Mines Physique 2 MP 2010

ECOLE DES PONTS PARISTECH
SUPAERO (ISAE), ENSTA PARISTECH,
TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH,
MINES DE SAINT­ETIENNE, MINES DE NANCY,
TELECOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (FILIERE MP)
ECOLE POLYTECHNIQUE (FILIERE TSI)
CONCOURS D'ADMISSION 2010
SECONDE EPREUVE DE PHYSIQUE
Filiere MP
(Duree de l'epreuve: 3 heures)
L'usage de la calculatrice est autorise
Sujet mis a disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, TELECOM 
INT, TPE­EIVP

Les candidats sont pries de mentionner de facon apparente sur la premiere page 
de la copie :
PHYSIQUE II -- MP.
L'enonce de cette epreuve comporte 6 pages.
­ Si, au cours de l'epreuve, un candidat repere ce qui lui semble etre une 
erreur d'enonce, il est invite a le
signaler sur sa copie et a poursuivre sa composition en expliquant les raisons 
des initiatives qu'il aura ete
amene a prendre.
­ Il ne faudra pas hesiter a formuler les commentaires (incluant des 
considerations numeriques) qui vous
sembleront pertinents, meme lorsque l'enonce ne le demande pas explicitement. 
La bareme tiendra compte
de ces initiatives ainsi que des qualites de redaction de la copie.

574,8 KILOMETRES PAR HEURE !
Le mardi 3 avril 2007, a 13 h 14, la S NCF, associee a Reseau Ferre de France 
ainsi qu'a la compagnie A LSTOM portait le record du monde de vitesse sur rail 
a la valeur de 574,8 km.h-1 au point
kilometrique 194 de la ligne a grande vitesse est-europeenne, grace a la rame T 
GV Duplex V150 composee de deux motrices POS encadrant trois remorques. La 
remorque centrale etait equipee a chaque
extremite de deux essieux moteurs AGV. Pour realiser cet exploit de nombreux 
parametres physiques
et techniques ont ete etudies et optimises ; dans le probleme qui suit nous 
allons en examiner quelques
uns.

Les caracteristiques techniques du T GV, dont toutes ne sont pas utilisees dans 
le probleme, sont les
suivantes : masse de la rame avec ses passagers MT = 270 tonnes ; longueur de 
la rame, LT = 106 m ;
largeur de la rame, T = 2, 9 m ; hauteur de la rame, hT = 4, 1 m.
Dans tout le probleme, la masse volumique de l'air sera constante et egale a a 
= 1, 3 kg.m-3 , et
par souci de simplicite, dans les applications numeriques, on prendra g = 10 
m.s-2 pour la valeur de
l'acceleration de la pesanteur terrestre et on n'utilisera que 3 chiffres 
significatifs.

574,8 kilometres par heure !

I. -- Trajet en ligne droite
Lors d'un essai realise durant la campagne prealable a la tentative de record 
sur une voie approximativement rectiligne et plus ou moins horizontale, on a 
releve les donnees suivantes
 t [s] -1  0 70
V km.h
0 150

