Mines Physique 2 MP 2020

A2020 --- PHYSIQUE II MP

Cm

Concours commun

Mines-Ponts

ÉCOLE DES PONTS PARISTECH,
ISAE-SUPAERO, ENSTA PARIS,
TÉLÉCOM PARIS. MINES PARISTECH.
MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY,
IMT ATLANTIQUE, ENSAE PARIS, CHIMIE PARISTECH.

Concours Centrale-Supélec (Cycle International),
Concours Mines-Télécom, Concours Commun TPE/EIVP.

CONCOURS 2020
DEUXIÈME ÉPREUVE DE PHYSIQUE

Durée de l'épreuve : 3 heures

L'usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente
sur la première page de la copie :

PHYSIQUE IT - MP

L'énoncé de cette épreuve comporte 7 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énontcé, il le
signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des 
initiatives qu'il est
amené à prendre.

Les sujets sont la propriété du GIP CCMEP. Ils sont publiés les termes de la 
licence
Creative Commons Attribution - Pas d'Utilisation Commerciale - Pas de 
Modification 3.0 France.
Tout autre usage est soumis à une autorisation préalable du Concours commun 
Mines Ponts.

Physique IT, année 2020 -- filière MP

La loi de WIEDEMANN-FRANZ

En 1853 les physiciens allemands GUSTAV WIEDEMANN et RUDOLF FRANZ remarquèrent
expérimentalement que le rapport de la conductivité thermique À d'un métal par 
sa conductivité
électrique y semblait constant pour tous les métaux.

Une vingtaine d'années plus tard, en 1872, le physicien danois LUDVIG LORENZ 
découvrit qu'en
fait ce rapport dépendait linéairement de la température selon la relation

À
-- = KT.

Y

Cette relation est désormais connue sous le nom de loi de WIEDEMANN-FRANZ et la 
constante
K, appelée coefficient de LORENZ, est indépendante du métal considéré.

Après sa découverte expérimentale, cette relation est restée pendant longtemps 
un grand
mystère pour les physiciens et questionnait sur le problème du transport de 
l'électricité et
de la chaleur dans les métaux. Elle résista à la modélisation pendant un 
demi-siècle.

Avec la découverte de l'électron et de ses propriétés en 1897 par le physicien 
anglais JOSEPH
THOMPSON des modèles furent envisageables. L'un des tout premiers est établi 
par le physicien
allemand PAUL DRUDE en 1900, il permet d'interpréter le transport des électrons 
dans les
métaux dans le cadre d'un modèle classique.

Ce modèle permet de justifer certains traits de la loi de WIEDEMANN-FRANZ mais 
n'apporte
pas toute satisfaction.

Il sera repris une trentaine d'années plus tard dans un contexte quantique par 
les physiciens
allemands ARNOLD SOMMERFELD et HANS BETHE. L'analyse microscopique fine des 
solides
devenait possible : elle fut à l'origine de très grandes avancées 
technologiques qui jalonnèrent
le XX° siècle et reste encore tout à fait d'actualité.

Nous proposons dans ce sujet de commencer (Partie I) par étudier un protocle 
expérimental per-
mettant de déterminer la conductivité électrique d'un métal (le cuivre). La loi 
de Wiedemann-
Franz sera alors démontrée dans un modèle statistique simple (Partie IT), puis 
elle sera testée
expérimentalement pour le cuivre (Partie III). Ces trois parties sont très 
largement indépen-
dantes.

Sauf mention contraire, on limitera les applications numériques à des 
estimations ne comportant
au plus que deux chiffres significatifs. Les données numériques utiles pour 
réaliser les applica-
tions numériques ainsi qu'un formulaire sont rassemblés en fin d'énoncé. Les 
vecteurs unitaires
sont surmontés d'un chapeau : |[ü,|| = 1.

Page 1/7 Tournez la page S.V.P.
Physique IT, année 2020 -- filière MP

I. -- Détermination expérimentale de la conductivité élec-
trique du cuivre

Dans cette partie, on cherche à mettre en place un protocole expérimental 
permettant de
déterminer la conductivité électrique du cuivre et à exploiter un résultat de 
mesure.

Pour ce faire, on dispose d'un fil de cuivre de longueur 10,0 mètres, de 
section circulaire de
diamètre 2,0 mm, recouvert d'une résine isolante, que l'on enroule 
grossièrement pour réduire
l'encombrement (on néglige toute déformation due à l'enroulement). Ce fil est 
plongé dans un
bain thermostaté, muni d'un agitateur, pour maintenir sa température au 
voisinage de 20°C.
On commence par connecter le fil aux bornes d'un ohmmètre dont un extrait de la 
notice est
fourni dans la table 1.

