Mines Physique 2 MP 2024

A2024 --- PHYSIQUE II MP

Cm

Concours commun

Mines-Ponts

ÉCOLE DES PONTS PARISTECH,
ISAE-SUPAERO, ENSTA PARIS,
TÉLÉCOM PARIS, MINES PARIS,
MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY,
IMT ATLANTIQUE, ENSAE PARIS,
CHIMIE PARISTECH - PSL.

Concours Mines-Télécom,
Concours Centrale-Supélec (Cycle International).

CONCOURS 2024
DEUXIÈME ÉPREUVE DE PHYSIQUE

Durée de l'épreuve : 3 heures

L'usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente
sur la première page de la copie :

PHYSIQUE II - MP

L'énoncé de cette épreuve comporte 7 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énoncé,
il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons 
des
initiatives qu'il est amené à prendre.

Les sujets sont la propriété du GIP CCMEP. Ils sont publiés sous les termes de 
la licence
Creative Commons Attribution - Pas d'Utilisation Commerciale - Pas de 
Modification 3.0 France.
Tout autre usage est soumis à une autorisation préalable du Concours commun 
Mines Ponts.

Physique IT, année 2024 -- filière MP

Thermodynamique du froid

Le sujet, consacré à l'étude de certaines propriétés physiques à très basse 
température, com-
porte deux problèmes totalement indépendants numérotés I (étude de transferts 
thermiques
conductifs et convecto-conductifs) et IT (étude d'un réfrigérateur par détente 
d'un gaz).

Les vecteurs sont surmontés d'une flèche (w), à l'exception des vecteurs 
unitaires notés avec un
chapeau (à). Les applications numériques seront réalisées avec seulement deux 
chiffres significa-
tifs. Les données numériques nécessaires et un formulaire, relatif en 
particulier aux coordonnées
sphériques, figurent en fin d'énoncé.

I Refroidissement des supraconducteurs

Parmi les applications importantes des basses températures, on compte la 
supraconductivité :
certains métaux ou oxydes métalliques acquièrent, en dessous d'une certaine 
température cri-
tique (T'< T:-) un caractère supraconducteur, le matériau pouvant conduire un courant élec- trique permanent sans aucune dissipation d'énergie. Cette propriété est par exemple mise à profit pour la production de champs magnétiques intenses. Dans tout ce qui suit, le matériau supraconducteur est assimilé à un conducteur thermique de conductivité thermique À de la loi de FOURIER, de masse volumique p et de capacité thermique massique c. On rappelle que, dans ce cas, l'évolution de la température à l'intérieur du matériau conducteur est donnée par l'équation de diffusion thermique : OT PEE = AT où À est l'opérateur laplacien. Les échanges thermiques entre ce matériau et le fluide qui l'entoure seront, dans tous les cas, décrits par la loi de NEWTON : le transfert thermique pariétal (à la surface ou sur les bords) du solide de température T° vers le fluide de température T};, par unité de temps et par unité d'aire, est Jpar = &(T -- T}) où k est une constante. Les études menées en I.A et I.B sont totalement indépendantes. IA Refroidissement progressif d'un supraconducteur Le matériau (supraconducteur) étudié dans cette partie I. A à la forme d'une boule de rayon R, de température uniforme T(t). Il est entièrement plongé dans un liquide réfrigérant qui maintient, à grande distance du matériau, la température uniforme et constante 7% < Ts (cf. figure 1). Liquide de refroidissement FIGURE 1 -- Boule de supraconducteur en cours de refroidissement D -- 1. Donner, en les justifiant, les unités (ou les dimensions) de k et À. Établir, dans le cas unidimensionnel, l'équation de diffusion thermique rappelée ci-dessus. Page 1/7 Physique IT, année 2024 -- filière MP LI -- 2. Rappeler l'expression de la diffusivité thermique D;, d'un matériau. À quelle condition, portant sur la durée At du refroidissement, l'hypothèse consistant à considérer la température du matériau comme uniforme est-elle légitime ? On se placera dans ce cas dans la suite. . Exprimer en fonction des données la capacité thermique C4, de la boule solide, ainsi que la résistance thermique d'isolement À}, associée aux échanges pariétaux convecto-conductifs à sa surface. Pour l'étude du refroidissement, il faut aussi tenir compte des transferts thermiques au sein du liquide réfrigérant. On admet que la température 7}; en un point A du liquide supposé immobile ne dépend que de la distance r au centre © de la boule (figure 1). On néglige la capacité thermique massique du liquide réfrigérant ; sa conductivité thermique est notée '. D -- 4. Montrer que T}(r,t) = T6 + [Ti(t) -- Tol R/r D -- 5. Pourquoi est-il licite de décrire les transferts à travers le fluide en termes de résistance thermique ? Exprimer la résistance thermique R}, associée au refroidissement conductif, en fonction de \ et À. On suppose pour finir que À > RKk.

