Mines Physique 2 MP 2019

A2019 --- PHYSIQUE II MP

Cm

Concours commun

Mines-Ponts

ÉCOLE DES PONTS PARISTECH,
ISAE-SUPAERO, ENSTA PARISTECH,
TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH,
MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY,
IMT Atlantique, ENSAE PARISTECH,
CHIMIE PARISTECH.

Concours Centrale-Supélec (Cycle International),
Concours Mines-Télécom, Concours Commun TPE/EIVEP.

CONCOURS 2019
DEUXIÈME ÉPREUVE DE PHYSIQUE

Durée de l'épreuve : 3 heures

L'usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente
sur la première page de la copie :

PHYSIQUE II - MP
L'énoncé de cette épreuve comporte 6 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur

d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant 
les
raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.
Physique IT, année 2019 -- filière MP

L'indice et le froid

Ce sujet comporte deux parties totalement indépendantes. Au sein de chaque 
partie, de nom-
breuses questions sont également indépendantes. La première partie concerne la 
loi de Gladstone-
Dale relative à la variation de l'indice de l'air en fonction de la pression et 
la température. La
deuxième partie est consacrée à l'obtention de température extrêmement basse 
par désaimantation
adiabatique.

Les vecteurs sont surmontés d'une flèche (Æ) ou d'un chapeau s'ils sont 
unitaires (@). Par
défaut, la norme d'un vecteur |[|Æ|| est notée simplement E. La mesure 
algébrique d'un vecteur
sur un axe est indicée par le paramètre représentant l'axe, nous notons ainsi 
Æ, -- Ë. ü,..

Les valeurs des constantes fondamentales nécessaires à la résolution du 
problème sont regroupées
dans une annexe à la fin de l'énoncé. Vous y trouverez également un rappel de 
quelques fonc-
tions de trigonométrie hyperbolique et du théorème de Schwarz.

Sauf indication contraire, les applications numériques seront des ordres de 
grandeur qui com-
porteront toujours deux chiffres significatifs. Le nombre complexe : est tel 
que 4? -- --1.

I. -- Vérification de la loi de Gladstone-Dale

Après avoir étudié les propriétés optiques de différents liquides dans le 
domaine du visible,
Gladstone et Dale ont proposé en 1858 une loi empirique relative à l'indice de 
réfraction, noté
n, indiquant que n -- 1 est proportionnel à la masse volumique du liquide. 
Cette loi à ensuite
été étendue au cas du fluide diélectrique homogène et isotrope, comme le sont 
les gaz et les
mélanges de gaz. Cette partie du sujet propose une vérification expérimentale 
de cette loi pour
l'air, et une explication théorique rudimentaire.

Nous notons nr l'indice de l'air à la pression »0 et à la température 7, 
ambiantes dans le
laboratoire. Nous rappelons que l'indice de réfraction d'un milieu est défini 
par le rapport de
la vitesse c de la lumière dans le vide sur la vitesse de phase v de la lumière 
dans le milieu

. ? 9 . C . . / /
considéré, soit n = --, cet indice est généralement plus grand que 1.
U

1 1 -- Montrez que, sous réserve d'une approximation usuelle que vous 
préciserez, la loi de
Gladstone-Dale, pour l'air, conduit à écrire que n -- 1 est proportionnel au 
rapport de la pression
sur la température de l'air. En travaillant à température constante, montrez 
que la variation
d'indice n -- no est proportionnelle à la variation de pression.

a \ 12
Nous posons par la suite n -- no -- (D -- po) où a est une constante qui dépend 
de la
0
composition de l'air (humidité, taux de CD», ...).
1 2 -- La variation de l'indice de l'air avec la pression est très faible, mais 
parfaitement me-

