Mines Physique 2 MP 2016

A 2016 - PHYSIQUE II MP

CONCOURS
COMMUN

MINES
PONTS

Ecole des PONTS ParisTech,
ISAE-SUPAERO, ENSTA ParisTech,
TELECOM ParisTech, MINES ParisTech,
MINES Saint-Etienne, MINES Nancy,
TELECOM Bretagne, ENSAE ParisTech (Filiere MP).

CONCOURS 2016
SECONDE EPREUVE DE PHYSIQUE
(Duree de l'epreuve: 3 heures)
L'usage de l'ordinateur ou de la calculatrice est autorise.
Sujet mis a la disposition des concours :
Concours Commun TPE/EIVP, Concours Mines-Telecom, Concours
Centrale-Supelec (Cycle international).
Les candidats sont pries de mentionner de facon apparente
sur la premiere page de la copie :
PHYSIQUE II - MP
L'enonce de cette epreuve comporte 8 pages de texte.

Si, au cours de l'epreuve, un candidat repere ce qui lui semble etre une erreur 
d'enonce, il le
signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des 
initiatives qu'il est
amene a prendre.

Physique II, annee 2016 -- filiere MP

Detection des exoplanetes
L'exploration de planetes lointaines a fourni a la litterature et au cinema de 
science-fiction
des oeuvres parmi les plus celebres ; citons La planete des singes (Pierre 
Boulle, 1963), Avatar
(James Cameron, 2009)... L'existence de ces planetes extra-solaires est 
longtemps restee incertaine jusqu'a une premiere decouverte en 1995 ; la 
millieme  exoplanete  a ete confirmee en
octobre 2013 ; un an plus tard ce nombre a double. Ce probleme aborde le 
delicat enjeu de leur
detection. Toutes les orbites envisagees dans ce probleme sont circulaires. Les 
donnees utiles
pour les applications numeriques sont rassemblees en fin d'epreuve.

I. -- Fascinantes exoplanetes
I.A. -- Une loi fondamentale
Dans un document concernant les methodes de detection des exoplanetes, on lit : 
 le mouvement relatif de la planete autour de son etoile est gouverne par la 3 
e loi de Kepler, ou si
l'on prefere par la relation qui exprime l'equilibre entre l'attraction 
gravitationnelle et la force
centrifuge .
On considere une planete assimilee a un point materiel P de masse MP , tournant 
avec la periode
TP a la distance rP de son etoile consideree comme le point fixe E de masse ME  
MP . Toute
autre action sur P que l'attraction gravitationnelle de E est negligee.
1 -- Schematiser cette description et preciser les deux referentiels permettant 
de comprendre l'utilisation de la notion d' equilibre  dans la citation 
ci-dessus. En deduire la 3e loi
de Kepler reliant rP , ME , TP et la constante de la gravitation G .
Cette relation est transposable chaque fois qu'un petit corps de masse m orbite 
autour d'un astre
de masse tres superieure, toute autre action etant negligee et la duree mise en 
jeu permettant
l'approximation galileenne.

I.B. -- Principales caracteristiques de la planete
On envisage un vaisseau d'exploration spatiale E de masse m, s'approchant d'une 
planete P
d'apparence parfaitement spherique, de rayon RP , dont la periode siderale de 
rotation sur ellememe est tP = 19 h 30 min (les unites sont celles en vigueur 
sur Terre). Il commence par se
mettre en orbite equatoriale basse, d'altitude h ; la periode de cette orbite 
dans le referentiel
planetocentrique est de 2,00 h. Tout en sondant l'atmosphere et en observant la 
surface, les
 astronautes  (sans prejuger de leur nationalite !) se livrent a quelques 
calculs.
2 -- Calculer la masse MP si RP = 5000 km, h = 100 km ; peut-on envisager pour 
cette
planete une structure comparable a celle de la Terre : croute et manteaux 
rocheux entourant
un noyau metallique de densite de l'ordre de 10 et de rayon correspondant a 
environ 50% du
rayon terrestre ? Des arguments quantitatifs sont attendus.
3 -- Rappeler le theoreme de Gauss pour la gravitation dans le cas d'une 
distribution
de masse a symetrie spherique. Sous cette hypothese, calculer la valeur 
numerique du champ
gravitationnel a la surface de cette planete.
4 -- Rappeler succinctement l'origine de la difference entre champ 
gravitationnel et acceleration de la pesanteur a la surface d'un astre. 
Calculer les valeurs de l'acceleration de la
pesanteur aux poles et a l'equateur de la planete ; cet ecart serait-il 
mesurable avec un dispositif
d'etude utilise au lycee : enregistrement video d'une chute libre puis 
traitement informatique ?
Quels autres dispositifs pourrait-on proposer ?
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Physique II, annee 2016 -- filiere MP

