Mines Physique 2 MP 2009

ECOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSEES.
ECOLES NATIONALES SUPERIEURES DE L'AERONAUTIQUE ET DE L'ESPACE,
DE TECHNIQUES AVANCEES, DES TELECOMMUNICATIONS,
DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT­ETIENNE, DES MINES DE NANCY,
DES TELECOMMUNICATIONS DE BRETAGNE,
ECOLE POLYTECHNIQUE (FILIERE TSI)
CONCOURS D'ADMISSION 2009
SECONDE EPREUVE DE PHYSIQUE
Filiere MP
(Duree de l'epreuve: 3 heures)
L'usage de la calculatrice est autorise
Sujet mis a disposition des concours : ENSAE (Statistique), ENSTIM, INT, 
TPE­EIVP, Cycle
international

Les candidats sont pries de mentionner de facon apparente sur la premiere page 
de la copie :
PHYSIQUE II -- MP.
L'enonce de cette epreuve comporte 7 pages.
­ Si, au cours de l'epreuve, un candidat repere ce qui lui semble etre une 
erreur d'enonce, il est invite a le
signaler sur sa copie et a poursuivre sa composition en expliquant les raisons 
des initiatives qu'il aura ete
amene a prendre.
­ Il ne faudra pas hesiter a formuler les commentaires (incluant des 
considerations numeriques) qui vous
sembleront pertinents, meme lorsque l'enonce ne le demande pas explicitement. 
Le bareme tiendra compte
de ces initiatives ainsi que des qualites de redaction de la copie.

OSCILLATIONS DE PUISSANCE A HAUTE FREQUENCE
L'enonce de cette epreuve comporte deux parties completement independantes. Les 
vecteurs sont
representes en caracteres gras : v, E. Un systeme d'axes orthonormes direct 
Oxyz est associe a la base
cartesienne (ex , ey , ez ). Pour toute grandeur a, on note a = da/dt.
Historiquement, les tubes a vide et a faisceaux d'electrons (qui ont donne son 
nom a l'electronique)
ont progressivement ete remplaces par des composants a semi-conducteurs 
(diodes, transistors, etc.).
Toutefois, les tubes a circulation d'electrons dans le vide (klystron, 
magnetron) restent d'un emploi
courant dans le domaine des hautes frequences et des fortes puissances. Ce 
probleme decrit ces deux
dispositifs toujours largement utilises.

I. -- Le magnetron, oscillateur hyperfrequences
Un magnetron (systeme equipant tous les fours a
micro-ondes) est constitue d'un tube a vide et de
deux electrodes, cylindriques et coaxiales. Un champ
electrique intense regne dans l'espace inter-electrodes,
et les electrons, emis par la cathode centrale, se dirigeraient vers l'anode 
externe a grande vitesse si le
champ magnetique etait absent (fig. 1). On impose un
champ magnetique stationnaire qui, courbant les trajectoires electroniques, les 
amene a rester contenues dans
F IG . 1 ­ Le magnetron (vue d'ensemble) l'espace inter-electrodes.

OSCILLATIONS DE PUISSANCE A HAUTE FREQUENCE

Les electrons acquierent alors des trajectoires rapidement tournantes et leur 
passage devant des cavites
resonantes provoque l'apparition, dans celles-ci, de champs electromagnetiques 
rapidement variables.
Dans les fours a micro-ondes a usage domestique, la frequence d'emission est 
normalisee a f0 =
2, 45 GHz. Le rayonnement micro-onde est alors conduit vers la zone a chauffer 
par un guide d'ondes.
Le magnetron a ete invente par le physicien americain A LBERT H ULL en 1921 et 
perfectionne par
le physicien japonais K INJIRO O KABE en 1928. Il a ete mis en application des 
la seconde guerre
mondiale comme source d'ondes de haute frequence pour les systemes radar en 
Grande-Bretagne.
Ce qui suit n'est pas une description complete du magnetron, mais seulement une 
mise en equations
de certains mouvements possibles des electrons dans le magnetron. En cas de 
besoin on rappelle
l'expression des operateurs divergence et gradient dans le systeme de 
coordonnees associe a la base
cylindrique {er , e , ez } representee sur la figure 2
1 
1 

(K.e ) + (K.ez )
(r K.er ) +
r r
r 
z
1f
f
f
Pour tout champ scalaire f (r,  , z), grad f =
e +
er +
ez
r
r 
z

Pour tout champ de vecteur K  R3 , divK =

Dans tout ce probleme on negligera le poids des electrons.