95
200

124
250

155
300

231
350

263 332
400 450

1 -- Calculer sur chaque intervalle de mesure les valeurs de l'acceleration 
moyenne de la rame, on
exprimera ces valeurs en m.s-2 dans un tableau recapitulatif. Estimer la 
distance parcourue necessaire
pour atteindre la vitesse de 450 km.h-1 .
2 -- Un journaliste convie a cet essai avait apporte un petit pendule simple 
qu'il avait suspendu au
plafond de la voiture. Il comptait, selon ses mots, « mettre en evidence la 
grande vitesse du train ».
Quelle a ete, en regime permanent, l'inclinaison maximale du pendule par 
rapport a la verticale durant
l'essai ?
La rame repose sur les rails par l'intermediaire de seize essieux, dont douze 
moteurs, composes chacun de deux roues. La force moyenne appliquee par les 
rails sur chaque jante des roues motrices est
appelee force de traction a la jante.
3 -- On suppose que les efforts sont egalement repartis sur chaque roue. 
Calculer la force de
traction a la jante au demarrage. La loi empirique de Curtius et Kniffer (1943) 
exprime la variation du
coefficient de frottement statique µ au contact roue-rail (rail sec et propre) 
en fonction du module V
de la vitesse du train exprimee en km.h-1 . Elle affirme que µ = 0, 161 + 7, 
5/(44 +V ). Montrer qu'il
n'y avait pas de patinage possible des roues au demarrage de la rame.
Lors du mouvement, un certain nombre de causes de frottements produisent une 
force resultante
d'intensite R = A + BV + CV 2 qui s'oppose a la vitesse V du train. Cette 
intensite R est appelee
resistance a l'avancement. Pour une rame T GV Duplex standard de 2 motrices et 
8 remorques, la S NCF
adopte, grace a des mesures effectuees jusqu'a des vitesses de 360 km.h-1 , les 
valeurs A = 2 700 N,
B = 31, 8 N.km-1 .h et C = 0, 535 N.km-2 .h2 . On fait l'hypothese que l'on 
peut conserver ces valeurs
pour des vitesses superieures.
4 -- La puissance totale des moteurs embarques lors du record etait de 19,6 MW. 
Cette puissance
est-elle suffisante pour permettre a une rame T GV Duplex standard d'atteindre 
la vitesse du record
precedent qui etait de 540 km.h-1 ? Pour le record vise, la rame T GV avait ete 
modifiee par rapport
a une rame standard et notamment les diametres des roues avaient ete agrandis, 
passant de 920 mm a
1 092 mm. Quelle est la raison de cet agrandissement des roues ?
5 -- Pour la rame V150 du record qui ne comportait que 3 remorques et pour 
laquelle quelques
modifications d'aerodynamisme avaient ete apportees, les parametres de la 
resistance a l'avancement
sont A = 1700 N, B = 20, 1 N.km-1 .h et C = 0, 37 N.km-2 .h2 . Calculer la 
force de traction a la jante
lors de l'essai du tableau de la question 1 a la vitesse de 450 km.h-1 . 
Existe-t-il un risque de patinage ?
6 -- Montrer que le record n'est possible que dans une zone de descente. 
Estimez la pente de
celle-ci.
Lors d'un essai dans la phase de preparation un incident a declenche le 
freinage d'urgence alors que
la rame roulait a la vitesse Vo = 506 km.h-1 et la rame s'est immobilisee au 
bout de 15 km.
7 -- Quelle etait l'energie cinetique de la rame au moment du declenchement du 
freinage. Calculer
la deceleration moyenne durant le freinage et la duree de ce freinage.

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Physique II, annee 2010 -- filiere MP

8 -- Le protocole de freinage habituel comporte plusieurs phases. Dans la 
premiere on ouvre
le disjoncteur, les moteurs sont alors en circuit ouvert, c'est la «marche sur 
l'erre ». Calculer la
deceleration aux alentours de 500 km.h-1 pour la rame V150. On note x(t) la 
distance parcourue
depuis l'ouverture du disjoncteur a l'instant t = 0. En ne considerant que le 
terme en V 2 dans la
resistance a l'avancement et un parcours en terrain horizontal, exprimer x(t) 
en fonction de t, de la
vitesse initiale Vo de la rame et de la duree  = MT /(CVo ) dont on precisera 
la valeur numerique en
secondes. On marche sur l'erre pour abaisser la vitesse a 400 km.h-1 . Quelle 
est la distance parcourue
pendant cette marche ?
9 -- Dans une seconde phase, le fonctionnement de certains moteurs est inverse, 
chacun des quatre
moteurs POS devient une dynamo connectee a une resistance RM = 0, 97  refroidie 
par un debit d'air
important. Ce debit est adapte a la puissance de 900 kW degagee par effet Joule 
dans la resistance.
Quelle est la deceleration dans cette deuxieme phase, autour de 400 km.h-1 ?
La fin du freinage etait assuree par de classiques disques de frein sur les 
essieux non moteurs qui ont
ete portes a plus de 800 C sans deformation ni usure anormale !
FIN DE LA PARTIE I

