Mines Physique 2 MP 2021

A2021 --- PHYSIQUE II MP

Cm

Concours commun

Mines-Ponts

ÉCOLE DES PONTS PARISTECH,
ISAE-SUPAERO, ENSTA PARIS,
TÉLÉCOM PARIS, MINES PARIS,
MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY,
IMT ATLANTIQUE, ENSAE PARIS,
CHIMIE PARISTECH - PSL.

Concours Mines-Télécom,
Concours Centrale-Supélec (Cycle International).
CONCOURS 2021
DEUXIÈME ÉPREUVE DE PHYSIQUE

Durée de l'épreuve : 3 heures

L'usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente
sur la première page de la copie :

PHYSIQUE IT - MP

L'énoncé de cette épreuve comporte 6 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énontcé, il le
signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des 
initiatives qu'il est
amené à prendre.

Les sujets sont la propriété du GIP CCMP. Ils sont publiés sous les termes de 
la licence
Creative Commons Attribution - Pas d'Utilisation Commerciale - Pas de 
Modification 3.0 France.
Tout autre usage est soumis à une autorisation préalable du Concours commun 
Mines Ponts.

Physique II, année 2021 -- filière MP

Le marteau de THOR

Dans la légende nordique, MJÔLLNIR, le marteau de THOR, dieu de la foudre et du 
tonnerre, est l'arme
la plus puissante des Dieux pour défendre l'Univers contre les forces du chaos. 
Selon une légende
populaire tenace, le célèbre marteau aurait été forgé dans un matériau présent 
au coeur d'une naine
blanche qui est, en quelque sorte, le cadavre d'une étoile.

FIGURE 1 - THOR au combat avec son célèbre marteau, illustration de JOHANNES 
GEHRTS (1901)

Le sujet proposé comporte 4 parties largement indépendantes, la première 
concerne quelques propriétés
élémentaires du marteau. Les trois suivantes étudient l'étoile LAWD 21, une 
naine blanche représentative
de ce type d'astre.

Les vecteurs sont généralement indiqués par des flèches, comme la position r{t) 
sauf s'ils sont uni-
taires et sont alors surmontés d'un chapeau |EUR,|| -- 1. La valeur moyenne 
temporelle d'une quantité
périodique dans le temps est indiquée par des crochets : (f(t)) ou (r(t)). Un 
petit formulaire et les
données nécessaires pour les applications numériques sont regroupés en fin 
d'énoncé. Les applications
numériques comporteront un seul chiffre significatif.

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Physique II, année £Z021 -- filière MP

TI Le marteau

L'extrémité du marteau de THOR peut être assimilée à un parallélépipède de 
dimensions 15 x 15 x
21 cm. Il est constitué à partir du matériau d'une naine blanche qui possède 
typiquement les carac-
téristiques suivantes : sa masse est M, -- 1 x 10%0 kg, son rayon R, -- 1 x 104 
km.

 -- 1. Déterminer numériquement la masse du marteau de THOR.
THOR est un personnage doté de super-pouvoirs mais qui possède une morphologie 
comparable à celle
d'un humain. Grâce à son marteau doté d'un petit manche, il est capable de 
briser des rochers.

 -- 2. Dans un environnement terrestre, proposer une évaluation numérique de la 
variation d'énergie
potentielle du marteau lorsque THOR l'utilise pour frapper des rochers. 
Commenter le résultat
en sachant que l'explosion d'un bâton de dynamite utilisé dans les mines ou les 
travaux publics
dégage une énergie de l'ordre de 105 J.

IT Analyse du spectre de l'étoile naine

L'objet LAWD 21 est la 21° étoile du « Luyten Atlas of White Dwarfs » instauré 
dès le milieu du XX°
siècle par l'astronome hollandais WILLEM JACOB LUYTEN.

Elle est située dans la constellation boréale d'ORION. Très peu lumineuse dans 
le visible, son spectre est
essentiellement situé dans l'ultra-violet lointain. Cette partie du spectre 
lumineux n'est pas accessible
depuis la surface de la Terre, c'est le satellite FUSE (Far Ultraviolet 
Spectroscopic Explorer) qui a
permis d'obtenir le spectre de la figure 2.

e| +30"
à Ly B 1 Gémeaux
5 L10-2 7. m4] Meilleur ajustement LAwD 21 | Taureau
par la loi de PLANCK ] EL, +20
, | RQ :
| ]

sia na) |

| | Me:
| LR : 0
: | | 1 Bételgeuse _L
3 K 1 -- (=
1 Lu BP RP "M a 4
l |
1 a

0

3 !
2 \ LU
A ,
| Rigel 10
Ly 7 | e SN
Ly " 1] { Lièvre
|
F à -20°
sh L À ml Pa

92 96 100 104 108 112 116 J
FIGURE 2 -- Le spectre est sur la partie gauche avec le meilleur ajustement 
possible par une
loi de PLANCK. Sur la partie droite de la figure on trouve la position dans le 
ciel de cette

