X Physique MP 2008

ÉCOLE POLYTECHNIQUE

FILIÈRE

MP

CONCOURS D'ADMISSION 2008

COMPOSITION DE PHYSIQUE
(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices est autorisée pour cette épreuve.
 
Gouttes d'eau et arcs-en-ciel
Ce problème est constitué de deux parties indépendantes que l'on pourra traiter 
dans l'ordre
de son choix. La première partie concerne successivement quelques aspects de la 
dynamique de
gouttes d'eau dans l'atmosphère et une étude de la forme de ces gouttes. La 
seconde partie
concerne des phénomènes optiques associés à la formation d'arcs-en-ciel. On 
considèrera successivement l'optique géométrique puis l'optique 
interférentielle et diffractive.
· Dans tout le problème, exprimer signifie établir l'expression littérale et 
calculer signifie
donner la valeur numérique.
· Dans tout le problème, on note a la norme du vecteur ~a.
Partie I
Gouttes et bulles
I.1. Temps de transit de gouttes d'eau dans l'atmosphère

Figure 1 - Forces
sur une goutte
en chute verticale.

1 Une goutte d'eau sphérique de rayon a, indéformable et de masse
volumique uniforme  tombe dans un champ de pesanteur uniforme ~g
suivant un axe vertical Oz dirigé vers le bas (figure 1). L'atmosphère
exerce sur la goutte la force F~ , dite de traînée, opposée à la vitesse ~v
a~v
, où  et  sont des
et qui s'exprime par la relation F~ = -6
1 + /a
constantes positives. Exprimer, à partir de l'équation du mouvement de
~lim .
la goutte, la vitesse limite de chute de cette dernière, que l'on notera V

2 On donne g = 9, 8 m · s-2 ,  = 1 × 103 kg · m-3 ,  = 0, 07 µm et  = 1, 7 × 
10-5 N · s · m2 .
Calculer Vlim pour a = a1 = 0, 01 mm puis pour a = a2 = 0, 1 mm.
3 L'atmosphère est modélisée par une couche uniforme de hauteur 8 km. En 
utilisant les
deux résultats numériques de la question 2, évaluer le temps de transit de 
gouttes d'eau partant
du haut de l'atmosphère et de rayons respectifs a1 et a2 .
4 Quel serait le temps de transit dans l'atmosphère de bulles (et non plus de 
gouttes) de
rayon a2 = 0, 1 mm et d'épaisseur e = 0, 1 a2 ?
1

I.2. Chute d'une goutte

Figure 2 - Accrétion d'une goutte.

Un autre modèle pose que la goutte à laquelle
on s'intéresse traverse un nuage de gouttes immobiles, qui s'agrègent à la 
goutte en chute et
qui accroissent sa masse d'autant (accrétion).
On ignore alors la force de traînée, mais on admet que le taux d'accroissement 
de la masse de
la goutte est proportionnel à sa vitesse de chute,

1 dm
= v(t), où  est une constante positive ; on appliquera ici le principe 
fondamental
m(t) dt
de la dynamique pour un système de masse variable :
d
d~
p
= [m(t)~v (t)] .
F~ =
dt
dt

soit :

5 Écrire l'équation différentielle vérifiée par v(t). La résoudre et exprimer 
v(t) pour une
goutte tombant initialement du haut de l'atmosphère, où sa vitesse est nulle.
6 Quel est le temps caractéristique, noté v , d'évolution de la vitesse ? 
Quelle est la vitesse
limite de chute ?
7 Avec  = 5 × 10-4 m-1 , calculer v et la vitesse limite de chute. Quelle 
remarque critique
sur ce modèle ce résultat numérique vous suggère-t-il ? Pour quel rayon de 
goutte y a-t-il égalité
de cette vitesse limite avec celle que donne l'expression obtenue à la question 
1 ?
I.3. Forme des gouttes
Le travail élémentaire mis en jeu lors d'une évolution infinitésimale 
réversible au terme de
laquelle l'aire A de la goutte a augmenté de dA est W = dA ; la constante 
positive  est
nommée constante de tension superficielle. La tension superficielle tend à 
diminuer l'aire de la
goutte et à lui faire adopter une forme sphérique. On admet que, dans un champ 
de pesanteur
d'intensité g, une taille caractéristique de la goutte, dite longueur 
capillaire et notée Lc , ne
dépend que de g,  et de la masse volumique .
8 Utiliser un argument dimensionnel pour exprimer Lc ; les grandeurs g et  
ayant les
valeurs données à la question 2, calculer Lc pour  = 0, 007 J · m-2 .
Une goutte sphérique de rayon a d'un fluide, immergée dans un autre fluide, ne 
peut donc
être en équilibre que si la pression à l'intérieur de la goutte, pint , est 
supérieure à la pression