On se place sur le calibre le mieux adapté. L'ohmmètre affiche 0,1 (2.

J 1 -- Quel calibre est le mieux adapté pour cette mesure (on justifiera ce 
choix) ? Quelle
incertitude doit-on associer à la valeur affichée ? Commenter.

. bu. Courant de À |
Calibres Précision Résolution
Mesure

500 1 0,1
0,3% L + 3 UR

1

5 0,5% L +3 UR 125 il
50 1% L+3UR 30 10

TABLE 1 -- Tableau extrait de la notice de l'ohmmetre utilisé.

On cherche à déterminer la résistance électrique du fil à l'aide d'un autre 
montage, exploitant la
loi d'OHM, un générateur de courant continu pouvant délivrer quelques ampères 
sous quelques
volts, un voltmètre et un ampèremètre, dont les notices indiquent :

Chute de
Calibres Précision Résolution
tension maximale

50 mA DC 0,3% L + 2 UR < 800 mV 100 HA DC 500 mA DC | 0,3% L + 3 UR < 800 mV 100 HA DC 10 À DC 1% L +3 UR < 700 mV 10 mA DC TABLE 2 -- Tableau extrait de la notice de l'ampèremètre. Calibres Précision Impédance d'entrée Résolution 500 mV DC 11 MQ 0,1 mV DC o V DC 11 MQ 1 mV DC 50 V DC 0,3% L +2 UR 10 mV DC 500 V DC 10 MQ 100 mV DC 600 V DC 1 V DC TABLE 3 -- Tableau extrait de la notice du voltmetre. Pour mesurer une résistance à l'aide d'un voltmètre et d'un ampèremètre, deux montages sont possibles et représentés sur la figure 1. Page 2/7 Tournez la page S.V.P. Physique IT, année 2020 -- filière MP l Montage 1 Montage 2 FIGURE 1 -- Mesure d'une résistance 1 2 -- En notant respectivement R1 et Ry les résistances internes de l'ampèremètre et du Le Le LR --R| Ü; voltmètre, évaluer pour chacun de ces montages l'erreur systématique EUR; = OR où À; = T. représente la résistance mesurée dans chacun des montages ? = 1 ou ? = 2. Représenter sur un même graphe les variations de cette erreur relative en fonction de À. Justifier que, dans cette expérience, seul l'un des deux montages est pertinent. Avec le montage adapté, pour une intensité lue à l'ampèremètre de 5,23 À, le voltmètre affiche 287,5 mV (à chaque fois, on se place sur le calibre le mieux adapté). J 3 -- Estimer (avec un chiffre significatif) la résistance électrique du fill Comparer (de manière chiffrée) la précision de cette seconde méthode de mesure à celle de la question 1. Comment procéder pour améliorer encore la qualité de cette seconde mesure ? 4 -- Déduire de la question précédente une estimation de la conductivité électrique du CUIvre. II. -- Relation entre conductivités thermique et électrique dans un métal Dans cette partie, on se propose d'établir la loi de WIEDEMANN-FRANZ. Pour ce faire, on considère un fil de cuivre rectiligne d'axe OUx, homogène et comportant n électrons de conduc- tion par unité de volume. Lorsqu'un champ électrique uniforme et permanent E est appliqué à ce matériau, chaque électron de vitesse v et de masse m est soumis à la force de CoOU- pr . / \ . ps Tr -- . 1° LOMB fc imposée par ce champ et à une force de frottement fluide fn = ----1Ù qui modélise T macroscopiquement l'interaction de l'électron avec le matériau. J 5 -- En écrivant le principe fondamental de la dynamique à cet électron, déterminer sa vi- tesse limite dans ce modèle. En déduire l'expression de la conductivité électrique 7 du matériau. On peut s'interroger sur le sens physique de la durée 7. On adopte pour cela le modèle suivant : Soit un ensemble de N électrons de conduction. On désigne par v;(t) la vitesse, à l'instant t, du i-ème électron de cet ensemble. On note p{t) la quantité de mouvement à l'instant EUR moyennée sur l'ensemble des porteurs de charge, soit HE = % Dm Lors de son déplacement, un électron subit diverses collisions; on note p;5 la quantité de mouvement du ?-ème après l'une de ces collisions. Un électron pris au hasard subit une collision Page 3/7 Tournez la page S.V.P. Physique IT, année 2020 -- filière MP entre les instants t et {+dt avec une probabilité dt/0 où 0 est une constante positive. On rappelle qu'en l'absence de collision il est uniquement soumis à fc. dé dé = J 6 -- Justifier la relation p;(t + dt) -- 7 Pac + fi _- ) Pi(t) + fodt ' ° 97 ° 2 9 ° dpt) -- = . . 1 7 -- Déduire de l'équation précédente une relation entre dr p(t), fc et 0 dans la limite dt -- 0. Commenter l'expression obtenue et relier 0 à la durée . On note IT(é) la probabilité qu'un électron n'ait pas subi de collision entre un instant initial t=0et l'instant t. L'instant initial est choisi tel que l'électron a subi sa dernière collision à l'instant { = 07, c'est-à-dire juste avant l'instant initial. 8 -- Par une approche semblable à celle de la question 6, établir l'équation différentielle vérifiée par [I(t) pour t > 0. Intégrer cette équation pour obtenir 
l'expression de IT(£) en
fonction de 7, puis calculer la moyenne temporelle de la durée entre deux 
collisions subies par
un électron. En déduire une interprétation physique de la durée r.