étoile. Ce spectre a été tracé en utilisant les données du satellite FUSE 
disponibles sur le site
http://archive.stsci.edu/fuse/

Ce spectre d'émission est composite. Il contient des composantes discrètes, 
principalement les raies
de la série de LYMAN. Ces raies sont issues de l'atmosphère de cette étoile en 
grande partie consti-
tuée d'hydrogène. Le spectre montre aussi une forte composante continue bien 
ajustée par une loi de
PLANCK. Cette composante continue correspond à l'émission de corps noir issue 
de la surface de cette
étoile.
Les niveaux d'énergie de l'électron de l'atome d'hydrogène dépendent du nombre 
quantique principal
n EUR N*, ils sont donnés par la relation E, = -- avec Eo = 13,6 eV.
n
 -- 3. Les raies de LYMAN du spectre de la figure 2 sont dues au retour de 
l'électron dans son niveau
fondamental. Vérifier numériquement la vraisemblance de cette affirmation.

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Physique II, année £Z021 -- filière MP

 -- 4. La raie la plus marquée du spectre est la raie LYMAN £ notée Ly 8 sur le 
spectre de la figure
2. On constate que la raie LYMAN 6 est plus proche de la raie LYMAN 7 que cette 
dernière est
proche de la raie LYMAN 6. Expliquer.

 -- 5. La résolution spectrale du spectromètre utilisé dans la mission FUSE 
permet d'étudier la forme
détaillée des différentes raies. Sur la figure 3 on peut voir que les raies 
possèdent une certaine
largeur 0À autour d'une longueur d'onde particulière. À quoi est dû cet 
élargissement ? En
supposant que l'hydrogène qui émet ce rayonnement est un gaz parfait déterminer 
une relation
entre notamment 0À, À et une caractéristique thermodynamique de l'étoile.

L T T T T T
À
v |%
al HI
ï
'

U (en unités relatives)

ÿ
H il [l
0,036 nm:
F | Î 0,034 nm =
4 ï al
\
4 Fe
Ï À .
h Le [
| J &, --fh.
gg nn pm 1 1 i se
ë 5
102,48 102,52 102,56 102,60 102,64 102,68 97,22 97,24 97,26 97,28 97,30
À [nn] À [nm]

FIGURE 3 -- Détail de deux raies caractéristiques du spectre de l'étoile 
LAWD21. Les histogrammes
représentent les valeurs des densités spectrales énergétiques de rayonnement 
mesurées et les courbes
en pointillé représentent un ajustement de l'histogramme par une distribution 
Gaussienne.

Avant l'avènement de la mécanique quantique, BOHR, en 1913, proposa un modèle 
classique de l'étude
de l'électron dans l'atome d'hydrogène. Ce modèle ne prend en compte que 
l'interaction dominante
entre l'électron et le noyau et suggère que l'électron effectue un mouvement 
circulaire de rayon r autour
du noyau. Afin d'expliquer les spectres mesurés dès la fin du XIX° siècle et, 
en particulier, les raïes de
LYMAN, il imposa que le moment cinétique scalaire L de l'électron dans son 
mouvement soit quantifié
selon la loi :

h

D -- 6. Établir l'expression de Æ en fonction de e, me, EURo et h.

Comme nous l'avions remarqué au départ, le spectre de l'étoile naine présente 
une composante continue
très bien décrite par la loi de PLANCK qui donne la densité spectrale 
énergétique de rayonnement uw en
fonction de la longueur d'onde À. Cette densité s'exprime en J: m *. Elle 
correspond à l'ordonnée du
spectre de la figure 2. En 1900, PLANCK propose un modèle pour les interactions 
entre la matière et
le rayonnement. La matière est supposée à l'équilibre thermique à la 
température T -- c'est le modèle
dit du corps noir -- qui aboutit à l'expression suivante pour la densité 
spectrale de rayonnement :

: 8rhc 1
MT 55 NAT
RP TOELT

 -- 7. On s'intéresse au maximum de la densité spectrale de rayonnement pour 
une température T

où kg est la constante de BOLTZMANN.

fixée. En posant x -- déterminer l'équation vérifiée par x qui assure un 
extremum à la

hc

XkBT""
fonction u. On expliquera rapidement pourquoi la recherche d'un extremum pour 
u(x) permet
de trouver un extremum pour u(À).

 -- 8. Montrer, moyennant une approximation raisonnable, que u est maximale 
pour une valeur entière
de x. En déduire, dans cette approximation, une expression du produit Amax 1' 
de la longueur
d'onde max obtenue lorsque w est maximale et de la température T'en fonction de 
constantes
fondamentales de la physique.

