X Physique MP 2000

ÉCOLE POLYTECHNIQUE FILIÈRE MP

CONCOURS D'ADMISSION 2000

PREMIÈRE COMPOSITION DE PHYSIQUE

(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices est autorisée pour cette épreuve.

***

Propulseur électromagnêtique

L'objet de ce problème est l'analyse d'un propulseur électromagnétique capable 
d'accélérer
de petites masses de l'ordre du gramme et de les éjecter à des vitesses 
supersoniques de l'ordre de
plusieurs kilomètres par seconde. Dans la première partie, on en étudie le 
principe et on évalue les
ordres de grandeur des paramètres cruciaux. La poussée sur le projectile est en 
fait exercée par
un plasma; ses propriétés et son action sont analysées dans la seconde partie. 
Enfin, la troisième
et dernière partie est consacrée à une étude dynamique sur un modèle 
électromécanique du
système.

Les trois parties sont largement indépendantes. Dans tout le problème, on se 
placera dans
l'approximation des régimes quasi--permanents (A.R.Q.P.) .

Données numériques

Résistivité du rail (cuivre) PCu = 1, 72 >< 10"8 Qm Longueur du rail X = 3 m Distance entre les deux rails w = 0,013 m Hauteur effective des rails h = O, 040 m Résistance du rail par unité de longueur R' : 850 "Q m--1 Intensité initiale IO = 300 kA Inductance du circuit de stockage L0 = 22 ,uH Résistance du circuit de stockage R0 = 160 ,uQ Résistance du plasma Rp ': 500 #9 Conductivité électrique moyenne du plasma ap : 11,0 >< 103 Sm"1 Masse du plasma Mp : 0,1 >< 10"3 kg Masse du projectile M0 = 2,9 >< 10_3 kg Masse molaire du cuivre Mcu = 63, 5 >< 10_3 kg Constante des gaz parfaits R = 8, 31 J K"1 mol"1 Perméabilité magnétique du vide (et du plasma) ...) = 47r >< 10"7 Hm"1 Constante d'Avogadro NA = 6,02 >< 1023 molä1 Première partie Principe et ordres de grandeur A -- Un circuit électrique rigide est caractérisé par sa résistance R et son inductance L. Soit [(t) l'intensité du courant qui le parcourt. 1. Exprimer le flux magnétique @ propre à travers le circuit. En déduire la force électromo-- trice d'autoinduction. 2. Lors de l'établissement du courant de 0 à I(t), le générateur doit fournir, en plus de l'éner-- gie << dissipée >> par effet J oule, une énergie supplémentaire E... appelée << énergie magnétique >>.
Exprimer E... en fonction de L et de I(t).

F igu7'e 1

B -- Le circuit possède maintenant une partie mobile constituée d'un barreau 
pouvant glisser
sans frottement le long de deux rails parallèles de direction OOE (fig.1). On 
désignera par :r son
déplacement et par a': sa vitesse. L'inductance du circuit dépend alors de :L', 
soit L(a:).

1. Lorsqu'un courant électrique parcourt le circuit, le barreau se met en 
mouvement. Expli-
quer brièvement pourquoi.

2. Exprimer a l'instant t la puissance fournie par le générateur en sus de 
celle dissipée par
effet Joule.

3. Une partie de cette puissance correspond à la variation de l'énergie 
magnétique dE.../dt
où E... est donnée par l'expression trouvée en A-2; l'autre partie est la 
puissance mécanique
P...éca donnée au barreau. Exprimer Pméca en fonction de I (t), dL/doe et d: .

. . 1 dL
4. En déduire que la force qui s'exerce sur la barreau a pour express1on : F : 
512d--.
oe

C -- On désire évaluer un ordre de grandeur de l'inductance par unité de 
longueur des rails
L' = dL/dæ.

Figure 2

1. On considère d'abord deux plans conducteurs infinis, parallèles au plan oeOy 
et espacés
de w (fig.2). Ils portent chacun une densité surfacique de courant uniforme, 
jse_£ pour le plan
z = w/2 et -- jsËË pour l'autre en z : --w/2.

3) Montrer par un argument de symétrie clairement explicité qu'en tout point le 
champ
magnétique créé par cette distribution de courant est dirigé selon Oy .

b) Montrer que ce champ est uniforme dans chaque région délimitée par les 
plaques, nul
à l'extérieur, et donner alors son expression entre les plaques en fonction de 
js .