surable avec un instrument très sensible comme l'interféromètre de Michelson. 
L'interféromètre
est éclairé par une source étendue monochromatique de longueur d'onde À dans le 
vide, et réglé
de façon à observer des anneaux sur un écran. Représentez, sur un schéma 
symbolique, un
interféromètre de Michelson en précisant la position de la source lumineuse et 
de l'écran. Des
lentilles minces dont vous préciserez le rôle sont à utiliser. La lame 
séparatrice sera représentée
par un simple trait. Quelle est la position relative des miroirs ? Nous notons 
f" la distance focale
de la lentille de projection. Déduisez-en la différence de marche 0 induite par 
l'interféromètre
dans cette configuration en précisant vos notations. En supposant que le centre 
de la figure
d'interférence est un point brillant d'éclairement maximal, donnez le rayon du 
k**"* anneau
brillant en fonction de k, f", À et à, la différence de marche au centre de la 
figure. On supposera
les angles des rayons lumineux par rapport à l'axe optique de la lentille 
suffisamment petits
pour en négliger l'ordre 3 devant les précédents.

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Physique IT, année 2019 -- filière MP

Une cuve est introduite entre un miroir de l'interféromètre et la lame 
séparatrice. Cette cuve
contient de l'air dont on peut faire varier la pression par une simple pompe à 
main. Un ma-
nomètre permet de mesurer la pression relative atteinte. En gonflant lentement, 
l'air de la cuve
reste sensiblement à température ambiante. Une microfuite permet ensuite de 
ramener très
lentement la pression de la cuve à po. Dans votre analyse, la cuve sera 
idéalisée et vous êtes
invités à négliger le rôle des parois du dispositif.

Une photodiode est placée à la place de l'écran au centre de la figure 
d'interférence et permet
de décompter le nombre de franges brillantes N qui défilent lentement lors de 
la diminution de
la pression dans la cuve. La longueur de la cuve traversée par les rayons 
lumineux est ZL = 4cm.

3 -- Reliez la différence de marche supplémentaire due à la présence de la cuve 
à la variation
d'indice n -- no, puis au nombre de franges N, sur la frange centrale éclairant 
la photodiode.
Déduisez-en l'expression de N en fonction notamment de a et de la variation de 
pression p -- »9
dans la cuve.

JH 4 -- Pour T5, = 300K et À -- 530 nm, le tableau suivant donne le nombre de 
franges N
pour quelques valeurs de surpression p -- p, exprimées en bar :

p-pl0105107!1113115/18| 212,325
N |0|17. 26 401 56 | 68 82 | 92 | 102 | 111

Calculez numériquement le coefficient a en détaillant votre démarche. Si vous 
aviez disposé
d'un outil d'analyse numérique (calculatrice, ordinateur + python, etc-::), 
comment aurait-on
pu exploiter ces données ?

Nous utilisons par la suite la valeur en ordre de grandeur de a = 1,0 x 10-5K : 
Pa"!

La loi empirique de Gladstone-Dale pour l'air peut être expliquée dans le cadre 
du modèle de
l'électron élastiquement lié. Nous assimilons une molécule d'un gaz composant 
l'air à un noyau et
deux électrons optiquement actifs. Nous notons r{t) le vecteur position d'un 
électron par rapport
au noyau, U(t) sa vitesse, m. la masse de l'électron et --e sa charge 
électrique. L'interaction
entre le noyau et l'électron est modélisée par deux forces s'exercant sur 
l'électron : une force
de rappel élastique --m,.w$r' et une force de frottement fluide --m,.Tv. 
L'électron est soumis au
champ électrique de l'onde plane que nous considérons localement identique à Ë 
(rt) = É, et,

1 5 -- Établir l'équation différentielle régissant l'évolution de la position 
de l'électron. Pour-
quoi n'avons nous pas pris en compte l'effet du champ magnétique de l'onde sur 
l'électron ?
Nous nous intéressons à la solution en régime forcé de cette équation. En 
utilisant la notation
complexe, donnez l'expression de la vitesse v d'un électron en fonction du 
champ électrique.

6 -- Pourquoi ne prenons-nous pas en compte le mouvement des noyaux des 
molécules
induit par le champ électrique de l'onde plane ? Montrez alors que le vecteur 
densité de courant
électronique total peut s'écrire :

kn*e? iw

j=7JE avec =
177 1m Wé -- w? + ilw

où K est un facteur numérique que l'on déterminera et n* est le nombre 
volumique, c'est-à-dire
le nombre de molécules par unité de volume du gaz.

