Mines Physique 2 MP 2018

A 2018 - PHYSIQUE II MP

CONCOURS
COMMUN

MINES
PONTS

ECOLE DES PONTS PARISTECH,
ISAE-SUPAERO, ENSTA PARISTECH,
TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH,
MINES SAINT-ETIENNE, MINES NANCY,
IMT Atlantique (ex Telecom Bretagne),
ENSAE PARISTECH .

Concours Centrale-Supelec (Cycle international),
Concours Mines-Telecom, Concours Commun TPE/EIVP.
CONCOURS 2018
SECONDE EPREUVE DE PHYSIQUE
(Duree de l'epreuve: 3 heures)
L'usage de la calculatrice et de tout dispositif electronique est interdit.

Les candidats sont pries de mentionner de facon apparente
sur la premiere page de la copie :
PHYSIQUE II - MP
L'enonce de cette epreuve comporte 6 pages de texte.
Si, au cours de l'epreuve, un candidat repere ce qui lui semble etre une erreur 
d'enonce, il le
signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des 
initiatives qu'il
est amene a prendre.

Physique II, annee 2018 -- filiere MP

Et pour un neutron de plus. . .
Dans l'ensemble du sujet, les vecteurs sont surmontes d'une fleche en general : 
~v , ~r ; les vecteurs
unitaires sont notes u, ex , . . . Pour les notations complexes, on ecrira 2 = 
-1 et on adoptera la
notation a = a0 exp (-t) ou bien a = a0 e-t pour decrire une fonction du temps 
sinusoidale,
a(t) = a0 cos(t). Un point sur une fonction designe sa derivee totale par 
rapport au temps :
.
 = d
dt
Les positions dans l'espace seront reperees en coordonnees cartesiennes 
(x,y,z), rapportees a
la base orthonormee (ex , ey , ez ), ou bien en coordonnees spheriques (r, , ), 
rapportees a la
base orthonormee locale (er , e , e ). N designe l'ensemble des entiers 
naturels, N l'ensemble
des entiers strictement positifs.
Le sujet porte sur l'etude classique puis quantique du noyau et de l'atome de 
deuterium
(egalement appele hydrogene lourd). Le deuterium (symbole D ou bien 2 H) est un 
des deux
isotopes stables de l'hydrogene. Le noyau du deuterium 2 H, connu sous le nom 
de deuton,
contient un proton et un neutron, tandis que le noyau de l'isotope le plus 
repandu de l'hydrogene
ne contient qu'un proton, 1 H. L'abondance naturelle du deuterium dans les 
oceans de la Terre
sous forme d'eau semi-lourde (HDO) ou lourde (D2 O) ) est d'environ un atome 
pour 6 420 atomes
d'hydrogene.
Ce probleme comporte trois parties completement independantes : I, II et III ; 
pour chacune de ces parties, certaines questions peuvent egalement etre 
abordees de maniere independante,
a condition d'admettre eventuellement certains resultats affirmes par l'enonce. 
La partie I est
une introduction sur les proportions de masse. La partie II decrit, en 
mecanique classique les
proprietes generales de l'atome de deuterium, puis de son noyau, le deuton, et 
leur application
a la decouverte du Deuterium par Urey en 1931. La partie III decrit, en 
mecanique quantique,
certaines proprietes generales des interactions a forces centrales, avant de 
les appliquer a l'etude
du noyau du deuton.
Les notations, valeurs des constantes fondamentales et les autres donnees 
numeriques necessaires
a la resolution du probleme sont regroupees dans un tableau a la fin de 
l'enonce. Les applications
numeriques comporteront au mieux deux chiffres significatifs.

I. -- Masses du deuton et du deuterium
1 -- Quelle est la proportion en masse
du deuterium dans l'hydrogene oceanique ?
2 -- Quelle est la proportion en masse
du deuton (le noyau) dans le deuterium
(l'atome) ?
3 -- Comparer les proportions (en
nombres de molecules) de l'eau lourde
D2 O et de l'eau semi-lourde HDO dans les
oceans. On precisera les hypotheses necessaires a cette comparaison.
Le premier echantillon d'eau lourde a ete
isole par le physicien Gilbert Lewis en
1933 puis une production industrielle par Figure 1 ­ Echantillon d'eau lourde 
fabrique par
electrolyse a ete mise en pratique par Norsk Hydro, photographie c Alchemist-hp.
l'entreprise norvegienne Norsk Hydro
de 1934 a 1943.
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Physique II, annee 2018 -- filiere MP

4 -- Citez des applications industrielles de l'eau lourde.

II. -- Etude classique de l'atome de deuterium
L'etude classique des proprietes de l'atome de deuterium (forme de son noyau, 
le deuton, et d'un
unique electron) est elle-meme divisee en deux sous-parties independantes : 
l'etude des raies
d'emission de l'atome de deuterium (II.A) et l'influence de l'effet Doppler sur 
leur mesure
(II.B).