1 -- 6. Déterminer l'équation d'évolution de la température T(t) de la boule 
solide ; on posera

pRc
T = --.
3k
D -- 7. On notera 7; -- T(t -- 0) la température initiale du matériau. Tracer 
l'allure de la

courbe T(t) et exprimer la durée At au bout de laquelle le matériau débute la 
transition
conducteur + supraconducteur.

LB Refroidissement stationnaire d'un fil supraconducteur

L'absence de résistivité dans les matériaux supraconducteurs n'empêche pas, 
notamment dans
le cadre de régimes transitoires électromagnétiques, l'existence de 
dissipations de puissance
dues au champ électrique induit. Il s'ensuit un chauffage local du matériau 
supraconducteur.
Le passage éventuel de celui-ci au-dessus de la température critique T4 à alors 
un effet catas-
trophique : l'effet Joule apparaît, la température augmente de plus en plus et 
la surchauffe du
bobinage peut détruire celui-ci : c'est le phénomène de quench (voir figure 2).

Re Vu.
Me Die +. 'ÉLE s FE = 1 --
RARE M x evie

] L
TITI di + gs A

RS
- DU EL

ol +

CEA :

FIGURE 2 -- Fuite d'hélium suite à la destruction (quench) d'un aimant 
supraconducteur utilisé
pour la RMN. Département de Chimie de l'université de l'Alberta

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Physique IT, année 2024 -- filière MP

On va dans ce qui suit s'intéresser aux conditions de refroidissement propres à 
éviter le phéno-
mène de quench.

Le matériau supraconducteur étudié a la forme d'un fil cylindrique de rayon À, 
de très grande
longueur (figure 3). Il est entièrement plongé dans un liquide réfrigérant qui 
maintient une tem-
pérature uniforme 75 < Te, avec lequel les échanges thermiques se font selon la loi de NEWTON. La totalité du fil cylindrique est le siège d'une production de puissance électromagnétique avec la densité volumique supposée uniforme et constante p,. T6 JUAUIOSSIPIOLOI 9p 9pMbr Vue de dessus FIGURE 3 -- Fil supraconducteur en régime stationnaire D -- 8. Exprimer la puissance totale P,(r) évacuée par une hauteur H de la partie du fil située au plus à la distance r de l'axe avec 0 < r < À, cf. figure 3. 1 -- 9. En déduire, en régime permanent, l'intensité j#(r) de la densité volumique de flux ther- mique conductif dans le fil. LH -- 10. Déterminer l'expression de la température de surface 7°, en fonction de T5, k, p, et R. Qi -- 11. À quel endroit dans le fil la température est-elle maximale ? Déterminer l'expression de la valeur 7,4 Correspondante. Montrer que le phénomène de quench ne se produit pas si p, est inférieur à une valeur CritiQUE Pmax que l'on exprimera. IT Réfrigérateur à détente de gaz Les premières études des propriétés des systèmes physiques à très basses températures, et en particulier la découverte de la supraconductivité, ont été faites en utilisant des réfrigérateurs à détente de gaz, à la suite des travaux des néerlandais VAN DER WAALS et KAMERLINGH ONNES. Les parties IT.A (étude statistique des gaz parfaits), IL.B (modèle énergétique de VAN DER WAALS) et IL.C (refroidissement par détente) sont indépendantes. On n'oubliera pas que le modèle utilisé pour la description thermodynamique des fluides n'est pas le même : modèle des gaz parfaits dans la partie IT. À et modèle avec interactions entre molécules dans la suite. Page 3/7 Physique IT, année 2024 -- filière MP FIGURE 4 - KAMERLINGH ONNES (à gauche) et VAN DER WAALS (à droite) photographiés devant la machine à liquéfier l'hélium, laboratoire de l'Université de Leiden, 1908 ITA Thermodynamique des gaz parfaits On étudie ici un système thermodynamique formé de N particules réparties sur p niveaux d'énergie EUR; (j = 1,2,...,p) non dégénérés. Le système est maintenu à température constante T' par contact avec un thermostat et on notera 5 = 1/kg8T'. p D -- 12. Rappeler la loi statistique de BOLTZMANN. On notera Z(5) -- >» exp 
(--bEe;).

