Mines Physique 2 MP 2023

A2023 --- PHYSIQUE II MP

Cm

Concours commun

Mines-Ponts

ÉCOLE DES PONTS PARISTECH,
ISAE-SUPAERO, ENSTA PARIS,
TÉLÉCOM PARIS, MINES PARIS,
MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY,
IMT ATLANTIQUE, ENSAE PARIS,
CHIMIE PARISTECH - PSL.

Concours Mines-Télécom,
Concours Centrale-Supélec (Cycle International).

CONCOURS 2023
DEUXIÈME ÉPREUVE DE PHYSIQUE

Durée de l'épreuve : 3 heures

L'usage de la calculatrice ou de tout dispositif électronique est interdit.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente
sur la première page de la copie :

PHYSIQUE IT - MP

L'énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énoncé, il le
signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des 
initiatives qu'il est
amené à prendre.

Les sujets sont la propriété du GIP CCMEP. Ils sont publiés sous les termes de 
la licence
Creative Commons Attribution - Pas d'Utilisation Commerciale - Pas de 
Modification 3.0 France.
Tout autre usage est soumis à une autorisation préalable du Concours commun 
Mines Ponts.

Physique IT, année 2023 -- filière MP

Déformations élastiques

Ce sujet est consacré à l'étude de certaines propriétés de systèmes 
élastiquement déformables.
Les parties I, IT et III sont très largement indépendantes sous réserve de 
revenir aux définitions
de la constante de raideur k d'un ressort et du module d'élasticité E d'un 
matériau présentées
dans la partie I.

La partie I étudie les ressorts élastiques linéaires et leurs associations à 
partir de la loi de Hooke.
La partie IT en propose une généralisation en abordant la description du module 
d'élasticité des
solides déformables. Enfin, la partie III décrit une expérience de mouvement 
brownien reliant
les oscillations d'un ressort et l'agitation thermique du gaz dans lequel le 
dispositif expérimental
est plongé.

I Ressorts et loi de Hooke

Le physicien anglais ROBERT HOOKE est le premier à avoir énoncé (en 1676) la 
loi associée à
la déformation élastique d'un ressort, établissant son allongement comme une 
fonction linéaire
de la force exercée sur ses extrémités. Il ne s'agit en général que du premier 
ordre d'un déve-
loppement en série de Taylor et la loi linéaire de Hooke peut donc devenir 
inexacte pour les
grandes déformations.

IA Mouvements d'un ressort

On notera k la raideur d'un ressort élastique,
de masse négligeable, de longueur au repos Lo.
Si l'une de ses extrémités est fixe en ©, l'exer-

|-

| . ° F -- L  --
O8) > --+ M cice d'une force de tension T -- --T'üù (où ü est

| | un vecteur unitaire) sur l'extrémité mobile M

\4 \J . . , . . .

F p 7 du ressort induit une déformation de celui-ci de

sorte que (cf. figure 1) OM = {ü soit colinéaire
FIGURE 1 - Loi de Hooke à T'avec T = lt -- Lo]

C'est la loi de Hooke. On note aussi o = 1/k la souplesse du ressort.

D -- 1. Montrer que la force de tension ainsi exercée sur M est conservative et 
déterminer l'énergie
potentielle Æ,(T',o) associée en fonction de T'et ©.

Les deux extrémités P et M d'un tel ressort sont maintenant astreintes à se 
déplacer le long

de l'axe fixe et horizontal (Ox) du référentiel galiléen (R). Deux points 
matériels de masse
Mu = M1 et Mmp = M2 sont attachés aux extrémités du ressort et leur action sur 
l'axe (Ox) est

notamment décrite par les forces de frottement y = --À;Vy et f. p = --À2Vp où 
on a noté
Vu et vVP les vitesses de M et P dans ce référentiel (cf. figure 2) ; on notera 
aussi OM = x(t)e;

et OP = zo(t)es.

FIGURE 2 -- Deux masses reliées par un ressort

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Physique IT, année 2023 -- filière MP

Li -- 2.
LU -- 3.
LU -- 4
I -- 5

Établir les équations différentielles vérifiées par æ1(t) et to(t).

On en cherche des solutions de la forme x;(t) = 29; + ae"! où Zo1, To, &1, a2 
et 1 sont
des constantes. Déterminer et commenter la relation liant Zo1 et Top.

. Montrer que la condition a; Æ 0 impose une équation algébrique du quatrième 
degré

vérifiée par ue l'on écrira en fonction de m1. Mo, A1, À et k.
1 1 1 1

. On suppose enfin ici que M = M2 = M, Àj = À2 = 0. Montrer qu'il n'existe 
alors que deux

solutions physiquement différentes de cette équation, pour chacune d'elles on 
exprimera
u ainsi que le rapport a2/a, et on précisera la nature du mouvement des masses.