I.A. -- Le magnetron sans champ magnetique
Le schema de la figure 2 represente la cavite, vide, comprise
entre l'electrode interne (cathode), cylindrique de rayon a,
portee au potentiel nul, et la cavite externe, cylindrique
de rayon b > a, portee au potentiel constant V0 > 0. On
considere un point M, de coordonnees cylindriques (r,  , z)
dans la base {er , e , ez }, represente sur la figure 2.
1 -- En negligeant tout effet de bord, determiner le potentiel electrostatique 
V (r) en M situe dans l'espace interelectrodes, suppose vide.

F IG . 2 ­ Le magnetron (vue de face)

2 -- Des electrons sont emis au niveau de la cathode
par effet thermoelectronique a vitesse initiale negligeable.
Quelle est leur trajectoire ? Exprimer r = dr/dt pour un
electron situe en M en fonction de r, de sa charge -e, de
sa masse m et des quantites V0 , a et b.

3 -- Exprimer la duree  du trajet de la cathode a l'anode. On posera f (u) =

Z u
dx
1

 .
ln x

I.B. -- Le magnetron vide, avec un champ magnetique.
On considere toujours que l'espace inter-electrodes est vide, soumis a la meme 
repartition V (r) de
potentiel electrostatique que celle decrite a la question 1 ; on lui superpose 
le champ magnetostatique
B = B0 ez , uniforme et stationnaire, orthogonal au plan de la figure 2.
4 -- Montrer que la trajectoire d'un electron, emis au niveau de la cathode 
sans vitesse initiale, est
plane. On pourra decrire ce mouvement en coordonnees polaires (r,  ), en 
projection sur la base polaire (er , e ). Montrer que l'energie mecanique de 
cet electron est conservee. En deduire une constante
du mouvement sous la forme d'une relation entre r, r,  , V0 , a, b, e et m.
5 -- En ecrivant le theoreme du moment cinetique pour le mouvement de 
l'electron, deduire
l'existence d'une autre constante du mouvement faisant apparaitre B0 .
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Physique II, annee 2009 -- filiere MP