j=1
1 -- 13. Exprimer l'énergie moyenne & d'une des N particules du milieu en 
fonction de Z(B5) et sa

dérivée.
En déduire l'expression de l'énergie interne U(B) du système.

Qi -- 14. Montrer qu'on peut exprimer, en fonction d'une somme (qu'on ne 
cherchera surtout pas
à calculer), l'écart-type o: associé à la moyenne EUR.
Quel est l'écart-type oy associé ? Que peut-on en en déduire ?

Les états possibles du système étant très nombreux, les sommes exprimant Z(B5) 
et donc U()
explicitées ci-dessus sont remplacées par des intégrales : le nombre dg d'états 
distincts corres-
pondant à un intervalle d'énergie de s'exprime alors sous la forme dg = q(£)de 
où q(e) est la

densité d'états, on adoptera l'expression Z(B) -- | q(e) exp (-- BE) de où 
l'intégrale est étendue
à toutes les valeurs possibles de l'énergie EUR.
Qi -- 15. Préciser l'unité (ou la dimension) de la densité d'états qg(e).

On étudie maintenant les propriétés thermodynamiques d'un gaz parfait 
monoatomique formé
de N atomes identiques, décrits dans le cadre de la mécanique classique : un 
atome de masse m a

Le | . dr | Le di A ,
pour vecteur position r(t) et pour vitesse U(É) -- dt relativement au 
référentiel d'étude, supposé

galiléen et lié au récipient fixe, de volume V, qui contient ce gaz. L'énergie 
des molécules est
purement cinétique donc 0 < EUR < +00. D -- 16. Montrer que q(£) est proportionnel à 4/EUR. Pour la suite, on pourra poser q(e) = Q4\/E sans préciser la constante ©. D -- 17. En déduire l'expression de Z(5) en fonction de 5, Q et de l'intégrale À -- | Vre dx 0 (il est aussi inutile de calculer À). Page 4/7 Physique IT, année 2024 -- filière MP L -- 18. Déterminer enfin l'énergie interne Ü du gaz, en fonction de N et 5; commenter le résultat obtenu et proposer une généralisation dans le cas d'un gaz parfait diatomique. IIB Le modèle de van der Waals On peut rafiner le modèle du gaz parfait en considèrant maintenant le modèle d'un fluide Æ constitué de molécules assimilées à des sphères de rayon 7, en interactions : l'énergie potentielle d'interaction entre deux molécules est attractive, ne dépend que de la distance r entre leurs a centres et s'écrit EUR, = ---- où r > 2r9 et à est une constante. Le volume 
total occupé par le
r
_ Nk
fluide est V, la température T et l'énergie cinétique moyenne du gaz sera notée 
E, -- TT
7 --

LJ -- 19. Quelle est la nature des interactions décrites ici ?