I.B Association de ressorts

On associe maintenant deux ressorts élastiques en série; on notera o1 -- 1/k1 
et o2 = 1/k:
leurs souplesses, {01 et {02 leurs longueurs au repos et on suppose qu'ils 
restent alignés le long
de la droite (Ox) liant leurs extrémités les plus éloignées (cf. figure 3). On 
néglige la masse du
point d'attache À.

LU -- 6.

D -- 7.

FIGURE 3 -- Association de ressorts en série

Exprimer, en fonction notamment des abscisses xp, x A et xm les forces de 
tension exercées
par les deux ressorts.

En déduire qu'ils sont équivalents à un unique ressort donc on déterminera la 
souplesse
o ainsi que la longueur à vide Lo.

Représenter sur un schéma l'association de deux ressorts en parallèle et donner 
l'expression
de la raideur équivalente à cette association.

De ces études, on peut déduire ce qui suit : la raideur k d'un fil métallique 
élastique de longueur
L et de section (constante) s s'exprime sous la forme :

k=E= (1)

où Æ est une grandeur caractéristique du matériau appelée module d'élasticité ; 
cette notion à
notamment été présentée par l'anglais THOMAS YOUNG en 1807.

Li -- 8.

Rappeler les analogies de cette relation avec celles exprimant les résistance 
et/ou conduc-
tance électrique d'un élément conducteur métallique.

En déduire la dimension du module d'élasticité.

IC Tensions dans une tige élastique

Dans cette partie [.C on néglige les effets de la pesanteur. Une tige 
métallique homogène, de
section s, de masse M et de longueur au repos L, caractérisée par le module 
d'élasticité FE,
est étirée le long de son axe horizontal par la rotation entretenue à vitesse 
angulaire constante
© -- wo, de son point d'attache O autour de l'axe vertical (Oz). Du fait des 
effets centrifuges
dus à la rotation, la tige s'allonge en régime permanent ; l'élément de tige 
qui se trouve au repos
à la distance r passe à la distance r + £(r) (cf. figure 4).

On étudie le système matériel Ï qui, au repos, est compris entre les distances 
r et r + dr de

l'axe (O2).

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Physique IT, année 2023 -- filière MP

_+ en mouvement

W6 C1 +2 au repos
FIGURE 4 -- Élongation lors d'un entraînement centrifuge

D -- 9. Exprimer la masse dWM de » en fonction notamment de dr. Justifier que 
ce système se

dr
comporte comme un ressort de souplesse do -- Ts.
5

Qi -- 10. Exprimer la force de tension T'(r) exercée par Y sur la partie 
intérieure de la tige (celle
comprise entre 0 et r) en fonction de E, s et 0Ë/Or.

D -- 11. En déduire la condition d'équilibre relatif de Y dans le référentiel 
entraîné avec la tige en
2

rotation sous la forme 12 -- --yr où y est une constante que l'on exprimera en 
fonction
T
de Ë, wo, L, M ets.

1 -- 12. Préciser la condition aux limites aux extrémités (r -- 0 et r -- L) de 
la tige pour la
fonction EUR ; en déduire é(r). Exprimer aussi T (0) en fonction de M, wé et L; 
commenter
l'expression obtenue.

II Module d'élasticité des solides déformables

ITA Estimation en ordre de grandeur

Le module d'élasticité, relié à la raideur k d'une tige élastique de longueur 
ZL et de section
s par la relation (1), est lié aux variations d'énergie de la tige lors d'une 
dilatation ou d'une
compression. L'énergie concernée est, dans le cas d'un matériau métallique, 
celle des électrons,
de masse m. -- 9,1:10 7°! kg au sein des mailles du cristal métallique ; on 
notera a la dimension
caractéristique de ces mailles.

Dans une première approche heuristique, on fait l'hypothèse que le module 
d'élasticité ne dépend
que de m., a et de la constante de Planck h = 6,6-107% J:s sous la forme E = 
C'm£h"a? où la
constante adimensionnée C est de l'ordre de grandeur de l'unité.

D -- 13. Par analyse dimensionnelle, déterminer les entiers à, 5 et 7.

D -- 14. Rappeler l'ordre de grandeur usuel de a ; en déduire celui de Æ,.

ITIB Modèle quantique du puits infini 3D

On rappelle ici l'équation de Schrôdinger pour une particule de masse m lorsque 
l'interaction
avec l'extérieur est décrite par le potentiel d'interaction U (r) :

hi? Ô
AVE t) + U(T)V(r,t) -- jh VE t) (2)
où j? = --1, Y(r,t) est la fonction d'onde et À = h/27. Dans ce qui suit, on 
étudie une particule