2. Les rails sont modélisés comme deux conducteurs plans et minces de hauteur h 
finie selon
Oy, ils sont parcourus chacun par l'intensité [ .

3) Calculer la densité surfacique de courant js associée. En faisant 
l'approximation que les
expressions obtenues en C-1 sont valables, déterminer le flux magnétique par 
unité de longueur

selon 0516 entre les plaques en fonction de I , w et h. En déduire l'inductance 
par unité de longueur
L' .

b) Application numérique : calculer L' avec les données rassemblées au début du 
problème.

D -- On désire qu'en partant avec une vitesse nulle, une masse de trois grammes 
atteigne une
vitesse d'éjection de 6 km / s après un parcours de 3 m. En supposant la force 
F de la question
B-4 constante et en prenant la valeur de L' obtenue en C-2.b), déterminer 
numériquement
l'intensité ] nécessaire.

Deuxième partie
Accélération du projectile par un plasma

En réalité, dans le propulseur électromagnétique, le projectile (un morceau de 
résine isolante)
porte sur sa face arrière de minces feuilles de cuivre, qui fondent rapidement 
et se vaporisent

lorsque elles sont traversées par un courant de très forte intensité; on est 
alors en présence d'un
plasma (gaz ionisé conducteur, localement neutre). La température de ce plasma 
est suffisam--
ment élevée pour que tous les atomes de cuivre soient ionisés (Cu --> Cu+ + 
EUR"). Dans cette
partie, on suppose qu'un régime permanent s'est établi, c'est a dire que la 
longueur [ selon 033
du plasma reste constante et que les accélérations de chacune de ses parties 
sont identiques à
l'accélération a du projectile (voir figure 3).

plasma _, projectile

rails

Figure 3

On note æp l'abscisse relative d'un point au sein du plasma (0 _<_ % 5 l) et l'on suppose que toutes les grandeurs ne dépendent localement que de asp. On note P(æp) et p(oep) la pression et la masse volumique au sein du plasma à l'abscisse mp. On admet enfin que tous les effets de bord sont négligeables, ce qui conduit a poser qu'au sein du plasma, le champ magnétique, le champ électrique et la densité volumique de courant sont respectivement de la forme ? = B (mp)"e'ÿ, E' = E(oep)e_z' et 7 = J(æp)"eÿ. A -- On considère une tranche de plasma, d'épaisseur doep, localisée à l'abscisse % . 1. Quelle est la force d'origine magnétique qui s'exerce sur cette tranche ? Comment est--elle orientée ? 2. Quelle est la résultante des forces de pression qui s'exercent sur la tranche ? 3. Ecrire en projection sur Or le théorème de la résultante cinétique pour la tranche. 4. La pression en mp = 0 est la pression atmosphérique Po . a) En déduire sous forme intégrale la pression à l'extrémité du plasma en fin,, = l. b) Montrer que, sans autre hypothèse, l (Mp + Mo)a = --S /0 Jdoep

où Mp est la masse du plasma, M'O la masse du projectile et S = wh la section 
transverse du
propulseur.

B -- 1. Quelle est dans l'A.R.Q.P. la relation entre le champ magnétique et la 
densité volu--
mique de courant ?

B (0)2
2H0

2. En déduire que la force résultante exercée sur le système plasma--projectile 
est S ,

en prenant le champ magnétique nul au niveau du projectile.

3. Montrer qu'on retrouve un résultat identique a celui de la question B-4 de 
la première
partie, dans le cadre de la modélisation utilisée dans la section C de cette 
partie.

C -- Application numérique : à partir des données rassemblées au début du 
problème, calculer
[ et la masse volumique moyenne ? du plasma. En déduire le nombre moyen fi de 
particules par
unité de volume. Estimer la température au voisinage du projectile en supposant 
que le gaz
ionisé se comporte localement comme un gaz parfait.