5 -- Un corps quittant radialement la surface de la planete (ou son voisinage 
immediat) avec
une vitesse suffisante peut s'eloigner indefiniment de l'astre : la vitesse 
minimale qui le permet,
en negligeant toute autre action sur le corps que l'attraction gravitationnelle 
de la planete,
est appelee vitesse de liberation. En utilisant un raisonnement base sur 
l'energie, determiner
l'expression de la vitesse de liberation de la planete P , en fonction de G , 
MP , et RP . Faire
l'application numerique.
La figure 1 donne la densite de probabilite du module de la vitesse dans 
certains gaz parfaits
differenties par leurs masses molaires et en equilibre thermodynamique a 290 K 
. L'abscisse
du maximum est la vitesse la plus probable
vpp , elle represente environ 80% de la vitesse
p
2
quadratique moyenne definie par v = hv i.
P(v)£10 4
25
20

6 -- Les gaz de l'atmosphere de la planete
P etant assimiles a des gaz parfaits en equilibre thermique a une temperature 
T0 proche
de 290 K, utiliser les courbes fournies pour
discuter l'eventualite que cette planete retienne une atmosphere contenant plus 
ou moins
les memes especes que celle de la Terre.

44 g.mol -1
32 g.mol -1

15
18 g.mol -1

Les molecules de l'atmosphere etant soumises
a l'agitation thermique, leur energie cinetique
4 g.mol
se decompose selon trois degres de liberte in5
dependants : hv 2 i = hvx2 i + vy2 + hvz2 i.
v [km.s-1]
7 -- Determiner l'expression theorique de
0
0
1
2
3
la vitesse quadratique moyenne des molecules
Figure 1 ­ Distribution des vitesses
dans un gaz de masse molaire M a la temperature T . Faire le calcul pour le 
dioxygene
eventuellement present, a T = 290 K et verifier la coherence avec les 
informations fournies sur
la figure 1.
10

-1

I.C. -- Detection d'une exoplanete depuis la Terre
Les voyages interstellaires etant aujourd'hui hors de notre portee, il faut se 
contenter de ce
qu'on peut apprendre depuis la Terre et les telescopes spatiaux.
A partir d'observations effectuees a l'Observatoire de Haute-Provence (OHP), 
les astronomes
Michel Mayor et Didier Queloz, de l'observatoire de Geneve, ont pour la 
premiere fois formellement identifie en 1995 une planete extra-solaire ; elle 
orbite autour de l'etoile 51­Pegase, a
42 annees-lumiere de la Terre. Depuis, les possibilites techniques ont permis 
de multiplier les
decouvertes, et aussi d'acquerir de plus en plus d'informations sur ces astres. 
On s'interesse
particulierement a leur temperature et a la composition de leur atmosphere.
Le telescope de l'OHP qui a permis la decouverte offre un diametre d'objectif d 
= 193 cm . Il
est situe dans un site d'observation de grande qualite. En supposant qu'il ne 
soit limite que par
la diffraction, on pourrait en obtenir un pouvoir separateur angulaire de 
l'ordre de 1,2
(rad),
d
 designant la longueur d'onde observee. On rappelle que le pouvoir separateur 
mesure le plus
petit angle separant les rayons venant de deux points-sources que l'on parvient 
a voir comme
distincts l'un de l'autre.
8 -- Dans l'ideal, une observation depuis le voisinage de 51­Pegase avec le 
telescope
de l'OHP permettrait-elle de separer Jupiter du Soleil ? En dehors de la limite 
du pouvoir
separateur, quel(s) autre(s) obstacle(s) s'oppose(nt) a l'observation visuelle 
directe d'une exoplanete ?
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Physique II, annee 2016 -- filiere MP