extérieure, pext . L'écart pc = pint - pext est donné par la relation : pc = 2 .
a
9 Exprimer ph , différence de pression hydrostatique entre le point haut et le 
point bas
de la goutte, située dans le vide et soumise à un champ de pesanteur 
d'intensité g. Exprimer le
Å ã2
ph
a
nombre de Bond B =
et vérifier la relation B =
, où Lc est la longueur capillaire
pc
Lc
que l'on a exprimée à la question 8.
10 Pour quelles valeurs par rapport à 1 du nombre de Bond la goutte tend-elle à 
être
parfaitement sphérique ?
2

Partie II
Arcs-en-ciel
L'arc-en-ciel est constitué d'une série d'arcs lumineux, dont le centre est 
situé sur le prolongement de la ligne qui va du Soleil à l'oeil de 
l'observateur, l'un et l'autre étant donc considérés
ici comme ponctuels. Ce phénomène est principalement dû à la réfraction de la 
lumière solaire
dans les gouttes d'eau.
Le rayon des gouttes d'eau dans l'atmosphère va de 0,1 mm à 2,5 mm, avec une 
moyenne
de 0,5 mm. Le rayon des gouttelettes dans un nuage ou dans la brume est 
d'environ 0,01 mm.
Toutes ces gouttes peuvent produire des arcs-en-ciel, mais seules les plus 
grosses d'entre elles
donneront un phénomène aux couleurs vives. En-dessous d'une taille de 0,2 mm, 
la partie rouge
de l'arc disparaît. Les gouttes très petites produisent des phénomènes de 
diffraction importants
dont les effets se combinent à ceux de la réfraction.
On observe souvent deux arcs : l'arc intérieur ou principal est celui dont les 
couleurs sont les
plus vives et les plus pures ; le violet apparaît sur la frange interne, le 
rouge à l'extérieur. Dans l'arc
extérieur ou secondaire les couleurs sont disposées en ordre inverse. Plusieurs 
théories coexistent
et expliquent les différents phénomènes observés lors d'un arc-en-ciel et nous 
en considèrerons
deux :
· la théorie « classique » de Descartes, Newton et de Young qui s'applique pour 
les grosses
gouttes d'eau,
· celle de Airy, datant de 1838, pour des gouttes dont le diamètre est 
supérieur à 0,1 millimètre.
Pour une composante monochromatique de l'éclairement, de longueur d'onde , on 
note

2
. L'indice de l'eau est noté n, l'indice de l'air vaut 1. On ne tiendra pas 
compte des
k= =
c

diverses pertes et atténuations qui se produisent aux interfaces et pendant la 
propagation.
II.1. Optique géométrique : l'arc-en-ciel de Descartes
L'arc-en-ciel primaire
Le plan de la figure 3 est déterminé par les trois points Soleil, centre de la 
goutte et oeil
de l'observateur. Avec les notations de la figure, des considérations 
géométriques élémentaires
conduisent à la relation que l'on admettra
(1)

 = (i - r) + ( - 2r) + (i - r) =  + 2i - 4r ,
où i et r sont liés par la loi de Descartes sin i = n sin r.

11 Montrer qu'il existe un angle de déviation extrémale, noté 1c et nommé angle 
critique,
donné par
1c =  + 2 arccos

!

1 2
(n - 1) - 4 arccos
3
3

2
n

n2 - 1
3

!