dans un puits de potentiel infini défini à trois dimensions par ÜU = cte = ÜU, 
pour 0 < x < «1, 0 < y < a et OÙ < z < a3 tandis que ÜU -- + en dehors de cette région bornée de l'espace. Page 3/5 Physique IT, année 2023 -- filière MP Qi -- 15. Quelles sont l'interprétation physique et la dimension de la fonction d'onde Y(r,t) ? D -- 16. On cherche des solutions de l'équation de Schrôdinger de la forme Y(rt) = P(x,y,z)W(#). Quelle est la forme de W(t) ? Comment s'appelle ce type de solution ? D -- 17. On suppose encore P{x,y,z) = Fi(x)P2y)F3(2). Déterminer les fonctions F; (à -- 1,2,3) en fonction de a; et de trois nombres entiers n; EUR N*, à une constante multiplicative arbitraire près. -- 18. Montrer que l'énergie EUR; de l'état fondamental de la particule s'écrit : 2 Ep Un ge [2e + 2e + ol (3) La particule de masse m, qui reste dans son état fondamental, évolue lentement d'un état isotrope où le volume V = a° du puits est celui d'un cube de côté a à une situation comprimée où une des dimensions ay = a -- da < a tandis que les deux autres dimensions augmentent simultanément et symétriquement (a2 = az à tout instant) de manière à maintenir constant le volume V = a;a2a3 du puits. M -- 19. Exprimer la variation AEUR; de l'énergie de l'état fondamental qui accompagne cette trans- formation. 1 -- 20. On suppose da EUR a. Montrer qu'au premier ordre non nul en 0a/a la variation d'énergie se met sous la forme AÂË; -- K Ôa", on exprimera X en fonction de À, m et a. On rappelle que (1 -- EUR)? = 1 + 2e + 3e° + o(e*). IIC Compression d'une tige On s'intéresse maintenant à une tige (cf. figure 5) de section constante s, d'axe (Ox) et de longueur L, réalisée dans un matériau qui peut être décrit comme dans la partie IL.B : il est divisé à l'échelle microscopique en zones cubiques de côté a et supposées alignées avec les axes de coordonnées (Oxyz). LE -- x FIGURE 5 -- Compression d'une tige Un opérateur exerce alors sur chaque extrémité de la tige une force F uniformément répartie de manière à diminuer la longueur de la tige qui passe de Z à L -- ÔL. On admet que le travail de cette force a pour effet l'augmentation de l'énergie des électrons du milieu, à raison d'un électron de valence par cube élémentaire de côté a. D -- 21. Exprimer, en fonction de a, L et s le nombre N de cubes élémentaires de côté a à l'intérieur de la tige. D -- 22. En supposant la compression uniforme, relier la variation 0a de la dimension de cube selon (Ox) à L, a et ÔL. D -- 23. En déduire l'augmentation d'énergie AÂEUR, de la tige; en déduire l'expression de F' en fonction de K, 5, a et 0L. 1 -- 24. En déduire l'expression du module d'élasticité Æ, défini par la relation (1), en fonction de h, a et m.. Comparer au résultat de la partie IT. A. Page 4/5 Physique IT, année 2023 -- filière MP IIT L'expérience de Kappler On dispose au sein d'un gaz thermostaté à la température 0 une plaque de masse m retenue par un ressort vertical de raideur k4 = 1/0, disposée dans le champ de pesanteur d'intensité g (figure 6). Sous l'action des chocs des molécules du gaz, cette plaque se déplace de manière aléatoire le long du seul axe vertical (Oz) de part et d'autre de sa position d'équilibre 29 ; on parle de mouvement brownien. / \ L gaz, 0 nd I au repos | I I I | | I I I | | | I I | | | I I I | | / = -- -- -- -- -- FIGURE 6 -- Oscillations dues au mouvement brownien D -- 25. Le point d'attache du ressort est en z -- 0 et on note {, sa longueur au repos. Déterminer la position d'équilibre z puis exprimer l'énergie potentielle totale dont dérivent les forces élastiques et de pesanteur en fonction seulement de © et 2" = z -- 29. z/2 Dans ce qui suit on pourra introduire la fonction E,(2) = +. On admet que les valeurs de 2° lors du mouvement brownien sont alors régies par la loi de probabilité de Boltzmann : on note kg = 1,4:107# J-K"! la constante de Boltzmann et P(2')dz! est la probabilité pour que la plaque soit disposée entre les altitudes z' et z/ + dz'. On admet donc l'expression P(z) -- C6) exp (--7(8)2"). 7 1 7 1 On donne les valeurs des intégrales | er dt = TE et | Le qt= 2] o 2\a o 4 \ a D -- 26. Exprimer (0) et calculer Ç(0) en fonction de kB0 et o. Qi -- 27. Sans faire de calculs, que vaut la valeur moyenne (2?) ? Qi -- 28. Calculer la valeur moyenne (7°); commenter, au regard du théorème d'équipartition. En 1931, le physicien allemand EUGEN KAPPLER a publié dans la revue Annalen der Physik les résultats d'une expérience basée sur ce principe en utilisant un miroir suspendu à un fil de torsion vertical (ressort en rotation). L'expérience concluait à la validité de la loi de Boltzmann avec une mesure précise de la constante de Boltzmann. LJ -- 29. Connaissez-vous d'autres cas de mouvement brownien ? D'autres expériences ayant conduit à une vérification expérimentale de la loi de Boltzmann ? FIN DE L'ÉPREUVE Page 5/5