X Physique MP 2002

ÉCOLE POLYTECHNIQUE FILIÈRE MP

CONCOURS D'ADMISSION 2002

PREMIÈRE COMPOSITION DE PHYSIQUE

(Durée : 4 heures)

L'utilisation des calculatrices est autorisée pour cette épreuve.

***

Mesure de l'activité sismique d'une étoile par interférométrie

Le dispositif étudié constitue un interférométre compact dédié à l'étude 
sismique de sources
stellaires. Le principe proposé, un peu moins efiîcace qu'un spectromètre a 
réseau, conduit à
un instrument bien moins encombrant et bien moins coûteuoe. Le principe de 
l'interférométre
est analysé, ainsi que son installation au foyer d'un télescope et son 
fonctionnement dans des
conditions d'observation réalistes.

On suppose, dans tout le problème, les optiques idéales : lentilles 
parfaitement transparentes,
miroirs totalement réfléchissants, lames semi-réfléchissantes divisant le 
faisceau incident en deus:
faisceauæ d'intensités lumineuses égales.

Un soin tout particulier devra être apporté aus: applications numériques.

Grandeurs physiques

Vitesse de la lumière : c = 3,00 >< 108 m s"1 Constante de Boltzmann : kB = 1, 38 >< 10"23 J K"1 Constante des gaz parfaits : R = 8, 31 J K_1 mol"1 Masse de l'atome d'hydrogène : mH = 1, 67 >< 10_27 kg Masse molaire de l'hydrogène atomique : M H = 1 g mol"1 I - Interférométrie Dans tout ce qui suivra on notera o le nombre d 'onde, & savoir l'inverse de la longueur d'onde À. On eæprz'mera ce nombre d'onde en m_1. 1. La figure 1 correspond au (2) montage de principe d'un interfé-- /ZZZZZZZZZZZZZZZ romètre de Michelson. Les miroirs sont réglés de telle façon que l'on observe des anneaux d'interférence circulaires sur l'écran E placé dans Source | _____________ (_! _______ le plan focal de la lentille L, de ,' . . / d1stance focale 1mage ]" . ,/ 'SRl l I l | I | | l &) Quel est le rôle de la lame semi--réfléchissante S R? Quel est celui de la lentille L ? Lé--I--è | | : 0 b) Montrer qu'avec ce mon-- : F ' E tage la moitié du flux incident est irrémédiablement perdue. F igure 1 2. La différence de marche, différence entre les deux chemins optiques pour un rayon entrant perpendiculairement au miroir (1), est notée D; pour un rayon entrant avec une inclinaison @, on rappelle que la différence de marche est alors donnée par 5 = D cos i. &) L'interféromètre est éclairé par une source étendue, supposée strictement monochroma-- tique de nombre d'onde 00. On suppose la tache centrale en F' brillante. Exprimer le rayon r1 du 1er anneau sombre, en fonction de (70, D et f' . Faire un schéma de ce que l'on observe sur l'écran. b) La source est l'image d'une étoile, telle celle fournie par un télescope. Cette image est étalée par la diffraction mais surtout par la turbulence atmosphérique, ce qui donne des rayons entrant dans l'interféromètre d'inclinaisons diverses mais faibles. Quelle est la figure d'interférence observée en fonction de D en présence d'un filtre interférentiel qui sélectionne une très étroite bande passante autour d'un nombre d'onde oo donné. 3. On éclaire l'interféromètre par une source monochromatique, de nombre d'onde (70. Un détecteur est placé au foyer F ' de la lentille L. Ce détecteur délivre un signal S(D), proportionnel à l'intensité lumineuse au point F ' . Oe signal sera appelé dans la suite interférogramme. Il dépend de la différence de marche D. &) Montrer que S(D) est donné par : S(D) : S0(1 + cos 27rooD). Que représente SO ? b) Quelle est la période de l'interférogramme ? 4. On illumine l'interféromètre par une source présentant un doublet de nombres d'onde 01 et 02 voisins. Chacune des raies est supposée monochromatique et leurs intensités sont égales. &) Déterminer l'expression de l'interférogramme S (D) correspondant. Mettre en évidence deux périodes caractéristiques dans S (D) b) Application numérique : Représenter l'allure de l'interférogramme pour le doublet du sodium : À1 = 589,0 nm et À2 = 589, 6 nm. II - Interférogramme d'une raie élargie 1. On suppose maintenant que le profil spectral de la source n'est plus monochromatique mais possède une largeur Aa. On désigne par" L," l'intensité spectrale : dans l'intervalle [a, a+da] l'intensité émise est la da. On admettra que les rayonnements correspondant a chaque intervalle de largeur da sont incohérents. On notera IO l'intensité lumineuse totale de la raie. 10 est donc donnée par la somme des intensités de chaque intervalle : 00 10 = / Ia dU". 0 Dans la suite, on prend 10 de la forme : I A [(,--(0) = A--Îÿ' s1 |o--ool \ % A L,(0) = si |a--00\ > --2--"

a) Montrer alors que le signal détecté est donné par : S (D) = SO(1 +v cos 
27T00D) et expri--
mer la fonction de visibilité des franges ?) en fonction de D et A0. 
Représenter schématiquement

la fonction v(D).

b) Quelle est la plus petite valeur DAG de D qui annule la fonction de 
visibilité ?

