Mines Physique 2 MP 2012

ECOLE DES PONTS PARISTECH
SUPAERO (ISAE), ENSTA PARISTECH,
TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH,
MINES DE SAINT­ETIENNE, MINES DE NANCY,
TELECOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (FILIERE MP)
ECOLE POLYTECHNIQUE (FILIERE TSI)
CONCOURS D'ADMISSION 2012
SECONDE EPREUVE DE PHYSIQUE
Filiere MP
(Duree de l'epreuve: 3 heures)
L'usage de la calculatrice est autorise
Sujet mis a disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, TELECOM 
INT, TPE­EIVP

Les candidats sont pries de mentionner de facon apparente sur la premiere page 
de la copie :
PHYSIQUE II -- MP.
L'enonce de cette epreuve comporte 7 pages.
­ Si, au cours de l'epreuve, un candidat repere ce qui lui semble etre une 
erreur d'enonce, il est invite a le
signaler sur sa copie et a poursuivre sa composition en expliquant les raisons 
des initiatives qu'il aura ete
amene a prendre.
­ Il ne faudra pas hesiter a formuler les commentaires (incluant des 
considerations numeriques) qui vous
sembleront pertinents, meme lorsque l'enonce ne le demande pas explicitement. 
Le bareme tiendra compte
de ces initiatives ainsi que des qualites de redaction de la copie.

PHYSIQUE DANS L'ATMOSPHERE
Ce probleme traite de divers aspects de physique atmospherique. Les quatre 
parties qui le constitue sont independantes et peuvent donc etre traitees 
separement. Les vecteurs sont surmontes d'un
chapeau s'ils sont unitaires kubr k = 1, ou d'une fleche ~g dans le cas 
general. Un certain nombre de
constantes numeriques sont donnees en fin d'enonce. Pour les applications 
numeriques on utilisera 3
chiffres significatifs. Aucun pre-requis sur l'air humide n'est necessaire pour 
traiter la partie I.

I. -- Formation d'un brouillard
La teneur de l'atmosphere en vapeur d'eau est caracterisee par l'humidite 
specifique notee  qui est le
rapport de la masse de vapeur d'eau a la masse d'air sec contenue dans un 
volume donne. Ce melange
d'air sec et de vapeur d'eau constituant l'atmosphere est appele air humide, il 
sera suppose homogene
dans tout ce probleme. L'air humide, l'air sec et la vapeur d'eau seront 
assimiles a des gaz parfaits.
La pression totale P0 de l'atmosphere est donc la somme de la pression de la 
vapeur d'eau, notee Pv ,
et de celle de l'air sec, notee Ps . On notera par ailleurs Mv et Ms les masses 
molaires respectives de
l'eau et de l'air sec. Les valeurs numeriques correspondantes sont rappelees en 
fin de probleme. On
parle de brouillard lorsqu'une partie de la vapeur d'eau se condense en eau 
liquide.
1 -- Rappeler la definition de la pression de vapeur saturante que l'on notera 
Psat . Pourquoi cette
grandeur depend elle de la temperature ?
2 -- Determiner, lorsque Pv = Psat , l'expression de l'humidite specifique sat 
en fonction des
rM
Psat
Mv
. En deduire que si rP  1 on peut ecrire sat 
et rP =
.
rapports rM =
Ms
P0
rP

Physique dans l'atmosphere

Un certain nombre de mesures effectuees a la pression atmospherique P0 = 1, 01 
· 105 Pa ont permis
de dresser le tableau suivant :
Psat [Pa] 6, 12 · 102
T [ C]
0