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Physique II, année £Z021 -- filière MP

La loi précédente porte le nom de loi de WIEN, elle s'écrit numériquement sous 
la forme :

ÀÂmax L © 3mm: K

D -- 9. Déterminer la température de la surface de l'étoile naine LAWD21.

IIT Estimation du rayon de la naïne blanche

L'essentiel de la matière constituant le coeur d'une naine blanche est 
constitué d'atomes de carbone
entièrement ionisés. Le numéro atomique du carbone est Z = 6. On considère 
uniquement l'isotope 12
du carbone.

D -- 10. L'énergie de première ionisation du carbone est E;1 © 11 eV, celle de 
seconde ionisation
FE; © 24 eV, et celle de dernière ionisation est Æ;6 = 490 eV. Un atome de 
carbone pré-
sent à la surface de la naine blanche est-il à l'état atomique ou ionisé ? On 
précisera le cas
échéant son degré d'ionisation.

D -- 11. En considérant que l'essentiel de la masse M, de la naine blanche est 
constitué par des atomes
de carbone totalement ionisés, exprimer N, le nombre d'électrons contenus dans 
cette étoile en
fonction de M, et m, la masse d'un proton.

Selon la théorie de FOWLER, les électrons contenus dans la naine blanche 
constituent un gaz parfait
quantique au sein duquel il existe une pression dite de dégénérescence 
quantique. La pression de dégé-
nérescence quantique liée aux noyaux des atomes de carbone est négligeable 
devant celle des électrons.
À l'issue de son calcul, FOWLER trouve l'expression de la pression de 
dégénérescence quantique qui
règne dans la naine blanche :

e --

7438 h2 /3N. 5/3
15 m\V

où me est la masse d'un électron et V, le volume de l'étoile.

En 1930, à l'âge de 19 ans, le physicien indien CHANDRASEKHAR intégra le 
prestigieux laboratoire
d'EDDINGTON et de FOWLER pour y réaliser son doctorat. Il développa la théorie 
de FOWLER en

tenant compte de la Relativité restreinte alors que FOWLER n'avait travaillé 
que dans le cadre de la
mécanique classique. Dans la suite, nous resterons dans le cadre de la théorie 
de FOWLER.

D -- 12. Par analyse dimensionnelle, justifier le fait que P, est bien une 
pression.
On considère que la naine blanche est à l'équilibre lorsque la pression de 
dégénérescence quantique est

compensée par la pression d'origine gravitationnelle. I] nous faut donc 
déterminer l'expression de cette
pression gravitationnelle.

 -- 13. Rappeler l'expression de la force gravitationnelle existant entre deux 
corps ponctuels de masse
m1 et M2 séparés par une distance r. En déduire l'expression de l'énergie 
potentielle gravita-
tionnelle de ce système à deux corps.

Pour la naine blanche, l'énergie potentielle gravitationnelle est :
3GM?
5R,

 -- 14. En considérant le travail élémentaire des forces de gravitation lors 
d'une variation dV, du volume

E, = --

de l'étoile, donner l'expression de la pression d'origine gravitationnelle.

D -- 15. Déterminer l'expression du rayon À, de la naine blanche à l'équilibre 
en fonction de @, À, me,
3/3
my et M,. Sachant que LU = à,

de R, selon la théorie de FOWLER.

et en prenant M, -- 10% kg, estimer l'ordre de grandeur

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IV Au coeur de la naine blanche

Au coeur de l'étoile, les atomes de carbone sont intégralement ionisés. La 
répulsion électrostatique entre
les noyaux de carbone peut être assez forte pour les contraindre à se placer au 
voisinage d'un noeud
d'un réseau que nous supposerons cubique de côté a. Ce noeud est le site de 
chaque noyau. Chaque site
est donc au centre d'une petite cellule cubique de côté a. L'ensemble forme 
donc a priori un solide de
type cristallin. Dans un modèle simple mais effectif, un volume V de ce solide 
fond lorsqu'en moyenne
sur l'ensemble de celui-ci, le carré de l'amplitude s? du mouvement d'agitation 
des noyaux autour de
leur site devient trop important à l'échelle du pas du réseau a. Selon le 
critère de LINDEMANN proposé
en 1910, en écrivant 8? -- y?a?, la fonte se produit dès que + devient de 
l'ordre de 10%.

 -- 16. Exprimer le nombre de noyaux d'atomes de carbone N, contenu dans la 
naine blanche en fonction
de Ne puis en fonction de m, et M,. En déduire une expression de a en fonction 
de m,, M, et
R,. L'évaluation de la valeur de a conduit à a = 4 x 10712 m.