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Physique IT, année 2019 -- filière MP

1 7 -- À quel type de filtre correspond 7 ? Soit y, le maximum du module de 7, 
déterminez
l'expression de 7. Nous définissons la fonction de transfert H{(w) -- L 
exprimez cette fonction
de transfert et préciser l'expression de son facteur de qualité Q. Représentez 
le gain de ce filtre
dans un diagramme de Bode pour un facteur de qualité de l'ordre de la centaine.

J 8 -- L'air est assimilé à un milieu neutre électriquement mais polarisable : 
une onde
électromagnétique dans le domaine du visible induit un mouvement des électrons 
qui se traduit
par l'apparition d'un vecteur densité de courant selon la question précédente. 
Donnez alors les
équations de Maxwell dans ce milieu. Montrer qu'en introduisant une 
permittivité relative EUR,
complexe que l'on identifiera, on peut écrire l'équation de propagation pour le 
champ électrique

- PE
sous la forme ÀÂE = Upper ----.
H0EUR0 92
J 9 -- On néglige les frottements fluides et on suppose que la pulsation de 
l'onde w est très

inférieure à wo, montrez alors que cette permittivité relative se simplifie en :

Ke?n*

Ep = 1 + 5

Quelle est la relation entre la permittivité relative et l'indice n ? En 
remarquant que n° --1 < 1. donnez l'expression de l'indice en fonction de n*, e, me, EURo et wo. 1 10 -- Reliez le nombre volumique n* à la pression et la température de l'air. Déduisez-en l'expression de l'indice en fonction de la pression, de la température et des autres constantes. Exprimez alors le coefficient a en fonction de e, me, EURo, kg et wo. Calculez la valeur numérique de wo et commentez le résultat obtenu. FIN DE LA PARTIE I IT. -- Refroidissement par désaimantation adiabatique Le refroidissement par désaimantation magnétique est une technique assez ancienne puisque les premières expériences ont été présentées en 1933, découlant de théorie proposée par De- bye (1926) et Giauque (1927). Elle connaît actuellement un regain d'intérêt dans le domaine spatial. L'atténuation du bruit thermique sur les capteurs des satellites nécessite en effet des températures extrêémement basses qui doivent être obtenues dans un milieu en apesan- teur et avec un dispositif le plus léger possible. La technique de refroidissement par effet magnétocalorique ne nécessite pas de compresseur, elle est donc compatible avec l'absence de pesanteur. La capacité thermique importante permet de réduire la masse du dispositif. La température de refroidissement attendue est de l'ordre de 50 mK. L'aimantation, notée M , est une grandeur intensive définie comme la densité volumique de moment dipolaire magnétique. Il s'agit donc du moment dipolaire magnétique moyen par unité de volume. Le dispositif de refroidissement comporte un premier étage de refroidissement à adsorption qui amène l'étage de désaimantation magnétique à la température de 350 mK. Le réfrigérant utilisé pour la désaimantation est un sel d'alun de chrome de formule KCr(S04)2 qui est pa- ramagnétique. Les ions présentent un moment magnétique orbital principalement d'origine électronique. En présence d'un champ extérieur, le sel présente une aimantation que l'on cherche à exprimer. Page 3/6 Tournez la page S.V.P. Physique IT, année 2019 -- filière MP 1 11 -- Considérons une spire de courant circulaire, traversée par l'intensité J, dont la sur- face est notée S. Son vecteur surface $ est orienté par à vecteur unitaire normal. Le moment magnétique associé est défini par H = I S avec $ -- SG. Plongé dans un champ magnétique extérieur B , le circuit subit une action qui tend à aligner le moment magnétique avec le champ magnétique. Cette action se traduit par un couple de force 1 A B. Montrez qu'il existe deux positions d'équilibre et indiquer leur stabilité. Tracez succinctement le graphe de l'énergie po- tentielle magnétique E,, = --ji .B en fonction de l'angle entre les deux vecteurs qui la définissent. Retrouvons-nous les