X Physique MP 2009

ÉCOLE POLYTECHNIQUE

FILIÈRE

MP

CONCOURS D'ADMISSION 2009

COMPOSITION DE PHYSIQUE
(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices est autorisée pour cette épreuve.

Compression de la matière par onde de choc
On s'intéresse dans ce problème à l'étude d'états de la matière dans des 
conditions extrêmes
de température et de pression, soit plusieurs milliers de kelvins et plus d'un 
million de fois la
pression atmosphérique. De tels états de la matière sont rendus accessibles au 
moyen d'un laser
de puissance, qui permet de "déposer" de l'énergie sur de petites surfaces 
pendant des durées
très brèves. La matière est localement portée à l'état de plasma et elle est le 
siège de phénomènes
complexes comme la propagation d'ondes de choc qui vont aboutir aux 
compressions extrêmes
évoquées plus haut. On se propose de décrire quelques uns des aspects de la 
physique de la
matière à haute densité d'énergie, ainsi que l'un des diagnostics utilisés pour 
mesurer l'état
thermodynamique du système.
Les trois parties sont indépendantes.
Données numériques
Masse du proton :
Masse de l'électron :
Charge élémentaire :
Constante de Boltzmann :
Nombre d'Avogadro :
Permittivité du vide :
Perméabilité du vide :
Vitesse de la lumière dans le vide :
Formulaire

mp
me
e
kB
NA
0
µ0
c

=
=
=
=
=
=
=
=

1, 67 × 10-27 kg
9, 1 × 10-31 kg
1, 6 × 10-19 C
1, 38 × 10-23 J · K-1
6, 02 × 1023 mol-1
8, 85 × 10-12 F · m-1
4 × 10-7 H · m-1
(0 µ0 )-1/2 = 3, 0 × 108 m · s-1

--
-
 -
~a
rot rot ~a = grad div ~a - ~

Équations de Maxwell
~ =
div E

0

~ =0
div B

~
B
-
~
rot E
=-
t
~
E
-
~
rot B
= µ0~j + 0 µ0
t
1

I. Interaction onde électromagnétique - plasma
I.1 On considère un plasma neutre composé d'ions, p fois ionisés, de masse mi 
et de densité volumique ni , ainsi que d'électrons de masse me et de densité ne 
. Traduire en équation la neutralité
électrique du plasma.
On s'intéresse au couplage de ce plasma avec une onde électromagnétique plane 
progressive
se propageant dans le sens des z croissants, de vecteur d'onde ~k = k~ez .
On utilisera les notations complexes avec :
~ = E0 exp i(t - ~k · ~r) ~ex , B
~ = B0 exp i(t - ~k · ~r) ~ey
E
I.2 On suppose le plasma suffisamment dilué pour que les ions et les électrons 
puissent être considérés comme indépendants les uns des autres. De plus on 
néglige l'action du champ magnétique.
Écrire la relation fondamentale de la dynamique pour les ions et les électrons. 
En déduire
que, pour des particules de vitesses initiales nulles, les déplacements 
s'effectuent selon Ox, perpendiculairement à ~k.
I.3 En utilisant la notation complexe, exprimer les vitesses des ions ~vi et 
des électrons ~ve en
fonction du champ électrique. En déduire l'expression locale de la densité de 
courant ~j en fonction
~ Justifier que seuls les électrons contribuent en pratique au courant dans le 
plasma.
de E.
I.4 Établir la relation de dispersion des ondes électromagnétiques
» dans le plasma, c'est-à-dire la
relation k(). On définira la "fréquence plasma" p par p = ne e2 /0 me .
Tracer l'allure de la courbe k() ; on précisera en particulier la tangente en k 
= 0 et la forme
asymptotique aux grandes fréquences.
I.5 À quelle condition l'onde électromagnétique se propage-t-elle effectivement 
dans le plasma ?
Pour une pulsation  donnée, en déduire qu'il existe une densité électronique 
critique nC au-delà
de laquelle l'onde ne peut plus se propager.
I.6 Que se passe-t-il lorsqu'une onde électromagnétique, se propageant dans le 
vide, pénètre
dans un plasma de densité électronique telle que p >  ? En particulier, y 
a-t-il dissipation
énergétique ?
I.7 Application numérique. Les lasers de puissance en service dans le monde 
(installation
OMEGA aux USA, Ligne d'Intégration Laser en France) ou en cours de construction 
(Laser
Mégajoule, National Ignition Facility) fonctionnent à la longueur d'onde L = 
351 nm.
Calculer la densité critique correspondante. La comparer à la densité 
électronique d'un métal
qui est de l'ordre de 1 × 1023 cm-3 .
I.8 L'expérience montre que le faisceau d'un laser de puissance, focalisé sur 
un échantillon, l'ionise
en formant un plasma et qu'il est absorbé, essentiellement au voisinage de la 
position où la densité
électronique est voisine de la densité critique nC . Pour pouvoir interpréter 
ce phénomène, quelle
hypothèse effectuée au début de cette partie faut-il remettre en cause ?