II. -- Comportement en virage
Sur le troncon de la voie d'essai, il y avait quelques virages. Dans la suite 
nous prendrons comme
exemple le virage situe entre les points kilometriques 190 et 197 de la voie, 
de longueur d'arc
s = 6 323 m et de rayon de courbure  = 16 667 m tournant a gauche. Ce virage 
est parcouru a
la vitesse constante de 540 km.h-1 . Les faces internes des rails sont 
distantes de r = 1 435 mm. Les
centres de gravite des remorques sont approximativement situes a une hauteur h 
= 2, 5 m du rail.
On considere dans un premier temps le cas hypothetique d'une voie sans devers, 
c'est-a-dire que les
deux rails sont dans le meme plan horizontal.
10 -- La transition entre la voie rectiligne et la voie en virage se fait par 
l'intermediaire d'un
troncon de raccordement parabolique de longueur 130 m. Quelle est la duree de 
cette phase de transition ? Qu'ont ressenti les passagers se tenant debout dans 
les voitures durant le franchissement du
troncon de transition ? On traduira ces effets de facon quantitative en 
exprimant les valeurs extremes
de la force ressentie par un passager de masse m p = 75 kg se tenant au centre 
du train.
11 -- On definit la secousse (traduction du terme anglo-saxon « jerk ») comme 
la derivee du
vecteur acceleration par rapport au temps. Les normes habituelles des 
transports en commun limitent
l'intensite des secousses acceptables a la valeur de 2 m.s-3 pour le confort 
des passagers. La secousse
engendree par ce virage respecte-t-elle la norme de confort ?
12 -- Un verre d'eau pose sur la tablette devant un passager mettrait en 
evidence la force d'inertie
presente dans le virage de deux manieres differentes. Lesquelles ?
13 -- A quelle vitesse maximale theorique le train peut-il parcourir le virage 
sans risque de
decollement des roues ?
En fait le virage est releve progressivement durant le troncon parabolique de 
raccordement. En sortie
de ce dernier, le rail exterieur est sureleve d'une hauteur  = 130 mm par 
rapport au rail interieur. Ce
decalage persiste durant toute la phase a courbure constante, enfin, un troncon 
parabolique de sortie
de virage permet de redescendre le rail exterieur a son niveau initial des le 
virage termine.
14 -- Quelles sont les ameliorations apportees par le devers par rapport a la 
situation de la question
precedente ? Determiner, dans le referentiel de la rame, la norme ae de 
l'acceleration centrifuge subie
par le passager. Quelle est l'indication du pendule du journaliste dont il est 
question dans la premiere
partie durant le passage du virage ?
FIN DE LA PARTIE II

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574,8 kilometres par heure !

III. -- Alimentation electrique
La puissance electrique est fournie au T GV a partir de sous stations 
electriques SSi=1,...,n que l'on
assimilera a des generateurs ideaux de tension nominale E = 25 kV et de 
frequence  = 50 Hz. Ces
sous stations sont implantees le long de la voie et espacees d'une distance d = 
60 km. Elles sont reliees
par un fil conducteur, la catenaire, suspendu au dessus des rails. La motrice T 
GV recoit l'alimentation
de la catenaire par un contact glissant appele pantographe situe sur son toit. 
Tous les moteurs de la
motrice sont montes en parallele entre le pantographe et les rails qui servent 
de liaison masse a la
Terre. On peut schematiser le circuit d'alimentation sur la figure 1.
Lors du record, la puissance des moteurs
etait augmentee par rapport aux moteurs
de serie et la tension d'alimentation en
sortie des sous stations avait ete montee
exceptionnellement a 31,2 kV sur le secteur du record a la place des 25 kV 
nominaux. Au moment du record la puissance electrique consommee «au pantographe 
» etait de 24 MW et l'intensite a
ete mesuree a 800 A.