Les exoplanetes sont en fait detectees indirectement, par exemple par les 
variations de luminosite
induites lorsqu'elles passent devant ou derriere l'etoile (methode du transit), 
ou par les petits
mouvements que leur attraction imprime a l'etoile autour de laquelle elles 
orbitent. Nous allons
nous interesser a cette methode, dite de la vitesse radiale.
On utilise pour cela l'effet Doppler affectant les ondes electromagnetiques : 
si l'emetteur E
est anime d'une vitesse radiale d'intensite vr par rapport a l'observateur O, 
et si la frequence
emise est f , la frequence recue en O est f + f . Ce decalage f est positif si 
l'emetteur et
l'observateur se rapprochent l'un de l'autre (vr < 0) et negatif dans le cas contraire (vr > 0).
|
Si |vr |  c, hypothese supposee valide ici, on montre alors que |f
= |vcr | .
f
On considere que l'emetteur est une etoile E accompagnee d'une planete P et que 
toutes les
deux tournent autour de leur barycentre G avec la meme periode T . La Terre est 
en O dans le
plan de l'orbite. Le systeme observe s'eloigne globalement de la Terre a la 
vitesse radiale ~vG .
L'ensemble est represente sur la figure 2, vu de dessus. Dans
la realite OG  GP  GE, de sorte que les mouvements de
E sont tres difficiles a observer directement. On reconnait
la vitesse radiale ~vG de G par rapport a Oxyz, et on designe
par ~v la vitesse de E par rapport a Gxyz (les directions
fixes xyz ne sont pas precisees). On supposera de plus que
vG = k~vG k > v = k~v k.
9 -- Exprimer l'intensite vr de la vitesse radiale de E
par rapport a O, en fonction de vG , v et , puis l'amplitude
de la variation du decalage en frequence par effet Doppler
f = 21 (|f |max - |f |min ).

v~

O

E
µ
G
~vG

P
Figure 2 ­ Etoile-Planete

10 -- Expliquer comment le suivi temporel du decalage en frequence de la 
lumiere emise
par une telle etoile permet de connaitre la periode T . Pourquoi cette methode 
a-t-elle permis
la decouverte initiale de planetes proches de leur etoile ? Determiner 
l'expression du rayon GE
de l'orbite de l'etoile autour de G, en fonction de f , f , c et T .
Nos connaissances sur la structure et le fonctionnement des etoiles permettent 
de deduire leur
masse de leur luminosite. La masse ME est par consequent raisonnablement connue.
11 -- En tenant compte du fait que ME  MP , determiner des expressions 
approchees de
MP et P E en fonction de G , T , ME et GE.
12 -- Pour avoir une idee de la precision requise dans les mesures, reprenons 
l'exemple du
couple Soleil-Jupiter, cette planete etant la plus massive de notre systeme. 
Calculer la valeur
de f /f qu'un astronome extraterrestre devrait etre capable de mesurer pour 
mettre en oeuvre
la methode etudiee.
Cette approche d'un probleme experimental nous a montre l'extreme difficulte de 
certaines
mesures, pour lesquelles le signal utile, ici la variation de la frequence, est 
d'une part tres faible
et d'autre part facilement masque par les incertitudes induites par les 
fluctuations diverses du
signal emis, par les perturbations qu'il subit lors de sa propagation, par des 
signaux parasites
qui s'y ajoutent, par sa transformation en signal electrique, par la 
transmission ensuite de ce
signal electrique dans une chaine de traitement...
Dans les prochaines parties, nous allons nous interesser a quelques aspects 
lies a ces questions
FIN DE LA PARTIE I