2

I.9 Pour préciser l'état d'un plasma de densité électronique ne , on considère 
deux électrons.
À quelle distance rL leur énergie d'interaction coulombienne est-elle égale à 
l'énergie d'agitation
thermique kB T correspondant à la température T ?
On prend cette distance comme ordre de grandeur pour estimer le libre parcours 
moyen 
d'un électron par l'expression  = 1/rL2 ne .
Calculer rL et  pour ne = 1 × 1022 cm-3 et kB T = 10 eV. Commenter.
I.10 Une onde électromagnétique, arrivant orthogonalement à la surface d'un 
milieu absorbant,
exerce sur ce milieu des forces se traduisant par une pression p égale à la 
moyenne temporelle
de la densité volumique énergétique de l'onde : p = huem i. À quelle grandeur 
physique de l'onde
peut-on associer ces forces de pression ?
Un laser de puissance typique émet pendant une durée  = 5 ns une énergie EL = 5 
kJ
concentrée sur une tache focale de l'ordre de 1 mm2 . Calculer la pression 
qu'il exerce sur une
surface absorbante ; l'exprimer en bar (1 bar = 1 × 105 Pa 
= 1 atm).
En fait, une telle impulsion laser crée dans le matériau une onde de choc avec 
une pression
qui atteint la dizaine de Mbar (cf. partie II). Cette valeur est-elle 
compatible avec la pression de
radiation calculée ci-dessus ?
II. Onde de choc ; aspects thermodynamiques
L'interaction d'un rayonnement laser de forte puissance avec un matériau 
initialement au
repos engendre, après ionisation du milieu et effets thermiques, une brusque 
mise en mouvement
par compression. On se propose d'obtenir dans cette partie les relations 
thermodynamiques
régissant l'évolution ultérieure du milieu.

Figure 1. Propagation d'une onde de choc
dans un tube

Figure 2. Bilans sur une tranche de gaz

Dans une conduite cylindrique de section d'aire S, on considère un gaz 
initialement au repos,
de pression P0 , de température T0 et de masse volumique 0 . Ce gaz est mis en 
mouvement et
il se forme une discontinuité de pression ou "onde de choc" qui se propage dans 
la conduite à
une vitesse D. La pression du gaz passe de P0 à P1 , la vitesse du gaz de v0 = 
0 à v1 , et la masse
volumique de 0 à 1 . Le processus est supposé adiabatique. La pression P1 du 
gaz après passage
de l'onde sera prise comme paramètre. On se propose de déterminer la masse 
volumique 1 et la
température T1 après passage de l'onde de choc et de déterminer la vitesse D de 
celle-ci.