.

(2)

Justifier qualitativement qu'il y a accumulation de lumière pour cet angle.

Figure 3 - Géométrie et notations pour
l'arc-en-ciel primaire.

Figure 4 - Rayon subissant.
deux réflexions internes.

12 Calculer l'angle c1 =  - 1c (figure 3) pour n = 1, 331 correspondant à  = 
700 nm.
13 Pour le spectre visible allant du rouge au bleu, l'indice varie de façon 
monotone entre
les valeurs 1,331 et 1,346 ; calculer la largeur angulaire de l'arc-en-ciel. 
Cette variation d'indice
explique-t-elle que le bleu est à l'intérieur et le rouge à l'extérieur de 
l'arc ? Faire un schéma
explicatif du phénomène observé.
Les arcs-en-ciel secondaires
En réalité, un rayon incident subit plusieurs réflexions internes ; la figure 4 
illustre le cas de
deux réflexions. On admettra les deux résultats suivants :
i) l'angle d'émergence de l'arc d'ordre k, correspondant à k réflexions 
internes, est
k = k + 2i - 2(k + 1)r ,
ii) l'angle de déviation critique (déviation stationnaire) kc correspondant au 
rayon critique d'ordre
k est donné par
kc

= k + 2arccos

s

"

k+1
n2 - 1
- 2(k + 1)arccos
k(k + 2)
n

s

n2 - 1
k(k + 2)

#

.

14 Justifier que l'arc primaire et l'arc secondaire (k = 2) ne se recouvrent 
pas (la région
entre les deux arcs s'appelle la bande sombre d'Alexandre). Quel est l'ordre 
des couleurs dans
l'arc secondaire ? Cet arc est-il situé à l'intérieur ou à l'extérieur de l'arc 
primaire ?
15 En quoi les dispersions spatiales des longueurs d'onde par un prisme et par 
une goutte
sont-elles différentes ? Pourquoi n'observe-t-on jamais l'arc-en-ciel tertiaire 
?
II.2 Optique ondulatoire : modèle de Young et modèle d'Airy
L'explication cartésienne de l'arc-en-ciel ne donne aucune indication sur la 
répartition des
intensités selon les longueurs d'onde, ainsi que sur les polarisations. La 
théorie ondulatoire de la
lumière rend compte de ces phénomènes, comme elle rend compte aussi d'arcs 
supplémentaires,
dits surnuméraires, observables en particulier près du bord interne de l'arc 
primaire. Nous nous
4

intéressons maintenant à ces derniers et pour simplifier l'écriture, dans toute 
la suite du problème,
1 sera simplement désigné par .
Existence des arcs surnuméraires
On considère (figure 5.a) une goutte sphérique de rayon a, éclairée par un 
rayon situé à la
distance b de son centre ; la grandeur b s'appelle paramètre d'impact. L'angle 
d'incidence est
noté i, l'angle de réfraction est noté r, le point de réflexion interne est 
noté P . Le trait plein
correspond au rayon critique, de paramètre d'impact b0 , et les traits tiretés 
à deux rayons voisins
b
symétriques b = b0 ± . On pose = sin i = y.
a

Figure 5 - a) Trajet de la lumière dans une goutte de
centre C et de rayon a, au voisinage du rayon critique.

b) Agrandissement autour de O avec
exagération de l'angle de déviation.

y
, vérifier que dans le cas général
16 La relation (1) s'écrivant  =  + 2arcsin(y) - 4arcsin
n
d
2
4
=p
-p 2
.
dy
1 - y2
n - y2
Å ã

c
17 On note y0 la valeur de y correspondant
Ç 2 å à l'angle critique 1 introduit à la question 11.
»
»
d 
en fonction de n.
Exprimer y0 , 1 - y02 , n2 - y02 et 0 =
dy 2 y=y0

Pour n = 1, 333, calculer 1c et 0 .
d = 2 sin d

18 Suivant le schéma de la figure 6, la
lumière incidente traversant l'élément de
surface d = 2b db ressort angulairement
dans l'angle solide d = 2 sin  d.
d
b db
Le rapport  =
donne
=
d
sin  d
la répartition angulaire de l'intensité lumineuse sortante. Que devient-il si   
1c ?