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Physique II, annee 2016 -- filiere MP

II. -- Detection d'un signal faible
II.A. -- Extraction d'un signal faible du bruit par effet de moyenne
Un detecteur enregistre un spectre en le decomposant sur plusieurs canaux 
numerotes de 1 a
N . Chacun de ces canaux represente une bande de frequence tres etroite.
Lors d'une sequence d'acquisition, le detecteur enregistre une serie de valeurs 
xk = sk + bk pour
k variant de 1 a N . L'eventuel signal sk est celui dont la detection est 
souhaitee. Le signal
bk est un parasite appele bruit ; differents phenomenes physiques sont a 
l'origine du bruit, a
commencer par l'agitation thermique des porteurs de charges.
Le bruit considere, bk , prend une valeur aleatoire de moyenne b independante 
de k. La dispersion
autour cette moyenne est supposee gaussienne d'ecart-type  ; c'est-a-dire que 
pour un grand
nombre n d'acquisitions independantes dont les resultats sont ajoutes canal par 
canal, la valeur
moyenne du signal sommesera nb et l'ordre de grandeur de la dispersion de 
chaque cote de
cette valeur moyenne sera n .
1200
N = 111 - n = 100
b = 10 - ¾ = 5

N = 111 - n = 1
25 b = 10 - ¾ = 5
1100
20
15

1000

10
900
5
0
0

20

40

60

80

100

800
0

20

40

60

80

100

Figure 3 ­ Acquisition d'un bruit (sk = 0 pour tout k) sur N = 111 canaux avec 
b = 10 et
 = 5. La figure de gauche represente 1 acquisition, celle de droite la somme 
canal par canal
de 100 acquisitions independantes.
13 -- Representer l'allure du graphe que l'on pourrait obtenir apres 2500 
acquisitions, l'axe
des ordonnees etant clairement gradue dans sa partie utile.
On considere maintenant qu'en plus du bruit gaussien d'amplitude b = 10 et 
d'ecart-type  = 5
present constamment sur chaque canal, un signal utile non nul, constant et 
d'amplitude 1 est
present uniquement sur les canaux 34 et 67 a chaque acquisition.
14 -- Le signal utile est-il detectable par une seule acquisition ? Representer 
l'allure de la
somme canal par canal de 2500 acquisitions. Le signal est-il devenu detectable ?
15 -- Dans le cadre d'un bruit de dispersion  et d'amplitude b, estimer le 
nombre n
d'acquisitions permettant de faire apparaitre un signal constant d'amplitude sp 
dans le canal
p.
L'expression obtenue montre qu'une reduction du bruit permet de diminuer de 
facon importante les durees d'integration necessaires. Dans le cas du bruit 
thermique, dont l'amplitude est
proportionnel a la temperature absolue, il importe donc de refroidir fortement 
le systeme.

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Physique II, annee 2016 -- filiere MP