F IG . 1 ­ Schema d'alimentation du TGV

Pour notre etude nous nous placons dans les conditions suivantes : le fil de la 
catenaire de section
s = 1, 47 cm2 est en cuivre de resistivite  = 1, 72 × 10-8 .m. La tension des 
sous-stations etant
nominale, on suppose que l'intensite du courant circulant dans les moteurs est 
de 600 A. Le rail
rectiligne est confondu avec l'axe Ox dont l'origine est placee a la derniere 
sous-station electrique
atteinte par le T GV. La variable x est donc definie modulo d.
15 -- Calculer la resistance R totale de la catenaire entre deux sous stations, 
puis la resistance
lineique  en .km-1 . Peut-on negliger les differences de phases entre les 
divers points de la ligne
entre deux sous stations, quel nom donne-t-on a cette approximation ?
16 -- Determiner l'amplitude des intensites I1 (x) et I2 (x) delivrees par les 
sous stations encadrant
le T GV situe en x ainsi que l'amplitude U(x) de la tension effectivement 
disponible aux bornes de la
motrice situee en x. Exprimer alors la puissance P dissipee par effet Joule 
dans la catenaire.
17 -- Localiser la position xm de la motrice qui correspond a un minimum de la 
tension d'alimentation des moteurs. Exprimer alors cette tension minimale en 
fonction de E, R et I = I1 + I2 . Determiner
la valeur maximale Pm de la puissance dissipee en fonction de R et I. Commenter 
ces resultats ainsi
que les diverses applications numeriques afferentes.
Le dispositif reel d'alimentation dispose
en fait d'un second fil (appele «feeder »)
identique a la catenaire deploye entre les
deux sous stations voisines ; au milieu
du parcours un contact est etabli avec
le fil de la catenaire, aboutissant a la
schematisation de la figure 2. On montre
que la tension U f (x) aux bornes de la motrice s'ecrit maintenant

U f (x) = E - 

F IG . 2 ­ Alimentation avec feeder

x (2d - 3x)
I
2d
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pour 0  x 

d
2

Physique II, annee 2010 -- filiere MP

18 -- Calculer la tension U f aux bornes de la motrice en x = d/2, ainsi que sa 
valeur minimale.
Representer sur un meme graphique les fonctions U et U f pour x  [0, d]. 
Commenter le role du feeder.
FIN DE LA PARTIE III

IV. -- Instrumentation lors des essais
Pour veiller a la securite et tirer des enseignements sur le comportement du 
materiel dans ces conditions extremes de vitesse, de nombreux capteurs (plus de 
350, enregistrant plus de 500 parametres !)
etaient disposes en divers endroits de la rame d'essai. Les informations de ces 
capteurs, dirigees vers
la voiture R8 transformee en laboratoire scientifique, etaient analyses par une 
equipe composee d'une
quarantaine de techniciens et ingenieurs.
Pour detecter par exemple d'eventuelles vibrations ou instabilites 
significatives d'une entree en resonance, il est necessaire d'etudier le 
mouvement de diverses parties mobiles au cours de l'essai. On
prendra comme exemple le mouvement de l'une des roues de la rame, l'etude 
consistera a relever en
continu l'acceleration d'un point a la peripherie du disque constituant cette 
roue.
On presente ici un modele d'accelerometre capacitif 1D de la famille des MEMS 
(Micro Electro Mechanical Systems) fixe sur une puce de
3 mm de cotes. La dimension typique du capteur lui meme est de 400µ m. Le reste 
de la
puce est occupe par l'electronique associee. Le
modele mecanique simplifie de l'accelerometre
est represente sur la figure 3. Une masse m =
3 µ g, dite masse sismique, assimilable a un
point materiel A est reliee a l'enveloppe du
capteur par des micro poutres elastiques de
coefficient de raideur k = 0, 17 N.m-1 . Elles
contraignent le mouvement de A dans une direction fixe Oz par rapport au 
boitier.