3

II.1 On considère un tronçon fixe AB de la conduite contenant initialement une 
masse m de
gaz. Il est traversé par la discontinuité pendant l'intervalle de temps [t, t + 
t] (figure 2).
II.1.1 Déterminer les volumes occupés par la masse m aux instants t et t + t. 
En déduire
une relation entre 0 , 1 , v1 et D.
II.1.2 Toujours pour la masse m, exprimer le bilan de quantité de mouvement 
entre les
instants t et t + t ; en déduire une relation entre 0 , P0 , P1 , v1 et D. On 
négligera tout frottement
du gaz sur la paroi de la conduite.
II.1.3 Exprimer le travail W des forces extérieures de pression exercées sur la 
masse m
pendant l'intervalle de temps t.
II.1.4 La masse m subit une variation d'énergie interne et acquiert de 
l'énergie cinétique.
On appellera e0 et e1 les énergies internes massiques du gaz respectivement 
avant et après le
passage de la discontinuité. Exprimer le bilan énergétique de m entre t et t + 
t.
II.1.5 Au moyen des relations établies en II.1.1, II.1.2 et II.1.4, montrer que 
:
e1 - e0 =

1 1
1
(P1 + P0 )
-
2 0 1

II.1.6 P1 étant supposé connu, les 3 relations établies en II.1.1, II.1.2 et 
II.1.5,
dites d'Hugoniot-Rankine, sont-elles suffisantes à la détermination 
thermodynamique complète
du système ?

II.2 On considère le cas particulier d'un gaz parfait.
II.2.1 Montrer que l'énergie interne massique e du gaz est donnée par : e = 
P/[( - 1)]
avec  = CP /CV , CP et CV étant les capacités thermiques massiques du gaz.
II.2.2 En déduire que le rapport de compression
pressions

P1
, par :
P0

1
est donné, en fonction du rapport des
0

1
( - 1) + ( + 1)(P1 /P0 )
=
0
( + 1) + ( - 1)(P1 /P0 )

II.2.3 Exprimer également le rapport des températures

P1
T1
en fonction de  et de
.
T0
P0

On considère maintenant une compression forte pour laquelle P1 /P0 >> 1.
II.2.4 Montrer que le rapport des masses volumiques tend vers une valeur 
limite. Calculer
cette limite pour un gaz parfait monoatomique.
II.2.5 Qu'en est-il du rapport des températures ? Quels phénomènes pouvant 
avoir de l'importance ont été négligés ?

4

II.3 On s'intéresse maintenant à la célérité D de l'onde de choc, toujours pour 
un gaz parfait.
P0
. Quel en
0
= 29 g, sous les conditions

II.3.1 La vitesse c0 des ondes sonores dans le gaz est donnée par : c0 =
est l'ordre de grandeur dans l'air, de masse molaire moyenne MA
normales de température et de pression ?
II.3.2 Exprimer D en fonction de c0 ,  et du rapport

P1
.
P0

II.3.3 Application au cas d'un gaz parfait monoatomique pour un rapport de 
pression
Calculer

P1
= 3.
P0

D 1
T1
,
et
.
c0 0
T0

II.3.4 L'entropie massique d'un gaz parfait est de la forme : s = CV ln [P - ] 
+ s0 . Avec
les valeurs numériques obtenues en II.3.3, calculer la variation d'entropie 
massique en fonction
de CV ; qu'en concluez-vous ?