8, 78 · 102
5

1, 22 · 103
10

1, 70 · 103
15

2, 31 · 103
20

3, 16 · 103
25

4, 23 · 103
30

3 -- Tracer la courbe sat (T ) issue des mesures. Quelle est la region du plan 
(T, ) qui correspond
a un brouillard ?
On melange adiabatiquement 2 masses d'air humide de temperature respectives T1 
et T2 , contenant
des masses d'air sec respectives ms1 et ms2 et d'humidite specifique 1 et 2 . 
Durant tout le melange,
on suppose que la pression totale reste constante egale a P0 . On suppose enfin 
qu'il n'y a pas de
condensation de la vapeur d'eau. On supposera que sur le domaine considere, la 
capacite thermique
massique c p de l'air humide ne depend ni de la temperature ni de l'humidite 
specifique. Lorsque le
processus de melange adiabatique reversible est termine le volume considere 
possede une humidite
specifique  et une temperature T .
4 -- Exprimer  en fonction de 1 , 2 , ms1 et ms2 .
5 -- Montrer que la variation d'enthalpie durant le melange est nulle. En 
deduire l'expression de
la temperature T en fonction de T1 , T2 , ms1 et ms2 en remarquant que 1  1 et 
2  1.
6 -- Le diagramme dans lequel on represente l'evolution de l'humidite 
specifique  en fonction
de la temperature T est appele diagramme de Carrier. Representer dans un 
diagramme de Carrier les
points X1 , X2 et X associes au differents etats du systeme etudie dans les 
questions 4 et 5 avant et
apres le melange.
7 -- Une brise souffle le soir de la terre vers la mer qui permet le melange 
adiabatique d'un air
sature d'humidite a 10 C avec l'air sature d'humidite a 25 C qui surplombe la 
mer. Montrer qu'il y a
formation d'un brouillard, on pourra proceder de facon geometrique.
On considere a present qu'une partie du melange des deux masses d'air s'est 
condensee sous forme
d'eau liquide. On note µ la masse de ce condensat liquide uniformement reparti 
dans l'air et  la
chaleur latente massique de vaporisation de l'eau supposee constante. Pour 
simplifier les calculs on
supposera que ms1 = ms2 = ms .
8 -- Lorsque le processus de melange est acheve, determiner
la relation existant entre la temperature

finale du melange T f et son humidite specifique  f T f faisant intervenir les 
parametres , c p , T =
(T1 + T2 ) /2 et  = (1 + 2 ) /2.
9 -- En interpolant lineairement sat (T ) sur l'intervalle concerne, determiner 
les valeurs de T f et
de  f T f a partir de la relation obtenue a la question 8.
FIN DE LA PARTIE I

II. -- Formation d'un nuage
On considere qu'un nuage se forme dans une region de l'atmosphere lorsque la 
pression partielle
de l'air present dans cette region devient superieure a la pression de vapeur 
saturante Psat . L'air est
toujours assimile a un gaz parfait.

II.A. -- Modele d'atmosphere isentropique
On considere une region du sol assimilable a un plan. On note z0 l'altitude de 
reference pour laquelle
la pression est P0 . L'atmosphere est une couche d'air situee dans l'espace z  
z0 . On supposera que
l'acceleration de la pesanteur ~g est constante dans cette couche et que la 
temperature T de ce gaz est
une fonction T (z) de l'altitude. L'hypothese isentropique consiste a supposer 
que le passage d'une
couche a l'autre de l'atmosphere est equivalent a une transformation 
adiabatique et reversible.
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Physique II, annee 2012 -- filiere MP

10 -- En faisant l'hypothese que l'atmosphere est en equilibre hydrostatique 
montrer que

 Zz
dz 
P (z) = P0 exp 

z0 T (z )
ou l'on determinera la constante  en fonction de g = k~gk, de la constante des 
gaz parfaits R et de la
masse molaire de l'air notee M.
11 -- En utilisant la loi de Laplace des gaz parfaits PV  = cste ou  = C p,m 
/Cv,m est le rapport
des capacites thermiques molaires a pression et a volume constant, exprimer le 
gradient adiabatique
dT
de temperature  =
en fonction du rapport Mg/C p,m .
dz
12 -- En supposant que C p,m ne depend pas de z, determiner le profil de 
temperature T (z) d'une
atmosphere isentropique et en deduire que
P (z) = P0

T (z)
T (z0 )

ou l'on determinera  en fonction de . Quel est le signe de  ?

II.B. -- Possibilite de formation d'un nuage
La relation de Clapeyron permet de relier la pression de vapeur saturante Psat 
, la temperature T , la
chaleur latente massique de vaporisation de l'eau , et les volumes massiques ve 
et vv de l'eau et de
la vapeur d'eau. Elle s'ecrit
dPsat
 = T (vv - ve )
dT
13 -- En negligeant l'un des deux volumes massiques devant l'autre et en 
supposant que  est
independant de la temperature, montrer que Psat verifie l'equation 
differentielle
dPsat
Psat
= 2
dT
T
ou l'on exprimera  en fonction de , R, et Mv masse molaire de la vapeur d'eau 
toujours assimilee a
un gaz parfait. En deduire l'expression de Psat (T ) en fonction de Psat (T0 ), 
T0 , T et  .
14 -- En etudiant la croissance comparee des fonctions Psat (T ) et P (T ) pour 
une atmosphere isentropique, demontrer qu'il existe toujours une temperature en 
deca de laquelle on assiste a la formation
de nuages.
FIN DE LA PARTIE II