6 -- On appelle champ de coupure la valeur minimale Bc du champ magnetique B0 
que l'on doit
imposer pour qu'aucun electron ne puisse atteindre l'anode. Exprimer Bc en 
fonction de a, b, V0 , e et
m. Donner l'expression approchee de Bc si b  a ; cette relation porte le nom 
d'equation de H ULL.
On note  la valeur prise par la vitesse angulaire d /dt au moment ou l'electron 
est le plus eloigne
de la cathode, a la distance r0 < b de l'axe du magnetron, et c la valeur particuliere de  si r0  b. Exprimer c en fonction de e, V0 , m et b. I.C. -- Le magnetron, avec charge d'espace et champ magnetique. On etudie un mode particulier de fonctionnement du magnetron (mode de B RILLOUIN) dans lequel tous les electrons qui ne sont pas dans le voisinage immediat de la cathode ont un mouvement circulaire d'axe Oz a la meme vitesse angulaire B . Les potentiels des electrodes de rayon a et b sont inchanges, le champ magnetique est toujours constant et selon ez . 7 -- Montrer que le mode de B RILLOUIN n'est pas compatible avec le potentiel electrostatique issu de l'hypothese d'un espace interelectrode vide. Expliquer pourquoi la prise en compte d'une charge dans l'espace interelectrode peut eventuellement permettre d'obtenir un mode de B RILLOUIN. 8 -- Determiner l'expression du potentiel V (r) entre les electrodes qui permet d'obtenir le mode de B RILLOUIN ideal, c'est-a-dire celui pour lequel tous les electrons sont en mouvement circulaire a vitesse angulaire B constante. On exprimera V (r) en fonction de V0 , r, a et b et on constatera que ce mode ne peut etre obtenu que pour une valeur particuliere BB du champ magnetostatique que l'on determinera en fonction de B , e, m, V0 , a et b. 9 -- On considere toujours que les electrons sont emis a vitesse nulle a la cathode. Montrer que pour un mode de B RILLOUIN ideal, seuls les electrons situes loin de la cathode (r  a) possedent approximativement l'energie mecanique qu'ils avaient au moment de leur emission. Exprimer pour ces electrons peripheriques BB et B en fonction de e, m, b et V0 . 10 -- On donne b = 5 mm, m = 9, 1 × 10-31 kg et e = 1, 6 × 10-19 C. Comment choisir V0 pour obtenir des oscillations peripheriques de frequence B / (2 ) = 2, 45 GHz ? Quelle doit etre la valeur de BB ? FIN DE LA PARTIE I II. -- Le klystron, amplificateur hyperfrequence Cette partie decrit le principe de fonctionnement du klystron a deux cavites, dispositif amplificateur de tension hyperfrequences invente en 1937 par W ILLIAM H ANSEN, RUSSELL et S IGURD VARIAN. Le fonctionnement du klystron a deux cavites est fonde sur la modulation de vitesse d'un faisceau d'electrons. Ses inventeurs decrivaient le principe du klystron au moyen de l'analogie suivante : « imaginez un flot continu de vehicules circulant de San Francisco a Palo Alto ; si les voitures quittent San Francisco a intervalles reguliers et avec la meme vitesse, alors, jusqu'a leur arrivee a Palo Alto, elles seront regulierement espacees et on observera un flux uniforme de vehicules. Mais supposez que, d'une maniere quelconque, la vitesse de certaines voitures puisse etre legerement augmentee a leur depart de San Francisco, tandis que d'autres seraient legerement ralenties. Alors, au fur et a mesure de leur trajet, les voitures rapides rattraperaient les plus lentes et elles formeraient des paquets. Ainsi, si la vitesse des voitures est assez differenciee et la duree du trajet suffisante, le flux uniforme serait transforme. Dans le cas ideal, l'arrivee a Palo Alto se produirait en groupes clairement definis ». De la meme facon, dans un tube a electrons, le controle du flux d'electrons peut suivre le meme principe de « formation de paquets » par modulation de la vitesse plutot que par un controle direct du flux par une electrode de sortie. Le klystron est un tube a electrons (particules de masse m et de charge -e supposees non relativistes dans tout le probleme) utilise en modulation de vitesse, decrit sur la figure 3. Les electrons sont emis dans le vide qui regne dans la cavite par effet thermoelectronique dans un canon a electrons forme Page 3/7 Tournez la page S.V.P. OSCILLATIONS DE PUISSANCE A HAUTE FREQUENCE F IG . 