lumière
incidente

b
db
d = 2b db

d

Figure 6 - Correspondance entre la lumière
incidente et la lumière sortante.
5

1
19 Au voisinage de 1c , (y)  1c + 0 (y - y0 )2 ; en déduire que le rapport  se 
met sous
2
d

, en précisant l'expression de la constante  et la valeur de l'exposant
la forme
d
( - 1c )
positif .
20 Pour  = 1c , la position du point P est stationnaire et les trois rayons 
voisins représentés
sur la figure 5, de paramètres respectifs (b0 , b0 ± ) convergent, au second 
ordre près en , au
point P ; justifier cette convergence. Quelle est, dans cette approximation, la 
symétrie associant
le rayon incident au rayon émergent ?
Ondes et rayons ; arcs surnuméraires
Dans toute la suite, l'onde sortante est modélisée localement comme une onde 
cylindrique
orthogonale à la figure et le modèle d'étude est limité à deux dimensions, dans 
le plan méridien
de la figure 5.
Au voisinage de l'angle critique, la dépendance quadratique de  - 1c en 
fonction de
y = y - y0 (question 19) entraîne que deux rayons proches du rayon critique et 
symétriques
par rapport à ce dernier émergent avec le même angle de sortie (figure 5.b). 
Une interférence « à
l'infini » entre ces deux rayons parallèles est dès lors possible. Sur la 
figure 5, la surface d'onde
plane incidente de trace AA et le plan de trace BB  nous serviront à préciser 
les phases optiques
au voisinage du rayon critique.
La direction de sortie du rayon critique est choisie comme axe O z  ; l'axe O x 
, porté par
BB  , est représenté sur la figure 5. L'expression a priori de l'amplitude de 
l'onde sortante étant
A(x , z  ; t)  exp(it) exp[-i(x , z  )] ,
où le symbole  signifie « varie essentiellement comme », on cherche à 
déterminer la phase (réelle)
(x , z  ) au voisinage du point O , situé sur le rayon critique. La phase de 
l'onde lumineuse pour
les points de l'axe BB  est notée (x ) : (x ) = (x , 0).
21 Pour | - 1c | << 1, justifier, au voisinage de O , la forme (x , z  )  (x ) + kz  , où 2 . k= = c 22 L'équation de la surface d'onde passant par O est donc kz  = (0) - (x ). Rappeler le lien géométrique entre rayons et surfaces d'onde. Représenter le résultat sur une figure (toujours dans le plan méridien) où figureront le rayon critique et un rayon voisin. Établir alors la relation d -k( - 1c ) en tenant compte de l'inégalité | - 1c | << 1. dx 23 On pose, au voisinage de la déviation critique, x = a, avec 0 <   1. Montrer que 1 (y - y0 ). Établir alors la relation : (x ) - (0) = - ka 0 3 . 6 24 Représenter l'allure locale de la surface d'onde passant par O . 6 Rayons et interférences 25 Soient deux rayons sortants (1) et (2) (figure 5.b) correspondant à deux rayons incidents proches du rayon critique et symétriques par rapport à ce dernier. Ces rayons émergents, parallèles, interfèrent « à l'infini ». Ils coupent BB  en x± = ±a. Au déphasage (a) - (-a) au niveau de BB  s'ajoute le déphasage de propagation dû à leur inclinaison commune ( - 1c ) par rapport à O z  . Calculer la différence de marche correspondante et le déphasage associé. Montrer que le déphasage total (), à l'ordre non nul le plus bas en , est donné par () = 2ka Å 1  3 3 0 ã . 26 Déduire de l'étude qui précède que les angles d'interférence constructive, N , sont exÅ ã 1 3N 2/3  1/3 (0 ) , où N est un nombre entier. primés par N - 1c = 2 ka 27 Pourquoi les arcs surnuméraires associés aux gouttes de grosse taille sont-ils en pratique invisibles, confondus avec l'arc primaire ? 28 Quel est l'effet de la diversité de la taille des gouttes sur l'observabilité des arcs surnuméraires ? 29 On admet que les arcs surnuméraires ne sont visibles que lorsque leur séparation est supérieure à l'étalement angulaire dû à la dispersion, soit, pour N = 1, (1 - 1c ) > 3 × 10-2
radian. Adoptant la valeur numérique 0 = 9, 9, calculer (ka)max puis amax pour  
= 700 nm.
Ondes et diffraction
Dans une région d'accumulation des rayons lumineux, l'analyse en termes 
d'interférences
« à deux ondes » est sujette à caution. Une analyse s'appuyant sur la théorie 
ondulatoire est
préférable. Une approche en est donnée par le principe de Huygens-Fresnel et la 
théorie de
la diffraction associée. On suppose pour cela que, sur BB  , la zone d'intérêt, 
autour de O
(figure 5), s'étend de xmin = -m a à xmax = m a avec m > 0 ; cette zone est 
traitée comme
une fente recevant l'onde sortante. Chaque point de cette zone joue dès lors le 
rôle de source
avec une amplitude complexe proportionnelle à celle de l'onde incidente soit  
exp[-i(x )].
L'amplitude de l'onde à grande distance, dans la direction faisant l'angle  
avec la direction de
l'onde incidente avec | - 1c |  1, est alors donnée par l'expression :
A() 