positions d'équilibre et leur stabilité ? Dans le cadre du modèle semi-classique de Bohr, nous considérons un électron, de masse m et de charge q = --e, en orbite circulaire uniforme de rayon r autour d'un noyau. Le moment cinétique de cet électron L=FA m.v est quantifié, sa norme valant L = ph où À est la constante de Planck réduite et p EUR N*. JH 12 -- Exprimez la norme du moment cinétique en fonction notamment des normes de r'et v. En remarquant que l'électron effectue un tour en une période 7, exprimez l'intensité électrique correspondant à ce circuit élémentaire en fonction de e et des normes de r et v. Déduisez-en l'expression du moment magnétique. Montrez alors que le moment magnétique est colinéaire au moment cinétique. Déduisez-en que sa norme y est aussi quantifiée u = pug et exprimez la constante 18 appelée magnéton de Bohr en fonction de e, m. et h. Calculez avec un seul chiffre significatif la valeur numérique de 8. Les sels ioniques d'alun présentent un moment magnétique permanent dont l'orientation est aléatoire. En présence d'un champ magnétique extérieur, ce moment magnétique tend à s'orien- ter selon le champ. Notons O2 l'axe du champ magnétique, soit B=B u.. L'énergie potentielle fait intervenir la projection du moment magnétique selon O2 qui est elle-même quantifiée. Ainsi l'état quantique du nuage électronique d'un ion dans un champ magnétique est défini par 4 nombres quantiques (n,£,m,k). Le nombre k est entier si m est entier ou demi-entier si m est demi-entier. Il peut prendre l'une quelconque des valeurs de l'ensemble M tel que keM-- {--m, --m+1l,..., --1,0,1,--- ,m--1,m} si m est entier cf {-m -m+l,..., -- 5. TE m--l,m} sim est demi-entier L'énergie potentielle associée à cet état s'écrit Ex = --kgu8B où g est un facteur numérique, appelé facteur de Landé. Contrairement au ferromagnétisme, l'interaction entre les ions est négligeable. Nous considérons n* ions du sel d'alun par unité de volume dont nous cherchons à exprimer l'aimantation. J 13 -- En utilisant la distribution de probabilité de Boltzmann, montrez que la proportion exp(kx) P, d'ions dans l'état Æ, peut s'écrire sous la forme P, -- où la quantité Z permet de normaliser la distribution, et dans laquelle on exprimera x en fonction de g, 18, B, kB et T.. J 14 -- Exprimez Z en fonction de x et des k. Montrez que Z peut s'écrire comme la somme des premiers termes d'une suite géométrique. Déduisez-en l'expression de Z sous la forme d'un rapport de deux sinus hyperboliques. La fonction Z est appelée fonction de partition. Page 4/6 Tournez la page S.V.P. Physique IT, année 2019 -- filière MP JH 15 -- La projection du moment magnétique selon l'axe OZ vaut u, -- kg, exprimez sa moyenne (u,) dans la distribution dipolaire en fonction de g, 48 et des proportions P;, puis en d 147 fonction de la dérivée dr | In(Z ] Zu Comme les composantes du moment magnétique T x selon les autres axes sont nulles en moyenne (pas de direction privilégiée), montrez que l'ai- mantation totale M des n* ions par unité de volume a pour expression où l'on exprimera M, en fonction de n*, g et 8. Ce modèle a été proposé par le physicien français Léon Brillouin en 1927. 1 16 -- Dans le régime x < 1, on constate expérimentalement que l'aimantation suit la loi de Curie M -- 17 où 7 est une constante spécifique à du sel d'alun considéré. Exprimez, dans le cadre du modèle obtenu, 7 en fonction de n*, g, up, du facteur m(m + 1) et de kg. Mo quelles raisons physiques fondamentales observe-t-on, d'une part que lim f(x) = 0, et d'autre XL -- J 17 -- Nous prenons ici m -- ?. On définit la fonction de Brillouin f(x) -- . Pour part que le graphe de f(x) présente une asymptote horizontale ? Tracer l'allure de f(x) pour M x > 0. Expérimentalement, la susceptibilité magnétique y -- ---- de ce sel 
d'alun est voisine

de y = 1.0 x 10 * pour n* proche du millier de moles par m°, à la température 
de 300 K.
Retrouvez-vous cet ordre de grandeur avec qg = 27?