3 ­ Principe du klystron a deux cavites d'une cathode chauffee (K), portee au potentiel VK = 0, d'une grille de focalisation (F) et d'une grille d'acceleration (A) portee au potentiel constant VA > 0. La sortie des electrons 
de la cathode chauffee
se fait a l'abscisse zK < 0, a vitesse initiale negligeable. Apres la traversee de la grille d'acceleration, positionnee a l'abscisse zA = 0, les electrons forment un faisceau homocinetique, de vitesse u0 = u0 ez , colineaire a l'axe du klystron. Ils atteignent deux grilles dites de modulation, (M1 ) et (M2 ) separees par la distance d et respectivement portees aux potentiels VA et VM = VA +Vo sin ( t). La frequence f =  / (2 ) est imposee par un oscillateur non decrit ici. On designe par  + d la distance OM et l'on suppose que d   (voir figure 3). A la sortie de la zone de modulation, les electrons de vitesse u = uez traversent un espace de glissement de longueur L avant d'atteindre les grilles de detection, (D1 ) et (D2 ) separees par la distance d et respectivement portees aux potentiels VM et VD ; on suppose que d  L (voir figure 3). Enfin, une anode An collecte les electrons qui ont traverse le systeme sans etre interceptes. Dans tout le probleme, on notera I(z,t) le courant electrique qui circule, a l'instant t et a la cote z, dans une section droite du tube orientee dans le sens des z decroissants de sorte que I (z,t) soit positif. On neglige tout champ magnetique et l'on suppose que le potentiel electrique qui regne dans le tube n'est fonction que de z et du temps t : V = V (z,t) ; pour cette raison, a partir de la question 13, le champ electrique dans le tube sera note E = E(z,t)ez . II.A. -- Etude du faisceau d'electrons dans le tube Dans la region 0 < z < , on notera I0 = I (z) le courant electrique qui traverse le tube ; le faisceau electronique est suppose cylindrique, de rayon a, de section s =  a2 . On pourra utiliser les coordonnees cylindriques (r,  , z) exprimees dans la base cylindrique locale {er , e , ez } representee sur la figure 4. 11 -- Representer sur un schema le sens du courant I0 . Exprimer I0 en fonction de a, uo et de la charge volumique electronique  , supposee uniformement repartie dans le cylindre. Montrer que le champ electrique Ec cree par cette distribution cylindrique de charges ne depend que de la distance radiale r a l'axe du cylindre. En deduire l'expression de Ec (r) en fonction de r, de la permittivite du vide 0 ainsi que de I0 , u0 , et a. Page 4/7 x ex e - r ez a e µ r e µ O z ey y F IG . 4 ­ Coordonnees cylindriques Physique II, annee 2009 -- filiere MP 12 -- On considere qu'un electron situe a la peripherie du faisceau evolue dans le champ uniforme Ec (a). Calculer la deviation radiale r qu'il subit en fonction de e, m, Ec (a) et de  = /uo la duree du trajet d'un electron peripherique entre (A) et (M1 ). En deduire que l'on ne peut considerer que le faisceau d'electrons reste approximativement cylindrique qu'a une certaine condition, que l'on ecrira sous la forme I0  I1 . On exprimera I1 en fonction de m, e, a, u0 , 0 et . On dira alors que l'on neglige la defocalisation du faisceau. On fera cette approximation dans toute la suite du probleme. 