II.4 On s'intéresse maintenant succinctement au cas de la propagation d'une 
onde de choc dans
un solide. Les bilans établis en II.1 restent valides.
Une loi empirique donne la relation suivante entre la vitesse de propagation de 
l'onde de choc
et la vitesse v1 pour la plupart des solides : D = av1 + b.
II.4.1 En utilisant la relation établie en II.1.2, établir la forme de la 
courbe P1 = f (v1 ),
dénommée polaire de choc.
II.4.2 Pour l'aluminium : 0 = 2, 7 g · cm-3 et D = 1, 2 v1 + 6, les vitesses D 
et v1 étant
exprimées en km · s-1 . On cherche à comprimer ce matériau à 1 = 8 g · cm-3 .
Estimer la célérité D de l'onde de choc nécessaire, ainsi que la vitesse v1 de 
la matière.
En déduire l'ordre de grandeur de la pression P1 à appliquer. L'exprimer en bar
(1 bar = 1 × 105 Pa). Comparer à la pression atmosphérique standard.
II.4.3 On admet qu'une loi d'échelle relie la pression de l'onde de choc 
engendrée par un
laser de puissance (de longueur d'onde 351 nm) et l'intensité laser directement 
incidente sur le
matériau. Soit I15 l'intensité laser en unité de 1015 W·cm-2 . La loi donne : P 
(Mbar) = 80(I15 )2/3 .
Quelle est l'intensité laser nécessaire pour engendrer la pression calculée en 
II.4.2 ? Ce domaine est-il accessible avec le laser de caractéristiques données 
en I.10 ?
II.4.4 Pour des considérations géométriques, le laser Mégajoule permet de 
concentrer sur
la cible une énergie de l'ordre de 500 kJ pendant une durée de 25 ns, avec une 
tache focale de
1 mm2 . En déduire un ordre de grandeur de la pression maximale accessible.
La pression à l'intérieur du noyau terrestre est de l'ordre de 100 à 350 GPa. 
Ce type d'expériences de compression a-t-il un intérêt en géophysique et en 
astrophysique ?
5

III. Détermination de la vitesse d'une onde de choc
Nous avons vu dans la partie II que la détermination de la vitesse D d'une onde 
de choc,
associée à celle de la vitesse de la matière mise en mouvement permettait de 
remonter à l'état de
pression d'un matériau soumis à une forte compression via les relations 
d'Hugoniot ­ Rankine
établies dans cette même partie. On décrit dans cette partie le dispositif 
interférométrique qui
permet d'effectuer la mesure.

Figure 3. Schéma optique et table optique d'un VISAR
La figure 3 montre le schéma optique et une photographie de la table optique 
portant ce
dispositif nommé par son acronyme anglais VISAR (Velocity Interferometer System 
for Any
Reflector). M1 et M2 sont deux miroirs supposés identiques. M2 est monté sur un 
support piézoélectrique qui permet des réglages fins de translation. S1 et S2 
sont deux lames séparatrices,
également supposées identiques.
L'analyse qualitative et théorique de ce dispositif peut se faire à partir des 
connaissances
expérimentales relatives à l'interféromètre de Michelson.
III.1 Un faisceau lumineux parallèle et monochromatique entre dans 
l'interféromètre via la lame
séparatrice S1 .
III.1.1 Décrire qualitativement le fonctionnement de cet interféromètre.
III.1.2 Les composants optiques sont initialement tous réglés avec des faces 
parallèles entre
elles et les chemins optiques des deux bras de l'interféromètre sont égaux. 
Qu'observe-t-on en
sortie de la séparatrice S2 ?
III.1.3 On tourne le miroir M2 d'un petit angle  autour de la verticale Oz. 
Faire un schéma
des surfaces d'ondes en sortie de la séparatrice S2 . Qu'observe-t-on en sortie 
de S2 ?
6