III. -- De l'electricite dans l'air
La terre est supposee spherique de rayon RT . Au voisinage
de sa surface on mesure un champ electrique ~E. Par beau
temps, ce champ est homogene et uniforme dirige selon la normale descendante a 
la surface de la terre ~E = -Er ubr comme
represente ci-contre. Il est relativement stable et l'ordre de
grandeur de ses variations temporelles est la journee. Pour
les applications numeriques au niveau du sol on prendra Er = F IGURE 1 ­ 
Structure geometrique
130 V.m-1 . On suppose que la terre est un bon conducteur et du champ 
electrique terrestre
on note  la densite superficielle de charges a sa surface.

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Tournez la page S.V.P.

Physique dans l'atmosphere

15 -- Donner la relation entre  , Er et 0 . En deduire la valeur numerique de  .
16 -- A partir du resultat de la question precedente, determiner la valeur 
numerique de la charge
totale QT de la Terre. En supposant que la lune possede la meme charge, 
calculer le rapport des
modules des forces electrostatiques et gravitationnelles entre ces deux corps. 
Qu'en concluez-vous ?
La haute atmosphere est alimentee en charges en permanence par divers processus 
que nous n'etudierons pas ici. L'air constituant l'atmosphere etant conducteur, 
il peut exister un courant electrique
dirige de la haute atmosphere vers la terre. On note ~j la densite volumique de 
ce courant et  la
conductivite electrique de l'air.
17 -- Determiner l'expression de ~j en faisant l'hypothese que l'intensite du 
champ ~E est uniforme
dans toute l'atmosphere. En deduire l'intensite du courant electrique circulant 
dans l'atmosphere sous
cette hypothese.
On peut associer le courant etudie a la question 17 a une difference de 
potentiel U0 que l'on peut mesurer experimentalement et dont la valeur 
numerique moyenne est U0 = 400 kV. Pour tenter d'expliquer
les differents phenomenes electriques dont l'atmosphere est le siege, un 
premier modele consiste a
faire l'hypothese que la surface de la terre et la haute atmosphere forment les 
armatures d'un condensateur spherique, que nous appellerons le condensateur 
terrestre. On note C la capacite de ce condensateur et on pourra eventuellement 
utiliser R f sa resistance de fuite due au fait que l'air conduit le
courant avec la conductivite  . Pour fixer les idees on supposera que la haute 
atmosphere et la surface
de la terre sont uniformement separees d'une distance h = 100 km.
18 -- Montrer que cette valeur de U0 est incompatible avec l'hypothese d'un 
champ uniforme sur
toute l'epaisseur de l'atmosphere.
19 -- Determiner l'expression de la difference de potentiel aux bornes du 
condensateur terrestre
en fonction de QT et C ainsi que celle du courant circulant dans l'atmosphere 
en fonction de  , QT
et 0 . En deduire l'expression de la constante de temps associee au 
condensateur terrestre en fonction
de  et 0 . Calculer sa valeur numerique et commenter le resultat obtenu.
FIN DE LA PARTIE III

IV. -- Mesures dans l'atmosphere
Le principe de la technique de mesure par Lidar (Light Detection and Ranging) 
mise en oeuvre au
laboratoire de Purple Crow (Purple Crow Lidar - PCL) dans la province de 
l'Ontario au Canada est
d'utiliser un laser de longueur d'onde  = 532, 0 nm qui emet des impulsions de 
profil temporel
rectangulaire de duree  = 7 ns et d'energie E = 0, 600 J, avec une frequence f 
= 20 Hz. Ce laser,
situe au sol en un point O, pointe vers le haut suivant la direction verticale 
que l'on notera Ox. Une
fraction de la lumiere est retrodiffusee par l'atmosphere puis recueillie au 
sol par un telescope situe
en un point O  a proximite immediate du laser : la distance au sol entre le 
laser et le telescope est
notee D = OO  .
La mesure de l'intensite recueillie sur un recepteur au foyer du telescope doit 
permettre
d'acceder a certains parametres atmospheriques, notamment la concentration de 
certains
aerosols contenus dans l'atmosphere. Le faisceau du laser occupe uniformement 
un cone
de sommet O et d'angle au sommet  = 0, 4 · 10-3 rad. Le telescope est constitue 
d'un
miroir de diametre d = 2, 65 m et de surface AT (0). Un filtre de bande 
passante 1, 0 nm,
assure que la mesure du recepteur est effectivement faite au voisinage de  .

x

20 -- Expliquer pourquoi ce Lidar sera sensible aux concentrations en gaz et en 
aerosols de petite
taille presents dans l'atmosphere. Donner une estimation de la taille maximale 
des aerosols concernes.