13 -- Exprimer, en fonction de I0 , u0 , s et 0 , l'equation differentielle qui regit les variations de E(z,t) en fonction de z dans la region 0 < z < . En deduire le potentiel V (z,t) en fonction VA , Io , u0 , s, 0 , z et . A quelle condition (exprimee sous la forme I0  I2 ) peut-on considerer que V (z,t) est uniforme dans cette region ? On exprimera I2 en fonction de VA , s, u0 et . Expliquer pourquoi cette approximation consiste a negliger la charge d'espace dans le tube. On fera cette approximation dans toute la suite du probleme. 14 -- Determiner l'expression de V (z) pour zK < z <  + d + L et tracer la courbe correspondante. 15 -- Determiner la vitesse u des electrons qui traversent la grille de modulation (M2 ) a l'instant t, on l'exprimera en fonction de u0 ,  , t et de  = V0 /2VA . Donner une expression approchee de u lorsque   1 ; on se placera dans ce cas dans toute la suite du probleme. 16 -- Expliquer pourquoi le generateur qui alimente les grilles de modulation ne fournit, en moyenne aucune energie. Quelles causes consommatrices de puissance, non prises en compte dans ce qui precede, pouvez-vous imaginer au niveau du dispositif de modulation ? II.B. -- Etude de la modulation de vitesse du faisceau d'electrons 17 -- On considere ici des electrons qui sont passes par la grille de modulation (M2 ) a l'instant t1 ; on pose 1 =  t1 . Ces electrons atteignent la grille de detection (D1 ) a l'instant t2 ; on posera 2 =  t2 , 0 =  L/u0 et k =  0 . Quelles sont les dimensions physiques de 1 , 2 , 0 et k ? En se limitant au premier ordre en  , exprimer 2 en fonction de 1 , 0 et k. 18 -- Sur un intervalle symetrique centre en 0, tracer l'allure des courbes donnant 2 - 0 en fonction de 1 pour k = 0, k = 0, 5 et k = 1. Expliquer pourquoi k porte le nom de parametre de groupement. 19 -- Dans cette question seulement, on considere que k = 1. L'etude precedente montre que l'on peut regrouper les electrons. Pour fixer les idees, considerons l'intervalle de temps dt1 centre sur 0 de telle maniere que -dt1 /2 < t < dt1 /2, tel que tous les electrons qui ont ete emis de (M2 ) pendant une duree dt1 arrivent sur (D1 ) pratiquement au meme instant t2 , a 1% pres. Determiner dt1 en fonction de L,  et u0 . A quelle fraction  de la periode du signal de modulation VM (t) cette duree correspond-elle ? Application numerique : on donne m = 9, 1 × 10-31 kg, e = 1, 6 × 10-19 C, VA = 75 kV, L = 10 cm ainsi que  = 5, 98 × 109 rad.s-1 . Determiner dt1 et  . 20 -- On considere que la duree du trajet d'un electron entre (M1 ) et (M2 ) est nulle. L'intensite du courant electrique qui atteint la grille de modulation (M2 ) a l'instant t1 est donc I0 . On note I(1 ) l'intensite du courant electrique qui atteint la grille de detection (D1 ) a l'instant t2 . Relier I(1 ), I0 et d2 /d1 . En deduire que I0 I(1 ) = 1 - k cos 1 21 -- On note  =  (t2 - L/uo ) la phase de l'onde de courant qui se propage le long de l'axe du klystron, a l'instant ou cette onde atteint la grille de detection (D1 ). Exprimer  en fonction de k et 1 . Montrer que, si k  1, le courant I(1 ) peut etre considere comme une fonction de  . Quelle est la periode T de cette fonction ? Est-ce une fonction paire ou impaire de  ? Page 5/7 Tournez la page S.V.P. OSCILLATIONS DE PUISSANCE A HAUTE FREQUENCE 22 -- On cherche la decomposition de Fourier de I( ) sous la forme : I( ) = hIi +  an cos 2 n +  bn sin 2 n T T n=1 n=1 Determiner hIi, puis bn pour tout n  1. On donne l'expression integrale de la fonction de Bessel de Z premiere espece d'ordre p : 1 cos ( sin  - p ) d J p ( ) = 0 Exprimer simplement an en fonction de I0 et de Jn (nk). On conservera cette expression dans la suite meme si k > 1.