II.A. -- Spectroscopie atomique et decouverte du deuterium
Un atome d'hydrogene (ou de deuterium) est constitue d'un electron unique, de 
charge -e,
de masse me , soumis a l'interaction coulombienne d'un noyau suppose fixe a 
l'origine O des
coordonnees. Les valeurs En de l'energie de cet electron sont quantifiees et 
donnees par la
relation
me e 4
E0
et n  N
En = - 2 avec E0 =
2n
(40 ~)2
L'etat fondamental est celui d'energie minimale, il correspond donc a n = 1 et 
sa valeur
E0
= -13,6 eV.
numerique est E1 = -
2
5 -- On appelle serie de Balmer l'ensemble des raies d'emission d'un atome 
d'hydrogene
associees a une transition d'un niveau excite En (avec n > 2) vers le niveau n 
= 2. Exprimer
les longueurs d'onde n associees a ces transitions en fonction de E0 , n, de la 
constante de
Planck h et de la celerite de la lumiere dans le vide c. Calculer numeriquement 
les longueurs
d'onde 3 et 4 ; quel est le domaine spectral associe ?
On peut etablir, et on admettra, que la prise en compte des (faibles) 
mouvements du noyau atome
mique amene a remplacer, dans toutes les equations ci-dessus, la masse me par 
me =
1 + me /M
ou M est la masse du noyau : M = mp dans le cas de l'hydrogene  ordinaire  1 H 
et
M = mn + mp dans le cas de l'hydrogene  lourd  (ou deuterium) 2 H ou D.
6 -- Pour une des raies de la serie de Balmer, on note n (avec n > 2) la 
longueur
d'onde emise par un atome d'hydrogene ordinaire, n la longueur d'onde emise par 
un atome
 - n
me
de deuterium et  = n
l'ecart relatif associe. Montrer que   -
ou  est une entier
n
mp
que l'on determinera ; calculer  ; quelle consequence en deduisez-vous quant a 
l'identification
spectroscopique du deuterium ?

II.B. -- Role de la temperature de l'echantillon
Compte-tenu de la faible proportion des atomes de deuterium dans un echantillon 
naturel, la
detection des raies d'emission (a la longueur d'onde  ) du deuterium, et donc 
l'identification
de celui-ci, necessite que les raies d'emission  majoritaires  de l'hydrogene 
(a la longueur
d'onde ) ne recouvrent pas les raies du deuterium. En d'autres termes, la 
largeur naturelle 

  (ou l'ecart relatif  a ete introduit
des raies d'emission de l'hydrogene doit verifier

ci-dessus, question 6). Pour cette etude, l'atome d'hydrogene, emetteur du 
rayonnement etudie,
sera assimile a un point materiel de masse m  mp ; il sera etudie dans le cadre 
de la mecanique
classique (c'est-a-dire ni quantique, ni relativiste).
Cette largeur naturelle des raies d'emission est essentiellement liee a 
l'agitation thermique de
la source d'emission ; on va donc etablir le lien liant la pulsation effective 
d'emission par un
atome d'hydrogene, et la pulsation apparente a laquelle l'onde sera observee, 
en fonction de la
vitesse relative de cet atome et du recepteur.
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Considerons deux referentiels (K) = (Oxyz) et (K ) = (O x y  z  ) en mouvement 
relatif, entierement caracterise par la vitesse V~e = ~vO /K de O relativement 
a (K) et par la vitesse angulaire
~ de rotation de (K ) relativement a (K).

7 -- Rappeler l'expression generale de la loi de composition des vitesses 
reliant les vitesses
~vM/K et ~vM/K d'un meme point mobile M relativement aux referentiels (K) et (K 
).
Le referentiel (K) = (Oxyz) est celui du laboratoire ; le referentiel (K ) = 
(Ex y  z  ) est attache
a un point E mobile mais les vecteurs directeurs des axes des deux referentiels 
sont identiques,
ex = ex , ey = ey et ez = ez . Enfin, la vitesse de E relativement a (K) est 
~vE/K = V~ =
Vx ex + Vy ey + Vz ez , elle est suppose constante.
8 -- Montrer, en application de la loi de composition, que les coordonnees 
(x,y,z) dans (K)
et (x , y  , z  ) dans (K ) d'un meme evenement verifient les relations :
x = x - Vx t + x0