2. On illumine l'interféromètre avec une
source stellaire via un filtre de bande passante
[01,02] sélectionnant une raie en absorption (fi--
gure 2). Cette raie d'absorption (profil grisé sur]
la figure 2) est suffisamment étroite pour être
considérée comme monochromatique. On note
IC l'intensité totale au travers du filtre (sans
absorption) et la l'intensité totale absorbée.

&) Montrer que, d'après la question pré-
cédente, on peut négliger dans le signal interfé--

rométrique tout terme interférentiel associé au 01 00 02 (,
spectre large délimité par le filtre si D est suffi-

samment grand, en supposant valables les résul-- Figure 2

tats établis précédemment sur le profil de raie

idéalisé.

b) En déduire que l'interférogramme s'écrit :
S(D) = SC(1 + Ccos 27r00D)

où SC est proportionnel à IC. Exprimer le contraste de franges C en fonction de 
]C et la.

III -- Élargissement et décalage possibles des raies spectrales.
Évaluation de la différence de marche optimale

Une cause possible d'élargissement ou de dé--
calage (en nombre d'onde) d'une raie spectrale
est associée au mouvement relatif de la source et --»
de l'observateur (effet Doppler). Soit 1/0 la fré--
quence d'émission d'une source au repos. Dans
tout ce qui suit, lorsque la source (S) se dé--
place à la vitesse relative Y par rapport à l'ob-- 9
servateur (0), on admettm que celui--ci reçoit
un rayonnement de fréquence V donnée (pour (5) (O)