III.2 Les champs électriques des ondes lumineuses en sortie et ayant parcouru 
les 2 bras sont
notés :
~ 1 = E0 exp i(t - ~k1 · ~r) ~ez
E
~ 2 = E0 exp i(t - ~k2 · ~r) ~ez
E
avec k~k1 k = k~k2 k = k = 2/
~ 1 et E
~ 2 en coordonnées cartéIII.2.1 Exprimer les phases ~k1 · ~r et ~k2 · ~r des 
champs E
siennes (x, y).
~ le champ électrique total en sortie de la séparatrice, plan origine dont on
III.2.2 Soit E
~ 2.
posera l'abscisse x nulle. Expliciter l'intensité lumineuse I = kEk
III.2.3 Faire un schéma de la répartition d'intensité lumineuse dans le plan 
(y, z). Déterminer
l'interfrange que l'on notera i.
III.3 On interpose maintenant sur le trajet optique, tout contre le miroir M2 , 
un étalon, c'est-àdire une pièce transparente (verre, quartz ou autre) 
d'épaisseur e calibrée et d'indice optique n
supposé connu (n > 1). Afin d'assurer la même position du faisceau en sortie de 
S2 , le miroir M2
est légèrement reculé. Soient  la différence de chemin optique correspondant à 
l'introduction de
l'étalon et à la translation du miroir M2 , et  le retard temporel 
correspondant.
~ 2 parcourant le bras inférieur de l'interféromètre. En déduire
Exprimer la phase du champ E
comme en III.2.2 l'expression analytique de l'intensité lumineuse dans le plan 
(y, z).
Quel est l'effet de l'étalon sur la figure d'interférences ?
III.4 La lumière entrant dans l'interféromètre provient de la réflexion sur une 
surface réfléchissante mobile (dénommée cible) d'un faisceau laser de longueur 
d'onde dans le vide 0 . La vitesse
de cette surface mobile est notée V (t) et cette surface se rapproche de la 
source lumineuse laser.
Du fait de ce mouvement, on admettra que la pulsation de la lumière après 
réflexion sur l'interface est donnée, au premier ordre en V /c, par 
l'expression : d = 0 [1 + 2V (t)/c]. Un détecteur
est placé en sortie de l'interféromètre au niveau de la séparatrice S2 .
III.4.1 On suppose que la surface réfléchissante est mise brutalement en 
mouvement à l'instant t = 0 sous l'effet par exemple d'un phénomène de choc 
comme évoqué dans la partie II. Sa
vitesse s'écrit donc V (t) = 0 pour t < 0 et V (t) = V0 pour t > 0.
Après un laps de temps dû à la propagation, la lumière de fréquence modifiée 
arrive sur le
détecteur. Montrer que, dans ce cas, l'intensité lumineuse sur la séparatrice, 
en négligeant la
modification de l'interfrange au voisinage du centre y = 0, est donnée par 
l'expression :
IS2 (y, V0 ) = 2E02 [1 + cos(0  + (V0 ) + 2y/i)]
Montrer que : (V0 ) = 4 V0 /0 .
III.4.2 Tracer l'allure de l'évolution au cours du temps de l'interférogramme 
dans le plan de
sortie de la séparatrice S2 . En déduire le principe de la mesure de la vitesse.
On notera le décalage de franges : F = (V0 )/2.
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III.5. Exploitation d'un interférogramme expérimental
L'image ci-dessous (figure 4) est un interférogramme typique enregistré au 
cours d'une expérience sur le laser LULI 2000 de l'École Polytechnique. On se 
propose d'en déduire la vitesse de
la cible accélérée par ce laser de puissance.

Figure 4. Interférogramme VISAR
III.5.1 Déterminer la valeur de l'interfrange.
III.5.2 La mise en vitesse intervient à l'instant marqué par la flèche (figure 
4). On suppose
F < 1. Estimer le saut de franges correspondant. La formule F = (V0 )/2 se réécrit V0 = SV F . Exprimer le coefficient SV , appelé sensibilité du VISAR en fonction de 0 et  . III.5.3 On donne pour un étalon en silice les caractéristiques suivantes : e = 3, 07 mm et n = 1, 4607. La différence de chemin optique est donnée par  = 2e(n - 1/n). Calculer  puis SV pour 0 = 532 nm. En déduire une estimation de la vitesse de l'interface. III.6. Limitation Montrer que la vitesse n'est déterminée que modulo une certaine quantité que l'on précisera. Justifier de l'emploi éventuel de deux dispositifs VISAR fonctionnant à des longueurs d'onde différentes et avec des sensibilités très différentes. 8