y  = y - Vy t + y0

z  = z - Vz t + z0

ou x0 , y0 et z0 sont certaines constantes.
Un recepteur de lumiere, fixe dans le referentiel (K), et situe a grande 
distance de l'emetteur
E, recoit une onde electromagnetique emise, dans le vide, dans la direction ex 
. L'emetteur
E est un atome d'hydrogene et la grandeur lumineuse associee a cette onde 
s'ecrit S(x ,t) =
S0 exp [ (kx - t)] en notation complexe.
9 -- Quelle relation lie  et k ?
10 -- Determiner l'expression de l'onde S, dans le referentiel (K) de sa 
mesure, en fonction
de x et t. En deduire qu'elle est observee a une pulsation apparente app que 
l'on determinera en
fonction de , c et de certaines composantes de V~ . Cette relation caracterise 
l'effet Doppler.
L'emetteur E est un atome d'hydrogene au sein d'un echantillon thermostate a la 
temperature
T ; en consequence, sa vitesse varie de maniere aleatoire (agitation thermique) 
avec la loi de
distribution de Boltzmann : le nombre d'atomes
 dont la composante Vx prend une valeur
!
2
comprise entre v et v + dv est dN = K exp -v dv.
11 -- Exprimer  en fonction de T et de certaines constantes physiques. On ne 
cherchera
pas a calculer K.
12 -- Tracer la courbe representative (G) de f (v) = dN/dv en fonction de v.
Dans le cas d'une courbe gaussienne comme celle tracee ci-dessous, on definit 
la largeur v de
la courbe comme l'ecart v = v+ - v- , ou v+ et v- sont les deux valeurs de v 
correspondant a
des points d'inflexion de la courbe.

v
v
v-
v+
13 -- Exprimer la largeur v de la courbe (G), en fonction de T , de la 
constante de
Boltzmann kB et de la masse mp de l'atome d'hydrogene ; commenter.
14 -- En deduire l'allure de la courbe de distribution des pulsations mesurees 
app et
calculer sa largeur app , definie comme ci-dessus.
app
6 5·10-6 . Calculer numeriquement
15 -- En pratique, on impose le critere de detection

la temperature caracteristique a laquelle doit se derouler l'experience afin de 
pouvoir identifier
spectroscopiquement le deuterium. Conclure.
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III. -- Le deuton
III.A. -- Potentiels radiaux en physique quantique
L'etude d'un systeme de deux particules ponctuelles de masses m1 et m2 , si 
tuees en A1 et
---
A2 et telles que A1 A2 = ~r est realisee en utilisant les coordonnees 
spheriques (r, , ) pour le
vecteur ~r. Les particules sont en interaction, decrite par l'energie 
potentielle Ep (r) ; la probabilite d'observer une particule dans l'element de 
volume d entourant le point ~r est donnee par
dp = |(~r, t)|2 d , ou la fonction d'onde (~r,t) est solution de l'equation de 
Schrodinger,

~2
ou  est l'operateur de Laplace ou laplacien ; le coefficient µ
-  + Ep (r)(~r, t) = ~
2µ
t
1
1
1
+ .
qui remplace, dans cette equation, la masse d'une particule unique, est donne 
par =
µ
m1 m2
On rappelle aussi l'expression de l'operateur laplacien en coordonnees 
spheriques :

1 
f
1  2f
1 
2 f
r
+ ang f avec ang f =
sin 
+
f = 2
r r
r
sin  

sin2  2
On cherche une solution de l'equation de Schrodinger sous la forme (~r,t) =

R(r)
Y (, )e-t .
r

16 -- Indiquer et justifier brievement l'expression liant l'energie E d'un tel 
etat et la pulsation .
17 -- Montrer que R(r) et Y (, ) verifient les deux equations

~2 C
~2 d2 R
R(r) = ER(r) et ang Y = -CY (, )
+ Ep (r) +
-
2µ dr2
2µr2
ou C est une certaine constante.
On rappelle les resultats de la mecanique classique pour l'etude du mouvement 
d'une particule
de masse µ en mouvement dans un champ de forces centrales decrit par l'energie 
potentielle
Ep (r) :
-- le mouvement est plan et peut, dans ce plan, etre decrit en coordonnees 
polaires r,  ;
-- le moment cinetique est constant, directement perpendiculaire au plan du 
mouvement
avec pour moment cinetique  = µr2  ;
1
-- le mouvement est entierement decrit par la conservation de l'energie E = µr2 
+ Ueff (r),
2
1 2
.
ou l'energie potentielle effective a pour expression Ueff (r) = Ep (r) +
2 µr2
18 -- Precisez, dans l'equation verifiee par R(r) etablie ci-dessus, les 
expressions analogues
1
de l'energie cinetique radiale µr2 , de l'energie potentielle effective et du 
moment cinetique .
2
19 -- Quelle serait la valeur de la constante C pour une fonction d'onde 
purement radiale ?
On ne fera pas necessairement cette hypothese dans les questions qui suivent.
20 -- On procede a une nouvelle separation des variables en posant Y (, ) = 
()().
etablir les equations differentielles verifiees par () et ().
21 -- Justifier le plus precisement possible le fait, qu'a une constante 
multiplicative pres,
que l'on peut imposer () = em ou m  Z.
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22 -- On peut montrer, et on admettra, que les solutions de l'equation 
differentielle verifiee
par () sont des polynomes de degre  (avec  > |m|) de la variable x = cos  :
() = a x + . . . + a1 x + a0
En ne considerant que le terme de plus haut degre, exprimer C en fonction de  
seulement.
Quel est le moment cinetique  pour une fonction d'onde caracterisee par  ?