B
Le sel d'alun utilisé dans la désaimantation suit la loi de Curie M -- TT

Lorsqu'un champ magnétique extérieur est appliqué, les moments magnétiques 
tendent à s'ali-
gner selon le champ extérieur. Cet alignement est exothermique. Le sel d'alun 
est relié au
premier étage de refroidissement qui évacue l'énergie thermique produite. Le 
sel est ensuite
isolé thermiquement, et le champ magnétique est lentement diminué. Cette 
transformation est
considérée comme adiabatique réversible.

JH 18 -- L'énergie interne volumique u des n* ions d'alun par unité de volume 
est une fonction
d'état de ce système. Sa variation est donnée par du = Tds+ BdM où 5 = s(T,B) 
est l'entropie
volumique du système. Quelle serait l'équivalent du terme BdM pour un gaz 
soumis à des forces
de pression ? Le sel est un solide, nous introduisons, à l'aide de l'approche 
des multiplicateurs
de Lagrange, la fonction enthalpie volumique À = u -- BM. Exprimez la 
différentielle de h. Dans
le cadre du modèle utilisé, À ne dépend que de 7", nous définissons cg la 
capacité thermique du
système par dh = cg dT". Déterminez la variation ds de l'entropie en fonction 
de cg, y, B,T et
des variations de température dT et de champ magnétique dB.

Ô B
J 19 -- Montrer que (Se _ -- NT

de température considérée, la capacité thermique d'un sel paramagnétique non 
soumis à un
champ magnétique extérieur est celle d'un système chaud à deux états, 1.e 
proportionnelle à

où l'on déterminera la constante 7. Dans la gamme

. / / @ \ y .
l'inverse du carré de la température c8(T.B = 0) = -- où « est une constante 
caractéristique
B 9 2

du sel considéré. En déduire l'expression de c8 en fonction de y, a et des 
variables T et B.

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Physique IT, année 2019 -- filière MP

JH 20 -- Le réfrigérant est soumis à un champ magnétique de B; -- 20mT et 
refroidi à
une température T7; = 350mkK avant d'être isolé thermiquement. Le champ 
magnétique est
lentement abaissé jusqu'à une valeur résiduelle de B} -- 2,0mT. Déterminez 
l'expression de la
température finale 7}; en fonction de y, à, B;, B; et T;. Dans les conditions 
de l'expérience,
nous pouvons annuler le paramètre @, déduisez-en l'expression simplifiée de T; 
en fonction de
BP}, BP, et T; puis sa valeur numérique.

FIN DE LA PARTIE II

Constantes et valeurs numériques
-- Constante de Boltzmann : kg = 1,4 x 107 J-K71
--_ Nombre d'Avogadro : N4 = 6.0 x 10% mol !
---- Constante des gaz parfaits : R = kBNa = 83J-K-!1.mol |
-- Constante de Planck : À = 6.6 x 107 *#J:s
-- Constante de Planck réduite : À -- Es = 11x10 %J.s
-- Permittivité du vide : EUR = 8.9 x 107 Fm !
-- Perméabilité du vide : go = 1,3 x 10H -m !
-- Charge élémentaire : e = 1,6 x 107 C
-- Masse de l'électron : m. = 9,1 x 10 "kg

Formulaire de trigonométrie hyperbolique
On appelle sinus et cosinus hyperbolique de la variable réelle t, les fonctions 
:

t _ --t tu ot
sh() = et ch(t) = --
/ Le sh(t)
La fonction tangente hyperbolique de la variable réelle t est définie par le 
rapport th(t) -- h(E)
C

Au voisinage de t = 0, le développement de Taylor de la tangente hyperbolique 
s'écrit :

1
th(t) =t-- A + o(f°)

d d
On rappelle également que a (sh(#)) -- ch(t) et a (ch(#)) -- sh(t).

Théorème de Schwarz, ou de Young
Soit f(x,y) une fonction à valeurs réelles définie sur un ouvert de R° et au 
moins deux fois

dérivable. Elle vérifie :
d foT\ _ 0 [of
Oy \ 0x) Or \ dy

Identité entre opérateurs différentiels
Soit & un vecteur de R°, on a

rot rot à = grad div & -- Aù

FIN DE L'ÉPREUVE

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