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Physique II, annee 2012 -- filiere MP

Dans la suite nous supposerons qu'il n'y a qu'une seule sorte de particule 
diffusante en jeu, caracterisee par sa densite volumique N(x) et par sa section 
efficace  ( ). Cette derniere, exprimee
en m2 , peut etre consideree comme une surface transverse fictive que presente 
la particule soumise
a un rayonnement. Ainsi, une particule de section efficace  ( ), exposee a une 
onde de puissance
surfacique Ps de longueur d'onde  , absorbe une puissance P =  ( ) Ps .
On admettra que si l'on emet, depuis l'altitude x = 0, un faisceau d'intensite 
I0 et si on appelle
 (x,  ) = N(x) ( ) le coefficient d'extinction atmospherique a l'altitude x 
pour une longueur d'onde
 alors l'intensite recue a l'altitude x s'ecrit

Zx

I(x,  ) = I0 exp -  x  ,  dx  
0

21 -- On appelle T0 (x,  ) le coefficient de transmission atmospherique en 
intensite entre le point
O et un point M(x) d'altitude x situe sur le trajet du faisceau laser et T1 (x, 
 ) le meme coefficient mais
sur le trajet aller-retour. Determiner la relation entre les fonctions T0 et  
puis celle entre T1 et T0 .
22 -- Soit A (x) la surface de la section droite d'atmosphere illuminee par le 
faisceau a l'altitude
x. Exprimer A (x) en fonction de  et de x. En deduire la puissance par unite de 
surface Ps (x) recue
par l'atmosphere pendant la duree d'une impulsion du laser a l'altitude x, en 
fonction de E ,  ,  , x
et T0 (x,  ).
23 -- En choisissant une origine des dates au debut d'une impulsion laser, 
determiner l'epaisseur
 de la zone de l'atmosphere pouvant renvoyer un signal capte par le telescope a 
la date t. On
exprimera  en fonction de  et de la celerite de la lumiere c. Calculer la 
valeur numerique de 
et commenter la valeur obtenue compte tenu des distances explorees de 
l'atmosphere (de l'ordre de
plusieurs dizaines de kilometres). En deduire que l'on pourra dans la suite 
definir une relation simple
entre la date t de reception d'un signal et l'altitude x de la diffusion.
Dans la suite, les fonctions dependant de l'instant de reception seront 
considerees comme des fonctions dependant de x, altitude  active  de 
l'atmosphere.
24 -- On considere un point M(x) situe sur l'axe du telescope et illumine par 
le laser et l'on suppose
qu'une particule situee en ce point se comporte comme une source isotrope. 
Exprimer la puissance
Prec recue par le telescope en fonction de la puissance totale Pdif diffusee 
par cette particule et des
parametres utiles du probleme.
En fait la particule diffusante se comporte comme un dipole oscillant qui 
possede des directions
privilegiees. On peut globalement montrer que dans la situation d'etude, la 
puissance recue par le
telescope est amplifiee d'un facteur 3/2. On suppose que la surface d'ouverture 
AT (0) du telescope
(de diametre d) est centree en O  et orthogonale a l'axe O  x. Ce dernier, 
parallele a Ox, est donc
l'axe optique du telescope. La zone de visibilite du telescope est un cone de 
sommet O  , d'axe O  x et
d'angle au sommet T .
25 -- Expliquer qualitativement pourquoi T =   /d, ou  est une constante liee a 
la geometrie
du telescope, voisine de l'unite et que l'on ne demande pas d'expliciter. 
Calculer T avec  = 1, on
conservera ces valeurs dans la suite du probleme. Comment evoluerait T si l'on 
prenait en compte
la taille du detecteur place au foyer du telescope ?
On note h0 l'altitude minimale telle qu'une particule situee dans la zone de 
visibilite du telescope
puisse diffuser le faisceau laser et h1 l'altitude telle que toutes les 
particules de la zone de visibilite
du telescope situee plus haut que h1 puissent diffuser le faisceau laser.
26 -- En s'aidant d'une figure en coupe des cones respectifs associes au laser 
et au telescope,
determiner l'expression de h0 et de h1 en fonction de D, T et  . Determiner la 
valeur maximale
Dmax que l'on peut affecter a D pour etre sur de pouvoir sonder la totalite de 
la zone visible de
l'atmosphere au dela de l'altitude hmin = 10 km. On supposera par la suite que 
les deux instruments
sont places de sorte que les altitudes etudiees soient superieures a hmin .
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Tournez la page S.V.P.

