analyse
dimensionnelle élémentaire. La notation [y] désignera désormais la dimension de 
la grandeur
y. Les dimensions utilisées seront notées de la manière suivante : '

m = masse ! = longueur t = temps i = intensité du courant

Cl 28 -- Exprimer [L] (inductance), [R] (résistance), [J] moment d'inertie) et 
[F ] (moment
d'un couple) en fonction de m, [, t et i.

_ \_ ar
Cl 29 -- Rechercher les temps caractéristiques sous la forme T= (};) L'B R7Jô 
F8 : OC;--

restant indéterminé, on exprimera B, y et 6 en fonction de EUR. Pour quelle 
valeur de 8
retrouve--t-on le choix de la partie II ? Proposer un autre choix.

Cl 30 -- Procéder de même pourtrouver les divers courants caractéristiques et 
les diverses

. < . . L "" , _ v L "9 pulsations caractéristiques, sous la forme [ =(-Â4--) B R'J"F et @: (};) _ LbRCJdFe. Les résultats feront agréablement apparaître le paramètre a introduit à la question 16. FIN DE L'ÉPREUVE