II.B. -- Refroidissement d'un capteur a bord d'un satellite
Dans le vide interplanetaire, un satellite d'observation astrophysique recoit 
le rayonnement
solaire et se refroidit egalement par rayonnement. Son electronique de commande 
doit travailler
autour de 300 K, tandis que des capteurs doivent etre refroidis a quelques 
Kelvins voire une
fraction de Kelvin. La configuration du satellite, la mise en place d'isolants 
ou de radiateurs,
son positionnement par rapport au rayonnement, permettent de controler 
grossierement la
temperature de ses differentes parties, ce qui limite l'utilisation energivore 
de systemes de
chauffage ou de refroidissement.
L'etude et les calculs que nous allons mener sont bases sur les informations 
disponibles pour le
satellite Planck, qui de 2009 a debut 2012 a cartographie les infimes 
fluctuations du rayonnement de fond cosmologique, dans le domaine des 
micro-ondes.
Des systemes d'ecrans et de radiateurs passifs permettent d'abaisser la 
temperature, du cote des
instruments, a une temperature T de l'ordre de 50 K ; il convient alors de 
refroidir les capteurs
a une temperature beaucoup plus basse pour augmenter leur sensibilite.
Envisageons tout d'abord des systemes frigorifique de type refrigerateur 
ditherme fonctionnant
de maniere cyclique entre deux temperatures Tc et Tf < Tc grace a un travail recu W . 16 -- Definir le fonctionnement d'un refrigerateur ditherme a l'aide d'un cycle modelise. Analyser ce cycle a partir des principes de la thermodynamique. En deduire l'expression de l'efficacite maximale theorique d'un tel refrigerateur. A bord du satellite Planck, un premier refrigerateur, d'une puissance frigorifique de 1 W, travaille entre 50 K et 20 K, puis un deuxieme, d'une puissance frigorifique de 15 mW, abaisse la temperature de certains equipements a 4 K. 17 -- Calculer la puissance electrique minimale consommee par chacun de ces appareils. 18 -- Dans une note descriptive sur le satellite Planck on peut lire  Les puissances cryogeniques peuvent sembler faibles au premier abord. L'objectif de ces refrigerateurs est en fait ambitieux : le refrigerateur qui equipe notre cuisine doit evacuer seulement 7% environ de l'energie thermique de son contenu. Ici l'etage a 20 K doit evacuer 60% de l'energie thermique initiale, et 80% de cette energie pour l'etage a 4 K . Verifier par le calcul les valeurs annoncees. Un autre moyen pour maintenir la temperature d'un instrument a quelques Kelvins est d'utiliser un cryostat a circulation d'helium liquide, en circuit ouvert : l'helium se vaporise progressivement et s'echappe dans l'espace. Pour abaisser encore la temperature, on utilise meme la dilution de 3 He dans 4 He ; le principe est le meme (evaporation en circuit ouvert) et cela permet de travailler autour de 0,1 K. 19 -- Rappeler l'allure generale de la courbe d'equilibre entre liquide et gaz, en coordonnees (T,P ). Pourquoi l'helium circulant dans un serpentin en contact avec un instrument se vaporiset-il ? Comment peut-on obtenir une temperature controlee d'un melange liquide-gaz ? Quel appareillage supplementaire serait-il necessaire de prevoir si l'helium liquide circulait en circuit ferme ? FIN DE LA PARTIE II Page 6/8 Tournez la page S.V.P. Physique II, annee 2016 -- filiere MP III. -- Transmission d'un signal bruite Precisons tout d'abord quelques notations : · Si P est une puissance, on notera P db = 10 log10 P sa valeur en decibels ; · Si P designe la puissance d'un signal et PB la puissance du bruit B, on notera R db le P rapport signal sur bruit exprime en decibels, soit R db = 10 log10 ; PB · Lorsqu'un signal traverse un equipement, on note respectivement PE et PS les puissances PS . d'entree et de sortie, et  le gain defini par  = PE III.A. -- Attenuation de R par un cable de transmission On considere la propagation d'un signal dans une ligne assimilee a un axe (O,b ux ) ; la puissance de ce signal a l'abscisse x est notee P (x). 20 -- Construire un modele usuel dans lequel la puissance absorbee par la ligne de transmission dans un element de longueur dx est localement proportionnelle au produit P (x)dx. En deduire qu'apres une longueur  entre l'entree E et la sortie S de la ligne, on a PSdb = PEdb -  , ou le facteur d'attenuation  s'exprime en fonction des caracteristiques d'absorption et de . On introduit dans ce modele un bruit d'origine thermique de puissance moyenne PB , present sur toute la ligne. 21 -- Etablir dans ce cas la relation entre , REdb et RSdb . A quelle condition le signal de sortie sera-t-il utilisable ? Que devra-t-on faire pour transmettre des signaux a grande distance avec des lignes de caracteristiques imposees ? III.B. -- Transmission du bruit par une chaine d'equipements On s'interesse maintenant a un signal traite par une suite d'appareils en cascade : amplificateurs, filtres, etc. Afin de prendre en compte l'action de ces instruments sur le bruit, par analogie avec le phenomene d'attenuation, on definit le facteur de bruit F d'un instrument par la relation F = REdb - RSdb . On supposera que F est positif. 22 -- Montrer que pour un instrument donne, de facteur de bruit F et de gain , recevant en entree un signal bruite par BE , on a PBS = f PBE . On verifiera que f > 1 
et on exprimera
f en fonction de F .
Les instruments sont maintenant en serie (ou cascade). L'instrument k est 
caracterise par un
couple (k ,fk ). La puissance du bruit entrant dans chaque instrument est 
supposee independante
de ces instruments, elle sera note PBE . La chaine est supposee lineaire, 
c'est-a-dire qu'en notant
PSk la puissance en sortie de l'instrument k on aura PSk = k (PSk-1 - PBE ) + 
PBSk pour tout
entier k  2. La chaine est dite auto-alimentee, cela signifie que PS1 = PBS1 . 
On peut donc
schematiser la chaine de traitement par la figure 4.
BE