Pour obtenir l'expression de la conductivité thermique, on adopte un modèle 
unidimensionnel de
type gaz parfait. On note v la vitesse quadratique moyenne des électrons et on 
considère qu'ils
se déplacent de façon équiprobable selon +4, ou --üu, à la vitesse v. Dans ce 
modèle, l'énergie
thermique est véhiculée globalement par les électrons le long de l'axe Ox, au 
grè des chocs. On
se place également en régime stationnaire. On note EUR (T (x)) l'énergie 
cinétique moyenne d'un
électron situé en x (à la température T(x)).

1 9 -- À l'aide d'un bilan sur une section droite de métal située à l'abscisse 
x, montrer que
le flux thermique 7, par unité de surface s'écrit :

1
Ja = 5 Ù E(T(x -- vT)) -- E(T(x + vr))|
J 10 -- En précisant les différentes hypothèses de votre calcul, exprimer 7, en 
fonction de v,
T,n, -- et de la chaleur spécifique d'un électron Cy = --. En retrouvant la loi 
de FOURIER

x
dans cette relation, déduire l'expression de la conductivité thermique À du gaz 
d'électrons.

J 11 -- Dans le cadre du modèle du gaz parfait classique monodimensionnel 
exprimer fina-
lement À en fonction de n, T', kg, T et de la masse m de l'électron.

À
J 12 -- Exprimer le rapport TT en fonction de e et kg dans le modèle classique 
monodimen-
7

sionnel étudié jusqu'à présent. Comment se généralise cette relation dans le 
cas tridimension-
nel'? On justifiera sa réponse. Cette relation donne le coefficient de LORENZ 
dans le modèle
classique de DRUDE.

En fait le gaz formé par les électrons libres contenus dans un métal ne peut 
absolument pas
être décrit dans un contexte classique même à température ambiante. Un modèle 
quantique
tridimensionnel proposé par ARNOLD SOMMERFELD en 1926 donne les résultats 
suivants :

2 [keT 1
Cy -- (ME kp avec Er -- mur
2 CF 2

où Er et vr sont respectivement l'énergie de FERMI et la vitesse de FERMI du 
gaz d'électron.
Dans ce modèle quantique la vitesse des électrons est donnée par leur vitesse 
de FERMI.

On admet enfin que les expressions de la conductivité thermique obtenue à la 
question 10
révisée à la question 12 et celle de la conductivité électrique de la question 
5 restent valides
dans un contexte quantique.

Page 4/7 Tournez la page S.V.P.
Physique IT, année 2020 -- filière MP

J 13 -- Exprimer le coefficient de LORENZ k en fonction de e et kB dans le 
modèle quantique
proposé par SOMMERFELD. Cette relation constitue la loi de WIEDEMANN-FRANZ dans 
le
modèle de DRUDE-SOMMERFELD.

1 14 -- Comparer les valeurs du coefficient de LORENZ dans les cas classique et 
quantique.
Pour les métaux conducteurs l'énergie de FERMI des électrons est de l'ordre de 
l'électron-volt

et on rappelle qu'à température ambiante &BT © J eV. Que peut-on dire du modèle 
classique ?

