Mines Physique 2 MP 2005

ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES,
ECOLES NATIONALES SUPÉRIEUBES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE,
DE TECHNIQUES AVANCEES, DES TELECOMMUNICATIONS,
DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ETIENNE, DES MINES DE NANCY,
DES TÉLECOMMUNICATIONS DE BRETAGNE,
ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI)

CONCOURS D'ADMISSION 2005
SECONDE ÉPREUVE DE PHYSIQUE
Filière MP
(Durée de l'épreuve : 3 heures)

Sujet mis à disposition des concours : Cycle international, EN STIM, INT, 
TPE--EIVP
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page 
de la copie :

PHYSIQUE 11 -MP

L'énoncé decette épreuve, particulière aux candidats de la filière MP, comporte 
7 pages.

0 Si un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le 
signale sur sa copie et poursuit
sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à 
prendre.

- Il ne faudra pas hésiter à formuler les commentaires (incluant des 
considérations numériques) qui
vous sembleront pertinents. Le barème tiendra compte de ces initiatives ainsi 
que des qualités de

rédaction de la copie.

A

. Notations : vecteur ----> V (on pourra écrire V) ; vecteur unitaire de la 
coordonnée c : c.

DÉVIATIONS

Ce problème concerne la déviation d'objets non massifs (rayons lumineux) ou 
massifi (pla--
nètes) dans divers champs (gravitationnel, coulombien). Il fait référence à des 
notions relati-
vistes qu'il suffira d'admettre sans autre fonne de procès, et conduisant à des 
conséquences
observables. La première partie étudie la déviation de la lumière dans un champ 
gravitation--
nel. La seconde partie concerne un mouvement képlerien en relativité générale. 
La troisième
partie étudie la déviation de la lumière par un plasma non homogène. La 
quatrième partie
fait appel à des notions relativistes, qu'elle traite de façon newtonienne.

Toutes ces parties sont indépendantes entre elles, mais elles peuvent étendre 
ou utiliser des
résultats d'autres parties, en adoptant éventuellement un point de vue 
différent.

Le référentiel d'étude est, dans tout le problème, supposé
galiléen. Toutes les trajectoires seront planes, situées dans

A

le plan xy ; dans le repère polaire (fifi), les coordonnées

d'un corps ponctuel P de masse m (éventuellement nulle)
sont notées, conformément au schéma ci--contre, (rfi) .

Selon la relativité générale, l'équation différentielle régis--

. 1 .
sant la fonction u(9)=---- lorsque P est soumis au

r(EUR)

champ gravitationnel d'un objet massif de masse M S placé au centre de force 0 
est

2 2
%5'21+u= GM(--L--) +3GM u2, [EDI]
C2

où G est la constante de la gravitation (G=6,67x10'11 N.m2 .kg'2) et c la 
vitesse de la
dB
2