F IG . 3 ­ Schema de l'accelerometre

Un amortissement a frottement visqueux proportionnel a la vitesse de A par 
rapport au boitier et de
coefficient f = 6, 8 µ N.m-1 .s est assure par un gaz comprime dans le boitier 
etanche. On note zA
la position de A et zB la position d'un point de reference du boitier du 
capteur rigidement fixe au
systeme dont on veut mesurer l'acceleration. On prendra zA = zB au repos et on 
notera z = zA - zB .
Deux condensateurs plans C1 et C2 sont formes par deux armatures fixes 1 et 2 
liees au boitier et
par l'armature mobile 0 liee a A. La distance entre les deux armatures fixes 
sera notee 2e (on prendra
e = 50 µ m pour les applications numeriques) et la surface de chacune des 
armatures est S. Au repos
l'armature 0 est a egale distance de 1 et 2 . On rappelle que les roues du T GV 
record ont un rayon
rt = 546 mm. La puce est quant a elle implantee sur la face interieure d'une 
roue (supposee plane
verticale) de l'une des remorques. Elle est fixee a une distance rb = 540 mm de 
l'axe de rotation de
la roue, de plus l'axe Oz du boitier du capteur est confondu avec un rayon de 
la roue.

IV.A. -- Analyse mecanique
19 -- Etablir l'equation differentielle verifiee par z.qOn notera aB la 
composante de l'acceleration

du boitier sur Oz, on utilisera les parametres o =
numeriques et l'on tiendra compte du poids de A.

k
m,

 =

f
2mo

dont on precisera les valeurs

20 -- On considere un roulement sans glissement de la roue sur un rail 
horizontal a la vitesse
constante de V = 540 km.h-1 . Determiner la composante sur Oz de l'acceleration 
communiquee au
boitier. On notera aB0 cette composante.
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574,8 kilometres par heure !

21 -- S'il y avait un defaut de surface sur la jante de la roue, a quelle 
pulsation  la perturbation
de l'acceleration locale se manifesterait-elle ? On notera cette perturbation 
aB1 (t) = A1 cos( t).
22 -- Calculer la valeur numerique du temps caracteristique d'amortissement des 
oscillations. En
deduire que l'on pourra, par la suite, se placer en regime permanent.
23 -- Determiner, en regime permanent, la reponse z(t) du capteur dans le cas 
d'un roulement sans
glissement d'une roue possedant un defaut de surface sur un rail horizontal a 
la vitesse constante de
V = 540 km.h-1 .

IV.B. -- Signal electrique de sortie
24 -- On rappelle que la capacite d'un condensateur plan dont les armatures de 
surface S sont
separees d'une distance d est C =  S/d ou  est la permittivite du milieu. 
Exprimer les capacites C1
et C2 du modele simplifie du capteur dans le cas z 6= 0.
Le premier element de l'electronique du capteur peut etre
modelise par le schema electrique equivalent represente sur
la figure 4. Les generateurs ideaux de tension sont tels que
e1 (t) = E sin(1t) et e2 (t) = -E sin(1t) avec E = 1 V et
1 = 2 · 105 rad.s-1   .
25 -- Etablir l'expression de Va (t) en fonction de C1 , C2 ,
e1 et e2 , puis mettre cette expression sous la forme d'un signal sinusoidal de 
pulsation 1 . Comment varie l'amplitude
de ce signal ?
La seconde partie de l'electronique du capteur construit le
signal de mesure Vm (t) a partir de Va (t) selon le schema de F IG . 4 ­ Schema 
equivalent du capteur
la figure 5

F IG . 5 ­ Traitement du signal du capteur
Le signal de modulation e3 (t) = E sin(1t +  ) est combine par le premier etage 
avec Va pour obtenir
Va (t) × e3 (t)
. Le filtre passe-bas possede une pulsation de coupure egale a 1 .
V2 (t) =
E
26 -- Donner l'expression de V2 (t) sous la forme d'une somme de deux termes 
sinusoidaux. En
deduire la tension V3 (t). Determiner la valeur de  permettant d'obtenir la 
tension la plus grande,
c'est-a-dire la sensibilite du capteur la plus elevee possible.
27 -- On souhaite obtenir une variation de Vm de 10mV pour une variation de 
l'acceleration du
boitier egale a celle de la pesanteur terrestre g. Quelle valeur faut-il 
attribuer au facteur d'amplification
en tension Av de l'amplificateur de sortie ? Proposer un montage permettant 
cette sensibilite.
FIN DE LA PARTIE IV
FIN DE L'EPREUVE

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