III. -- Détermination expérimentale de la conductivité
thermique du cuivre

Pour déterminer expérimentalement la conductivité thermique du cuivre, il est 
utile de connaître
sa capacité thermique massique et sa masse volumique p.

J 15 -- Proposer une expérience permettant de déterminer la masse volumique p 
du cuivre,
puis une autre permettant de déterminer sa capacité thermique massique c.

Pour accéder expérimentalement à la conductivité thermique du cuivre, on se 
propose d'étudier
la méthode du <« flash >. Dans cette méthode, on utilise une plaque de cuivre 
d'épaisseur
constante L = 3,12 mm selon l'axe Ox et de dimensions grandes devant L suivant 
les axes Oy
et Oz -- en sorte que la température dans la plaque est supposée ne dépendre 
que de x et {.
La plaque est située entre les abscisses x = 0 et x = L et on néglige les 
pertes latérales par
convection ou par rayonnement. Par linéarité de l'équation qui sera établie à 
la question 16, on
supposera (sans perte de généralité) que la température (exprimée en degrés 
Celsius) est nulle
partout dans la plaque pour t < 0. À l'instant t = 0, une lampe à infrarouge, positionnée du côté x < 0, émet un flash lumineux puissant. Il en résulte, en { = 0, un profil de température dans la plaque T(x,0), dont la forme sera détaillée plus loin. 1 16 -- Établir l'équation différentielle vérifiée par T'(x,t) dans laquelle on fera apparaître le coefficient de diffusion thermique D que l'on exprimera en fonction des paramètres du problème. On cherche des solutions sous la forme T{x,t) = f(x) x g(t). 1 17 -- Déterminer deux équations différentielles vérifiées par f(x) et g(t). En déduire la forme générale de la fonction T'(x,t). Pour modéliser l'effet de la lampe flash, on utilise le profil de température initial suivant : FL -- S0Ü 0.

J 18 -- Justifier qu'il faut chercher la solution du problème sous la forme :
T(x,t) = > exp(--a, t) [u, cos (k,x) + w, sin (k,x)|
n=0
J 19 -- Exprimer les coefficients w,, puis les coefficients k,, et a, en 
fonction de n, L et D.

Page 5/7 Tournez la page S.V.P.
Physique IT, année 2020 -- filière MP

1 20 -- Établir l'expression des coefficients u, et en déduire que :

T(x;t 1+2 >" ee exp(--a, t) cos (k,x)

L'épaisseur Ô est supposée très petite devant L. Un capteur optique permet de 
mesurer la
température T'(L,t) de la face arrière de la plaque (située à l'abscisse x -- 
L) en fonction du
temps £.

1 21 -- Déduire de l'expression obtenue à la question précédente, que 
l'expression approchée
de T'(L,t), pour t > 0, est :

T(Lt) =TC(t) avec 1+2 >t-1 % exp(--a )

La figure 2 représente la courbe C(t) en fonction de at.

OEt

I 2 3 4 si

FIGURE 2 -- Graphe de la fonction EUR en fonction de la variable ait obtenu à 
l'aide d'une
simulation en Python.

On note t,,2 l'instant en lequel (41,2) = 1/2.

À 22 -- Exprimer une relation entre @ et t1,2.

La figure 3 représente la courbe expérimentale T'(L,t) obtenue pour la plaque 
de cuivre étudiée.

T(L,t) [u.a.

émission

du flash

t [ms]
16 32 48 64 80 96 112 128 144 160

FIGURE 3 -- Graphe expérimental de la température (en unités arbitraires) de la 
face de la
plaque en x = L en fonction du temps.

Page 6/7 Tournez la page S.V.P.
Physique IT, année 2020 -- filière MP

23 -- Estimer la valeur de la conductivité thermique du cuivre.

J 24 -- Les valeurs obtenues aux questions 4 et 23 (on prendra T © 300 K) 
sont-elles
compatibles avec la loi de WIEDEMANN-FRANZ ?

Données numériques

e e--1,6 x 107! C est la charge élémentaire

e kp --1,4X 10 * J-K-{ est la constante de BOLTZMANN
ec--40x102J.K-!.ke 'est la capacité thermique massique du cuivre
e p -- 9,0 x 10° kg - m * est la masse volumique du cuivre

e m-- 9,1 x 10 *!kg est la masse d'un électron

Formulaire

Pour tout réel « 4 0 et pour tout couple (m,n) d'entiers positifs on à :

FIN DE L'ÉPREUVE

Page 7/7