lumière (célérité) dans le Vide : c : 3><108 m.s"'. Le moment cinétique L= mr d? z est constant. Le corps massif sera, dans la suite, le Soleil ; voici quelques données numériques : Masse du Soleil M S : 2><1030 kg Température de surface du Soleil T5 : 5800 K _ Rayon du Soleil RS : 7 X 108 m Masse de l'électron me : 9,1 x 10"30 kg. 1 -- Mirage gravitationnel I -- 1 Équafions du mouvement , . , . . d9 Cl 1 ---- Etabhr que, en mecanique newtomenne, L : mr2 -à--t- : mC est constant pour une par- ticule soumise à une force centrale. Toujours dans ce cadre, établir l'expression de l'accélération a de la particule (formule de Binet pour l'accélération) : (L)fi d2u - _ a.=-- ---- u ------2--+ur m d9 _ Cl 2 ---- Dans le cadre relativiste, la force centrale est la résultante . . . GMS m î° . de la force de grav1tat10n newtomenne F N =-- 2 GM Sm u2r, terme principal, ï . . GM L2 .. o et d'une force dite perturbatnce FR =-- 3 2 --u4 r. c m À quelle condition le terme perturbateur est-il, pour une "particule de masse non nulle, très petit devant le terme newtonien ? D 3 -- La particule P est un photon, particule de charge nulle et de masse nulle associée au champ électromagnétique et dont on admettra ici qu'elle se comporte comme une particule ponctuelle de moment cinétique non nul. Montrer que « l'équation du mouvement du pho- ton » est 2 d "+u=3GMSu2 [EMP]. d92 & I-2 Déviation de la ligne de visée d'une étoile Cl 4 -- On note u0(9) la solution de l'équation [EMP] de la question 3 correspondant à G = 0, c'est-à-dire à l'absence de gravitation ; quelle est a priori la trajectoire du photon l . . . dans ce cas ? sachant que u0(0)= ? et "°(%) :O, donner l'équation de la trajectone, s d'abord en coordonnées polaires, ensuite en coordonnées cartésiennes ordinaires (x,y), ou réduites (X=-£,Y=À]. le; 1%; D 5 -- Introduisant dans [EMP] la variable sans dimension Z : Rsu (Z : Bi), on obtient r dZZ _ d92 Calculer la valeur numérique de K. On cherche la solution approchée de l'équation différentielle en Z au premier ordre en K, sous la fonne ' Z(9) : cos(9) + KZ1 (6). \_V__J =Zo(9) ' +Z=KZZ, où O< O et n = n 2 pour z < 0. On note fil et û,_ les vecteurs unitaires du rayon lumineux dans cha-- que milieu et k le vecteur unitaire de l'axe Oz. Établir, par exemple d(nû) ds part et d'autre de l'interface, l'égalité n 1(nl/\ k) = n 2(u2A k) et en déduire les deux lois de en intégrant la relation : grad(n) sur un domaine très petit de Descartes pour la réfraction. Cl 21 -- On pose d£ : --d--î. Quelle est la dimension de EUR ? Montrer que le principe fonda-- n 2 mental de la dynamique du photon s'écrit (équation [DP]) d d(£)2M : â--grad(n2). Cl 22 ---- Pour donner une saveur newtonienne à [DP], on pose EUR : ct, ce qui définit t. Le terme de droite de [DP] peut être compris comme une sorte de force centrale agissant sur le photon ; quelle est la dimension de ce terme ? cette force est--elle attractive ou répulsive ? E] 23 -- Accordons-nous ici le droit de traiter le terme de droite de [DP] comme une force ordinaire. Quelle est, sous cette hypothèse, la trajectoire de la lumière dans le plasma ? ' Cl 24 -- À partir des relations énergétiques E : mc2 pour une-particule matérielle et E : hv pour le photon ( v est la fréquence du rayonnement associé au photon et h la constante de Planck), tenter une manipulation de [DP] aboutissant à une forme newtonienne d'équation du mouvement. La justification de cette manipulation serait une autre histoire. FIN DE. CETTE PARTIE III -- Retour sur la déviation de la lumière Cette partie se propose de traiter le photon de fréquence v comme une particule matérielle . . __ hv , . . , . . qu1 aura1t une masse m = --2--, une energie c1net1que EC : hv (ou h est la constante de c Planck) et qui suivrait pour autant la mécanique newtonienne. Cette approche ne manque pas d'audace et les résultats devront donc en être accueillis avec circonspection. Cl 25 -- L'énergie totale d'un photon émis de la surface du Soleil avec la fréquence V5 est GM_JÏ'I hGMSVS : th -- ------2---- R R c 8 S donc, dans ce cadre, ET : hvs -- . Ce photon est détecté sur Terre, dont on néglige l'effet gravitationnel. On attribue donc à ce photon la fréquence VT : %. . , . V . . Exprimer le facteur de reduction a : --Ï-- en fonct10n du rayon du Soleil et du rayon de Vs Schwarzschild pour le Soleil ps =2GAÏS . Calculer la valeur numérique du rayon de ' . c Schwarzschild pour le Soleil et pour la Terre (la masse de la Terre est environ 6 X...24 kg). E] 26 -- Une réduction de la fréquence du photon est équivalente à une augmentation de sa période; si le photon était utilisé comme une horloge, on aurait donc une dilatation du temps. On admettra que cette dilatation du temps (t |--> t') s'accompagne d'une 
contraction

t' . .--
--;--= %. On note n(r) l'md1ce du
milieu à la distance r du Soleil. Cet indice, doté ici de la symétrie 
sphérique, est défini

. . ds . . . .
comme le rapport de la v1tesse du photon dans le v1de c = ---- a sa v1tesse au 
vmsmage de

dt
ds'

dt'

de l'unité de longueur (! i---> E' ), avec le même facteur :

l'objet massif c' = (s et s' désignent l'abscisse curviligne le long de la 
trajectoire). Éta--

blir l'expression n2(r) : 1 + £-S--.
r

D 27 -- Calculer la déflexion d'un rayon
lumineux provenant de l'infini et passant au
voisinage immédiat du Soleil, comme sché--
matisé sur la figure ci-contre. On admettra la
relation locale n(r)sin[9(r)]=C'°. On utili--

sera le fait que ps << RS. On pourra ren-- Asymptotes de la trajectoire a' 'un photon. +oo La dévjafion eStD : 6 (oo) _ 9 (_oe) contrer l'intégrale ] : ________dx 3 , dont la ' . ' --oo (x2 + a2 )5 . valeur est ] = --2--. a . FIN DE CETTE PARTIE FIN DE L'ÉPREUVE La première observation d'un mirage gravitationnel date de 1980. La photo ci--dessus montre l'arc cosmique dans l'amas Abe" 2218 ; la source lumineuse est isotrope; le déflecteur est la galaxie super massive au centre de l'arc. La flèche montre un anneau d'Einstein qui a été le premier à prédire l'observation de tels phénomènes.