Le mouvement d'un noyau autour de son site est sous le contrôle du champ 
électrique dans ce voisinage.
Dans ce type de solide, les électrons sont totalement délocalisés dans le 
solide et sont assimilables à
un fluide de densité uniforme tandis que les noyaux sont agités de petits 
mouvements autour de leur
site. Dans le modèle de WIGNER-SEITZ, on représente une cellule élémentaire par 
une boule de rayon

6e
a dont la densité volumique de charge est uniforme et égale à p = --. On repère 
la position du noyau
a

de l'atome de carbone de masse me = 12m, par un point M tel que = OM = re, où 
EUR, est le vecteur
unitaire radial des coordonnées sphériques. Le point © est le centre de la 
distribution sphérique de
charge dans laquelle évolue le noyau. On suppose par la suite que l'on a 
toujours r < a. 2er | Er. D -- 17. Montrer que le champ électrique dans lequel évolue un noyau est : E=- E EUREoa 1 -- 18. En restant dans le cadre de la mécanique classique, justifier que r{t) est confiné dans un plan. Montrer que les coordonnées cartésiennes de r{t) dans ce plan sont des oscillations harmoniques dont on exprimera la pulsation w en fonction e, a, m, et EUR0. Quelle est la nature de la courbe CG={tER,r(t)}? Exprimer la constante 5% -- (r?(t)) en fonction de deux des quatre conditions initiales du problème plan. 1 -- 19. Déterminer l'expression de l'énergie mécanique £a d'un noyau en fonction de w, m, et sè. Le résultat classique que nous venons d'obtenir est spécifique à chaque noyau qui est caractérisé par une valeur de 54. A l'échelle d'un échantillon de volume V de l'étoile, on peut le généraliser en remplaçant 8û par sa valeur moyenne s? sur l'ensemble des valeurs de sè dans le volume considéré. Une autre façon de procéder est de considérer directement les aspects statistiques de ce problème dans le cadre de la mécanique quantique. Comme nous venons de le voir lors des deux questions précédentes les noyaux peuvent être assimilés à des oscillateurs harmoniques de pulsation commune mais d'amplitudes différentes. En mécanique quantique, l'étude d'un oscillateur harmonique de pulsation w permet de montrer que son énergie est quantifiée par un entier naturel à et s'exprime selon : 1 &= (i+5)no pour 41EURN Dans un cadre statistique simplifié, on peut assimiler un volume V occupé par les noyaux dans l'étoile à une assemblée d'oscillateurs harmoniques de pulsation w en équilibre thermique à la température T'. -- 20. Dans le cadre de la physique statistique, déterminer l'expression de la probabilité p; pour qu'un oscillateur harmonique décrit par la mécanique quantique possède l'énergie mécanique &;. On ourra poser Ê = --. P poser 5 ET D -- 21. En déduire l'expression de l'énergie moyenne d'un oscillateur harmonique £ dans le cadre de ce modèle statistique quantique. Page 5/6 Tournez la page S.V.P. Physique II, année 2021 -- filière MP D -- 22. D -- 23. En rapprochant l'expression de EUR de la valeur classique moyennée sur un volume V, montrer que 1 h [JE he 2 2 2 0 = 7% avec 75 = À-- ---- et 0 = B------ tanh 0 EUR | Mpa kB V/Eompa on précisera les valeurs simples des deux constantes numériques À et B. Sachant que a © 10 et 0 = 5,5 x 10° K, évaluer + à la surface de la naine blanche et au coeur de celle-ci où on estime que la température est T, + 107 K. En déduire l'état de la matière constituant l'étoile à la fois en surface et plus en profondeur. Formulaire En coordonnées sphériques (r,9,4) de vecteurs unitaires associés (EUR,,69,EUR4), on donne pour une fonction scalaire f(r,0,4) son gradient et son laplacien : 0. 10 1 Of. df = -- | BAT nr rsin0 dp r 00 _ 10 /f20fN, 1 90/f. of 1  ©®f AÎ= y (r SL) _ r2sin 0 06 CRE Données numériques Constante de PLANCK : h = 6,6 x 107% J.s hk Constante de PLANCK réduite : À -- 37 -- 11x10 %J.s T Constante de BOLTZMANN : kg = 1,4 x 107% J.-K-t Constante de NEWTON : G = 6,7 x 107!lm°.kg l.s-2 Permittivité diélectrique du vide : £9 = 8,9 x 1072 Fm Célérité de la lumière dans le vide : c = 3,0 x 10$m:s7 1 1 Masse du proton et masse du neutron : my = Mn = 1,7 xX 10-27 kg Masse de l'électron : me = 9,1 x 10-%Tkg Charge de l'électron : e -- 1,6 x 1071 C FIN DE L'ÉPREUVE Page 6/6