Quel est le signe de a ?
Pour le calcul de l'interaction entre une molécule donnée de centre © (à 
l'origine des coordon-
nées) et le reste du gaz, on admet que les N -- 1 autres molécules sont 
réparties uniformément
en fonction de la distance r avec une densité particulaire n° -- TV uniforme 
pour r > 2ro (voir
la figure 5).
1 -- 20. Quel est le nombre (moyen) dN de molécules dont le centre est situé à 
une distance de O

comprise entre r et r + dr ?

En calculant une intégrale, déduire l'énergie potentielle d'interaction moyenne 
EUR; de la
molécule centrée sur © avec toutes les autres. On pourra considérer que V > r# 
pour
évaluer les bornes d'intégration.

-
CR),

FIGURE 5 --- Interaction d'une molécule avec le reste du gaz

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Physique IT, année 2024 -- filière MP

D -- 21. En déduire l'expression de l'énergie interne du fluide F se met sous 
la forme

dans laquelle on exprimera la constante a en fonction de @ et ro.
Un modèle un peu plus élaboré de physique statistique permet également 
d'obtenir l'entropie
de la même quantité de fluide F, elle s'écrit :
TV -- u)
Té(Vo -- u)

S = So + kg N In

4
où l'exposant c ainsi que So, To, Vo sont des constantes et u -- Nar(2ro)".

D -- 22. Justifier physiquement le signe de c.

Pour toute évolution infinitésimale d'un système fluide de température T et à 
la pression P, on
indique la relation dU = T'dS -- P dV entre les variations dU, dS et dV de 
l'énergie interne, de
l'entropie et du volume.

1 -- 23. En déduire c en fonction de 7 ainsi que l'équation d'état P = P(T,V,N) 
du fluide F.
Commenter.

ITIC Refroidissement par détente adiabatique

Dans cette dernière partie les grandeurs thermodynamiques utilisées sont 
toujours les mêmes
que dans les parties précédentes mais elle s'entendent pour une mole de fluide.
On étudie les évolutions d'un fluide F caractérisé par l'énergie interne 
molaire (admise) :

et par l'équation d'état molaire (également admise) :
(r+6) (V -- B)=RT

où À et B sont des constantes strictement positives (leurs valeurs numériques 
pour N> et H
figurent en fin d'énoncé) et 7 > 1. Enfin, le modèle constitue une correction 
par rapport au
modèle du gaz parfait ; en particulier, on se limitera partout au corrections 
du premier ordre
en fonction des constantes À et B.

1 1
D -- 24. Montrer que l'enthalpie molaire H(T,P) du fluide s'écrit H = CRT -- KP 
(r -- =) où

RT, -- D et CP > 0 et À > 0 sont des constantes que l'on exprimera en fonction 
des
données.

LH -- 25. Comment nomme-t-on la détente adiabatique et isenthalpique d'un 
fluide ?
La transformation ainsi décrite est-elle réversible ?
À quelle condition une détente de ce type permet-elle un refroidissement ?
Faire l'application numérique pour N, et H, et conclure.

FIN DE L'ÉPREUVE

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Physique IT, année 2024 -- filière MP

Données numériques

Grandeur Notation Valeur numérique
Constante d'Avogadro NA 6,0-10* mol !
Constante de Boltzmann kg 1,4107# J-K71
Constante molaire des gaz parfaits R 8,3J-K-!l:mol !

Coefficients de l'équation de van der Waals

Pour le diazote N, Pour le dihydrogène H
A=1,410 SI B--3,9-10 SI! A--2,5.10 ?SI B = 2,710 *SI

Repérage sphérique d'un point VW

Le point M de coordonnées cartésiennes (x,y,z) peut aussi être repéré par ses 
coordonnées
sphériques r, 0 et © rappelées sur le schéma ci-après :

(Oz),
29...
| y (Oy)
PAT .

Formulaire en coordonnées sphériques

Gradient :

--__> Of, lof, 1 Of.

df = --ù, + - _--
grad J Or Y 700 7 rsm0dp *

Laplacien scalaire :

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