Troisième partie
Modèle électromécanique du propulseur

On a représenté figure 4a le schéma électrique du propulseur, avec ses deux 
rails parallèles.
Lorsque l'interrupteur C est fermé, une dynamo engendre un fort courant à 
travers le circuit
(Lg, RO). Lorsqu'on atteint, à l'instant t = O, le courant désiré 10, on ouvre 
C . Le projectile, situé
sans vitesse initiale en m = 0 à l'extrémité du rail, est alors accéléré; on 
notera respectivement
oe(t),â:(t) et oe'(t) position, vitesse et accélération du projectile, et [(t) 
l'intensité a travers le
circuit à l'instant t. Le circuit électrique équivalent dans cette phase est 
représenté en figure
4b, où l'on a fait figurer la résistance Rp du plasma qui << pousse >> le 
projectile ainsi que la
résistance R' et l'inductance L' des rails définies toutes deux par unité de 
longueur. On prendra
dans cette partie L' = O, 4 uH m".

Figure 4 b

A -- On suppose dans ce qui suit que seule la force d'origine électromagnétique 
trouvée dans
la question B-4 de la première partie s'exerce sur le projectile.

La) Pourquoi parle-t--on d'impédance de << stockage » pour LO ? b) Pourquoi alors n'avoir pas choisi une capacité à la place de l'inductance? c) Quel est le rôle de la diode de la figure 4a'? On supposera par la suite que la diode présente une caractéristique idéale. 2.3) Exprimer la f.é.m du circuit déformable. Ecrire l'équation électrique (5 ) du circuit. b) Ecrire l'équation (M) du mouvement du projectile. On note Mp et MO respectivement les masses du plasma et du projectile, et on pose M = JM,, + M0. c) Quelles sont les conditions initiales pour les deux équations précédentes? Existe--t--il alors une solution stationnaire à ces équations ? B -- On se place dans le cas simple où L0 est << très grande >>.

1. Justifier physiquement que [(t) : IO dans ce cas.

1 L']2
2. O = -- 0
n pose ao 2 M

. Donner oe'(t) puis oe(t) en fonction de t et de (10.

3. Application numérique : Calculer, avec les données du problème, la durée 
d'accélération
T0 et la vitesse d'éjection dc(m) du projectile pour un rail de longueur X = 3 
m.

C -- Dans cette question, on s'intéresse au rendement énergétique du propulseur 
électroma--
gnétique. On revient au cas général où l'intensité [(t) varie au cours du temps.

1. Quelle est l'énergie AE(t) délivrée depuis t = 0 par l'inductance de 
stockage au reste du
circuit et au projectile?

2. Montrer par ailleurs que les équations (EUR) et (M) permettent sans 
approximation d'ob--
tenir :

AE(t) = %Mäc2(t) + %L'ay(t)l2(t) + /0' dt'[Ro + R,, + R'oe(t')jr2(t') ,

équation dont on interprétera chacun des termes.

3. En se plaçant dans le cadre de l'approximation utilisée en B--1 et B-2, 
comparer les deux
premiers termes de AE(t). Exprimer le troisième terme en fonction de t.

4. Application numérique.
3) Calculer chacun des trois termes pour t = 70 en utilisant les valeurs 
obtenues en B-3.

b) Quelle doit être alors, d'après C-1, l'intensité I(Tg). Commenter le 
résultat.

0) Calculer le rendement électromécanique, c'est a dire le rapport entre 
l'énergie cinétique
du projectile à la date 70 et l'énergie initiale Eg.

D « On se propose de retrouver par une autre méthode la valeur approchée de 
AE(t) obtenue
à la question C-3, en calculant la diminution de I (t) au moyen des équations 
(EUR ) et (M).

I
1. On définit y(t) = ln ----0--. Récrire, en fonction de y(t) et en 
introduisant (LO, l'équation

Ï(t)

électrique (8 ) et l'équation du mouvement (M).
2. Comparer numériquement L0 et XL'.

3. On suppose y(t) << 1. Cette condition suggère de résoudre l'équation électrique (5) en prenant pour jc(t) et oe(t) les expressions obtenues à intensité [(t) : IO constante à la question B de cette troisième partie. Montrer, en tenant compte de la comparaison précédente, que y(t) vérifie alors l'équation suivante : R L' R't2 Qififl + a0_t + a0__ 't = . "... L0 L0 L02 En déduire y(t) 4. Toujours dans l'hypothèse où y(t) << 1, montrer que AE(Ü = LoÏË y(t) et vérifier qu'on retrouve la même expression qu'à la question C-3.