Physique dans l'atmosphere

27 -- Montrer qu'a l'issue de chaque impulsion, la puissance P (x,  ) recue par 
le telescope peut
s'ecrire
E AT, 3N(x)  ( )
T1 (x,  )
P (x,  ) =
 4 x2
2
ou AT, est une fonction de AT (0), T et  que l'on explicitera. Cette relation 
est appelee  equation
du Lidar .
28 -- La puissance etant tres faible, le detecteur est un integrateur qui donne 
comme reponse
l'energie E (x) captee pendant une duree d petite par rapport a la duree de 
l'aller retour du signal mais
grande devant la duree  de l'impulsion. Montrer que la consequence de cette 
methode de detection
est de definir une resolution spatiale d liee au detecteur. Calculer d pour une 
duree d'integration
d = 160 ns.
Des mesures independantes ont permis de recueillir, pour un certain type 
d'aerosol, la densite volumique en deux points, bas et haut, de l'atmosphere. 
Les resultats sont presentes dans le tableau
ci-dessous
x [km]
20
80
N (x) [m-3 ] 1, 70 · 1024 4, 10 · 1018
Pour toute la suite du probleme on considerera que le facteur d'attenuation 
atmospherique est independant de x et de  et on prendra T1 (x,  ) = 58% ; La 
section efficace de diffusion de l'aerosol
considere est  ( ) = 5, 15 · 10-31 m2 et la duree d'integration est d = 160 ns. 
Enfin, on considerera
que AT (0) =  d 2 /4.
29 -- Calculer les energies recues par le recepteur Eh et Eb pour les deux 
points haut et bas
mesures. Sachant que l'energie d'un photon de frequence  s'ecrit E p = h , a 
combien de photon(s)
cela correspond-il ? Que pensez vous de ces valeurs ?
30 -- On repete cette integration a la frequence de 20 Hz dans les memes 
conditions durant 364
minutes, combien de photons aura-t-on alors recueilli dans chaque cas sur le 
detecteur ? Le comptage
de n photons
est une operation statistique comportant une incertitude statistique, ou bruit 
statistique,

egal a n. En deduire l'incertitude relative sur la mesure du nombre de photons 
dans les deux cas.
31 -- Le laser permet d'emettre plusieurs longueurs d'ondes. Montrer, a une 
altitude x donnee,
ce que peut apporter la possibilite d'avoir plusieurs valeurs de puissance 
instantanee P (x, i ) correspondant a plusieurs longueurs d'onde i .
FIN DE LA PARTIE IV

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Physique II, annee 2012 -- filiere MP

Donnees numeriques
­ Masse molaire de la vapeur d'eau : Mv = 18, 0 g.mol-1
­ Masse molaire de l'air sec : Ms = 29, 0 g.mol-1
­ Chaleur latente massique de vaporisation de l'eau :  = 2, 50 · 106 J.kg-1
­ Capacite thermique massique de l'air humide : c p = 1, 90 · 103 J.kg-1 .K-1
­ Conductivite electrique moyenne de l'air :  = 3, 00 · 10-15 S.m-1
­ Permittivite electrique du vide : 0 =

1
36

· 10-9 F.m-1

­ Rayon terrestre : RT = 6, 36 · 106 m
­ Masse de la terre : mT = 5, 97 · 1024 kg
­ Masse de la lune : mL = 7, 35 · 1022 kg
­ Constante de la gravitation de Newton : G = 6, 67 · 10-11 m3 .kg-1 .s-2
­ Constante de Planck : h = 6, 63 · 10-34 m2 .kg.s-1
­ Celerite de la lumiere dans les milieux consideres : c = 3, 00 · 108 m.s-1
FIN DE L'EPREUVE

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