V/C << 1) par : Figure 3 Vcos9 V--I/0=V0 C où 6 est la vitesse de la lumière, V : HYH et 9 l'angle entre la direction de propagation et V (figure 3). Nous examinons dans la suite diverses conséquences de cet effet Doppler sur l'inter-- férogramme. 1. À la surface d'une étoile, les atomes (majoritairement de l'hydrogène) sont supposés former un gaz parfait à l'équilibre thermodynamique de température T. a) Quelle est la vitesse quadratique moyenne VT d'un atome de cette étoile '? b) La dispersion des vitesses entraîne par conséquent un élargissement AaK de la raie symétrique autour de la valeur 00. Donner l'ordre de grandeur de AaK en fonction de (70, VT et e. c) Application numérique : Évaluer AaK pour T = 6000 K et 00 = 2 >< 106 m_1. 2. La rotation de l'étoile est aussi un paramètre dont il faut tenir compte. On note ib l'angle entre la direction de visée et l'axe de rotation stellaire. a) Pour quelle valeur de @ l'influence de la rotation sur la largeur de raie sera--t--elle nulle '? maximale ? Dans ce dernier cas, expliquer qualitativement pourquoi la rotation de l'étoile, phénomène parfaitement déterminé, conduit a un élargissement de la raie d'émission analogue à celui associé aux mouvements erratiques des atomes et analysé dans la question précédente. b) Toujours dans le cas d'une influence maximale de la rotation, évaluer la contribution de la rotation stellaire Aar0t a la largeur de raie en fonction de la vitesse équatoriale de rotation VI... de la surface de l'étoile. Pour quelle vitesse équatoriale de rotation ce dernier terme est-il comparable à AaK ? c) Application numérique : dans ce dernier cas, calculer V...t pour une étoile dont la tem- pérature de surface est T 3 = 6000 K. 3. On désire utiliser l'interféromètre comme sismomètre pour détecter les mouvements oscil- latoires de la surface stellaire. Une oscillation sismique est assimilée à une variation Av(t) de la vitesse apparente vers l'observateur de l'ensemble de la couche externe de l'étoile. On suppose cette variation sinusoïdale, d'amplitude AV, de pulsation au. Le spectre d'émission et d'absorp-- tion de l'étoile est celui de la question II.2. Cette utilisation ne requiert que l'enregistrement de l'interférogramme pour une valeur optimisée de la différence de marche notée DO. En l'absence de signal sismique, l'interférogramme est S (DO) de II.2.b). &) Montrer qu'à l'instant t, l'interférogramme peut être mis sous la forme : S(D0) = Sc[1 + Ccos(27moDo + 90)] où g0 est le déphasage de l'interférogramme donné par l'expression : Av(t) C QD : 27TO0D0 b) Montrer que cette relation implique, pour une détection optimale, le choix d'une diffé-- rence de marche DO la plus grande possible. Comparer cette nouvelle condition a celle trouvée à la question 11.1 et en déduire un ordre de grandeur de la différence de marche optimale pour une étoile de température T0, en supposant négligeables les effets de rotation. c) Montrer alors que le principe instrumental conduit à mesurer un déphasage go d'ampli-- AV tude de l'ordre de --. VT 4. Au décalage Doppler sismique du spectre stellaire, enregistré sur une nuit entière, se superposent diverses contributions. Estimer succinctement l'influence du mouvement de rota-- tion de la Terre pour une observation menée dans un observatoire situé a la latitude À. L'am-- plitude et la pulsation de l'oscillation sismique sont typiquement de l'ordre de 10 cm 8"1 et 10"2 rad s--1. IV - Amélioration du montage interférométrique 1. Un montage plus efficace que le montage \ de principe de type Michelson est proposé sur la \ figure 4. Il reçoit un faisceau de lumière parallèle SOUTCEUR monochromatique. Il permet de récupérer le flux total incident en utilisant deux détecteurs placés aux deux sorties possibles des faisceaux (1) qui interférent. &) On suppose que le premier détecteur délivre un interférogramme : 50 S1 : --(1+Ccosrb) . 2 52 Figure 4 En admettant que les pertes d'énergie lumineuse dans l'appareil sont négligeables, déduire la forme de l'interférogramme 82 délivré par le second détecteur. b) Montrer comment une combinaison de S1 et de S2 permet d'avoir directement accès au terme de modulation interférométrique C' cos @. c) Montrer que la recombinaison géométrique des faisceaux sur la deuxième lame semi-- réfléchissante suppose la symétrie du montage, et donc une observation à. différence de marche nulle. Cela est--il intéressant pour l'observation sismique stellaire discutée plus haut ? 2. On interpose, contre l'un des miroirs, une lame de verre à faces parallèles, d'épaisseur uniforme e et d'indice n (figure 5). a) Montrer que, pour une incidence j cor-- """"" respondant à. un rayon réfracté repéré par l'angle 7°, la lame introduit une différence de marche qui s'exprime par : ..., mw...fi _ maman mnan D = 26 (n-- l) _ Figure 5 cosr 77. b) Application numérique : On cherche à imposer une différence de marche de 0,8 cm. Calculer l'épaisseur @ de la lame pour un verre d'indice n = 1, 55 et un angle d'incidence j de 45°. c) Par un schéma, montrer que ce montage optique permet alors la recombinaison exacte des faisceaux sur la Ze lame réfléchissante, tout en assurant une différence de marche non nulle. V - Effet de la turbulence atmosphérique 1. L'interféromètre reçoit le flux d'une étoile, objet à l'infini, collecté par un télescope. On sup-- pose le système optique du collecteur équivalent au montage de la figure 6. Ce montage est dit afocal : le foyer image de L1 est confondu avec le foyer objet de L2. La lentille L1 représente le miroir primaire du télescope, de diamètre @. La lentille L2 alimente l'interféromètre : le flux issu de L2 est divisé par la première lame semi-- réfiéchissante de la figure 4. F igure 6 &) Justifier l'intérêt de ce montage afocal pour alimenter l'interféromètre. b) Exprimer le grandissement angulaire G en fonction des distances focales images f{ et fé des lentilles L1 et L2. c) Déterminer la taille () du faisceau en sortie du collecteur, en fonction de G et du diamètre a du collecteur. En déduire le diamètre minimal des pièces optiques de l'interféromètre. Le calculer pour a = 3, 30 m et G = 165. 2. La tache image de l'étoile n'est en fait ni limitée par la seule diffraction du collecteur, ni stable. La turbulence de l'atmosphère terrestre dévie et étale le faisceau stellaire incident. On s'intéresse principalement à la déviation atmosphérique du faisceau incident, notée io, et l'on suppose la source toujours ponctuelle. &) Déterminer l'angle i sous lequel l'interféromètre voit les rayons d'une source stellaire, en fonction de io et du grossissement G (grandissement angulaire) du télescope collecteur de lumière. b) Estimer la différence de marche D(i), en fonction de la différence de marche sous incidence nulle D0 et de l'angle i. c) Exprimer la condition sur l'inclinaison maximale admissible dans l'instrument, pour que les fluctuations en différence de marche restent inférieures à une fraction oz de longueur d'onde. (1) Application numérique : On fixe oz au plus égal à 5% ; pour des conditions de turbulence moyenne io : 1" ; on donne DO : 0,8 cm et 00 = 2 >< 106 m_1. Estimer le grossissement G maximal. 3.a) Montrer que la turbulence conduit a une mesure de vitesse parasite 5v telle que : 57) 1 -- = --752 . c b) Application numérique : Calculer 51} pour io : 1" , et un grossissement G égal à 165. L'instrument est conçu pour la mesure de vitesses sismiques dont l'amplitude est de l'ordre de 10 cm s"1. Est-il nécessaire de prévoir, pour alimenter l'interféromètre, un dispositif corrigeant les fluctuations dues à la turbulence atmosphérique ?