Z m

1
exp[-ika( - 1c )] · exp i ka0  3 d .
6
-m
Å

ã

30 Dans le cadre de la théorie de la diffraction, interpréter chacun des deux 
facteurs de
l'intégrande ; on justifiera en particulier le facteur de phase du premier 
terme.
31 Admettant que l'erreur apportée en faisant tendre m vers l'infini est 
négligeable, montrer
que A()  Ai(-), où
=

Ç

2k2 a2
0

å1/3

( -

1c )

1
et Ai(x) =

7

Z 
0

1 3
t + xt dt .
cos
3
Å

ã

Le carré de la fonction d'Airy Ai(-), normalisée par rapport à sa valeur 
maximale, est
représenté graphiquement sur la figure 7 en fonction de . Les oscillations 
observées indiquent
que les arcs surnuméraires correspondent à des valeurs négatives de l'argument 
x de la fonction
d'Airy Ai(x).
Pour  < 0, la fonction d'Airy décroît exponentiellement. Commenter le sens physique de ce résultat en le comparant à celui que donne l'optique géométrique (Partie II.1). 1 Figure 7 - La courbe représente le carré de la fonction d'Airy (Ai), normalisée par rapport à Ç å2 Ai(-) . sa valeur maximale, soit Ai(-1, 0188) 0,8 0,6 0,4 0,2 -2 0 2 4 6 8 32 Dans le modèle d'interférences de rayons (question 26), une étude plus fine fait apparaître un déphasage supplémentaire de -/2 et montre que les angles d'interférences constructives, N , sont donnés par : N - 1c 1 1 3 N+ = 2 ka 4 ï Å ãò 2 3 1 (0 ) 3 . Exprimer les valeurs N de  correspondantes en fonction de N . Les calculer numériquement pour N = 0, 1, 2, 3 et 4. 33 Dans le cadre de l'optique géométrique, l'étude effectuée (questions 18 et 19) indique -1/2 que l'intensité lumineuse est proportionnelle à  -1/2 . Calculer N pour N = 0, 1, 2, 3 et 4. 34 Le tableau ci-dessous donne les abscisses des cinq premiers maximums de [Ai(-)]2 . On désigne par AN (N = 0, 1, 2, 3, 4) leurs intensités normalisées (A0 = 1) ; elles sont données en -1/2 seconde ligne du tableau. Calculer les rapports N /AN . Quelle est, pour ce qui concerne la répartition et l'intensité des arcs, la qualité de l'accord entre le modèle d'interférences de rayons et le modèle d'Airy ? Abscisses des maximums, modèle d'Airy Intensités normalisées des maximums 8 1,0188 1 3,2482 0,612 4,8201 0,5043 6,1633 0,446 7,3722 0,408