III.B. -- Energie de liaison du deuton
Le deuton est le noyau de l'atome de deuterium 21 H, forme d'un neutron et d'un 
proton. Il s'agit
d'un des tres rares noyaux stables comportant un nombre impair a la fois de 
neutrons et de
protons (avec 6 Li, 10 B, 14 N et 180 Ta) ; en effet, de tels noyaux 
impairs­impairs sont en general
peu ou pas stables. L'energie de liaison du deuton est faible (2,23 MeV 
seulement) et il n'a
qu'un etat fondamental, de moment cinetique nul (nombre quantique orbital  = 0) 
et pas
d'etat excite stable.
On considere les etats lies stationnaires d'une particule de masse µ dans le 
puits de potentiel
defini par :
Ep = -V0 pour 0 6 r 6 a et Ep = 0 pour r > a
avec V0 > 0. On ecrit la fonction d'onde independante du temps d'un etat lie 
(-V0 < E < 0), R(r) a symetrie de revolution (radiale), (r) = ou R(r) est solution de l'equation radiale r - ~2 d2 R + Ep (r) R(r) = E R(r) 2µ dr2 Dont les solutions sont de la forme R(r) = A sin(kr) pour r 6 a, et R(r) = Be-Kr pour r > a.
23 -- Justifier ces formes et exprimer k et K en fonction de E et V0 .
24 -- Expliciter les conditions de raccordement en r = a.
25 -- On pose X = ka et Y = Ka. Ecrire deux relations distinctes liant X et Y 
en fonction
2µV0 a2
de 2 =
, independamment des valeurs des constantes A et B (qu'on ne cherchera pas
~2
a expliciter).
26 -- Representer graphiquement, sur un systeme d'axes (X, Y ), les deux 
relations etablies
a la question precedente.
27 -- Montrer qu'il n'existe d'etat lie que si V0 est superieur a une certaine 
valeur Vmin que
l'on determinera en fonction de ~, µ et a.
28 -- Quelle est la valeur maximale Vmax de V0 pour qu'il n'existe qu'un seul 
etat lie ?
On utilise ce modele pour decrire l'interaction nucleaire entre un neutron et 
un proton, formant
le deuton (noyau de l'atome de deuterium). Le rayon du deuton est a = 2,0 · 
10-15 m ; la masse
mn mp
µ est la masse reduite du deuton, µ =
. L'experience montre qu'il n'existe qu'un seul
mn + mp
etat lie, d'energie Ed < 0. 29 -- En deduire que, dans ce modele, Vmin < V0 < Vmax et calculer Vmin et Vmax en MeV. Page 5/6 Tournez la page S.V.P. Physique II, annee 2018 -- filiere MP 30 -- Que vaut l'energie de liaison si V0 = Vmin ? 31 -- L'energie de liaison du deuton est Ed = -2,23 MeV. Comparer a Vmin ; en deduire que V0 est proche de Vmin . 32 -- En explicitant les relations etablies 2 ci-dessus entre X et Y pour V0 proche de Vmin , ~2 2a p montrer que V0 = -2µEd . + 2µa2 2 ~ 33 -- Calculer V0 (en MeV) et comparer a Ed . FIN DE L'EPREUVE Le tableau ci-apres recapitule les valeurs de certaines grandeurs physiques ou constantes fondamentales. Celerite de la lumiere dans le vide Charge elementaire Constante de Boltzmann Constante de Planck Constante de Dirac Masse de l'electron Masse du proton Masse du neutron Permittivite dielectrique du vide c = 3,0 · 108 m · s-1 e = 1,6 · 10-19 C kB = 1,4 · 10-23 J · K-1 h = 6,6 · 10-34 J · Hz-1 ~ = h/2 = 1,0 · 10-34 J · s me = 9,1 · 10-31 kg mp = 1,673 · 10-27 kg  me mn = 1,675 · 10-27 kg  mp 0 = 8,9 · 10-12 F · m-1 Temperature d'ebullition de l'azote (sous 1 bar) N2 = 77,4 K Teb Temperature d'ebullition de l'hydrogene (sous 1 bar) H2 = 20,3 K Teb Page 6/6