II.C. -- Dimensions et accord du klystron
L'onde de courant parvenant au detecteur sera detectee sous
la forme du courant alternatif iD (t) ; celui-ci s'ecrit, en se
limitant au premier terme de la serie de Fourier, proportionnellement a la 
fonction de Bessel J1 ( ) :

L
L
iD (t) = 2 I0 J1 
cos  t -
u0
u0
ou  est le rendement de detection, et I0 le courant strictement positif produit 
par le canon a electrons. Le trace de
J1 ( ) est reporte sur la figure 5. On notera que J1 ( ) = 0
pour 01 = 3, 83 et 02 = 7, 02 ; le premier maximum de
J1 ( ) est atteint pour m = 1, 84 et vaut J1 (m ) = 0, 58.

F IG . 5 ­ Fonction de Bessel J1 ( )

23 -- A quelle distance Lm de la grille de modulation (M1 ), la grille de 
detection (D1 ) doit-elle
etre placee pour obtenir un courant detecte d'amplitude maximale ? On exprimera 
Lm en fonction de
la frequence f du signal de modulation, de VA ,  , m, e et m .
24 -- On donne m = 9, 1 × 10-31 kg, e = 1, 6 × 10-19 C, VA = 75 kV,  = 0, 5 et 
L = 10 cm. Calculer la frequence f pour laquelle est accorde le klystron. Dans 
quel domaine spectral cette frequence
se situe-t-elle ?

II.D. -- Etude du systeme de detection
Le systeme des deux grilles de detection est ici assimile a deux plans 
metalliques, parfaitement conducteurs, disposes a la distance d l'un de 
l'autre. On note
O1 et O2 les intersections des deux grilles de detection
(D1 ) et (D2 ) avec l'axe Oz. On considere qu'a un
instant donne, un seul electron, note , se trouve
entre ces deux grilles ; il a alors parcouru la distance
ze = O1  telle que 0 < ze < d dans l'espace defini par les deux grilles (voir figure 6). Soit P1 (respectivement P2 ) un point quelconque de la grille (D1 ) (respectivement (D2 )) repere par la distance r1 = O1 P1 (respectivement r2 = O2 P2 ). F IG . 6 ­ Grilles de detection Dans toute la partie II.D, on notera V1 et V2 les potentiels respectifs des grilles (D1 ) et (D2 ) dont les dimensions transverses sont supposees tres superieures a d, de maniere a negliger tout effet de bord. L'ensemble de l'etude electrique sera mene dans le cadre de l'electrostatique. Page 6/7 Physique II, annee 2009 -- filiere MP 25 -- En l'absence de tout electron entre les grilles, determiner les densites surfaciques de charge 01 et 02 portees par les grilles. On les exprimera en fonction de vD = V2 -V1 , de d et de la permittivite du vide 0 . 26 -- En sa presence (voir fig. 6), on admet que la charge ponctuelle de l'electron  influence totalement les deux plans metalliques, c'est-a-dire que toute ligne de champ issue d'un point Pi du plan (Di ) passe par le point de cote ze ou se trouve l'electron. Tracer l'allure des lignes de champ du champ electrique E dans l'espace compris entre (D1 ) et (D2 ). Tracer egalement l'allure des surfaces equipotentielles. En presence de cet electron, on appelle 1 et 2 les charges surfaciques aux points P1 et P2 , et q1 et q2 les charges totales portees par les deux facades des grilles (D1 ) et (D2 ) en regard. Quels sont les signes de 1 et 2 ? Quels sont les signes de q1 et q2 ? Justifier. Que peut-on dire de q1 + q2 ? 27 -- Quelles sont les valeurs limites q1i et q2i des charges q1 et q2 a l'instant ti ou l'electron vient de penetrer dans l'espace de detection, c'est-a-dire lorsque ze  d ? Expliciter de meme les valeurs limites q1 f et q2 f des charges q1 et q2 a l'instant t f ou l'electron va quitter l'espace de detection c'esta-dire lorsque ze  d. Finalement, quelle est la charge qD qui a circule dans les grilles de detection lors du passage d'un electron a travers les grilles de detection ? On note IK le courant transporte par les electrons qui circulent le long de l'axe du klystron, et qui traverse les grilles de detection. Ce courant provoque la circulation d'un courant electrique variable iD dans le circuit referme sur les grilles de detection. 28 -- Que vaut iD si le courant IK est constant ? On suppose que le courant IK = hIK i + iK (t - ze /u0 ) comporte maintenant une partie sinusoidale iK (t - ze /u0 ) qui se propage a la vitesse u0 . On considere la charge electrique circulant entre les grilles sous l'effet du seul courant alternatif iK . 29 -- Exprimer la charge q(t) comprise, a l'instant t, entre les deux plaques, sous forme integrale. Determiner la variation dq = q(t + dt) - q(t). On supposera que la largeur d est faible devant uo / . En deduire le courant iD . Quel est, a la pulsation  , le rendement  du systeme de detection ? FIN DE LA PARTIE II FIN DE L'EPREUVE Page 7/7