BE

(° 1 ; f1 )
Instrument 1

BE

(° 2 ; f2 )
Instrument 2

...

(° k ; fk )

...

Instrument k

Figure 4 ­ Modelisation d'une chaine de traitement bruitee

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Physique II, annee 2016 -- filiere MP

23 -- Determiner l'expression de PS2 . On pose 12 = 1 2 , determiner 
l'expression de f12
qui permettrait de caracteriser l'ensemble des deux premiers instruments par un 
couple (12 ,f12 )
dans une chaine auto-alimentee equivalente.
24 -- On pose 13 = 3 12 , apres avoir determine f13 , demontrer la loi de Friis 
donnant
le facteur de bruit f1n d'un instrument equivalent a l'association en cascade 
de n instruments.
Quel est l'instrument qui va determiner la qualite de la chaine dans une 
association en cascade
de n amplificateurs ?
FIN DE LA PARTIE III

IV. -- Exemple de bruit thermique elementaire
Considerons un condensateur ideal de capacite C, charge sous une tension 
constante U , en
equilibre thermique a la temperature T avec un circuit electrique. L'agitation 
thermique provoque des echanges aleatoires de charges entre le condensateur et 
le circuit, de sorte que la
tension instantanee u(t) aux bornes du condensateur peut s'ecrire u(t) = U + 
b(t), ou la tension
de bruit thermique b(t) est de moyenne nulle.
25 -- Determiner l'expression de l'energie electrique moyenne hEC i stockee 
dans le condensateur, en fonction de C, U et b2 = hb2 i.
26 -- On admet que le bruit thermique genere dans le circuit au niveau du 
condensateur
est associe a un degre de liberte energetique quadratique. Determiner 
l'expression de b en
fonction de T , C et kB . Commenter le sens de variation de b avec C. Commenter 
la valeur
numerique obtenue pour C = 47 nF a temperature ambiante.
FIN DE LA PARTIE IV
Donnees numeriques :
· Celerite de la lumiere dans le vide : c = 3,00 · 108 m · s-1 ;
· Constante de Boltzmann : kB = 1,38 · 10-23 J · K-1 ;
· Nombre d'Avogadro : NA = 6,02 · 1023 mol-1 ;
· Constante de la gravitation : G = 6,67 · 10-11 m3 · kg-1 · s-2 ;
· Pour le Soleil :
-- masse : MS = 1,99 · 1030 kg .
· Pour la Terre :
-- masse : MT = 5,97 · 1024 kg ;
-- rayon moyen : RT = 6,37 · 103 km ;
-- periode de revolution : TT = 365,24 jours terrestres ;
-- vitesse de liberation a sa surface : 11,2 km · s-1 .
· Pour Jupiter :
-- masse : MJ = 1,90 · 1027 kg ;
-- periode de revolution : TJ = 4335 jours terrestres ;
-- demi-grand axe de l'orbite : aJ = 778 · 106 km.
FIN DE L'EPREUVE

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