X Physique MP 2014

ÉCOLE POLYTECHNIQUE -- ÉCOLES NORMALES SUPÉRIEURES

CONCOURS D'ADMISSION 2014 FILIÈRE MP

COMPOSITION DE PHYSIQUE (XULCR)

(Durée : 4 heures)

L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.

On se contentera, pour les applications numériques, d'un seul chiffre 
significatif.
* * *

Centrale inertielle

Une centrale inertielle est un ensemble d'accéléromètres et de gyromètres qui 
mesure
l'accélération et la vitesse angulaire d'un mobile et permet de le positionner 
dans l'espace. La
miniaturisation et le désormais faible coût de ces capteurs permettent de les 
intégrer dans de
nombreux dispositifs électroniques embarqués. On les retrouve par exemple dans 
les systèmes
de navigation automobile pour pallier la perte momentanée du signal GPS, dans 
les disques
durs d'ordinateurs portables pour prévenir des chocs éventuels et protéger les 
têtes de lecture,
dans les smartphones ou dans les manettes de jeu vidéo pour détecter les 
mouvements du

joueur.

L'objet de ce problème est l'étude de différents types d'accéléromètres et de 
gyromètres. Les

quatre parties du problème sont indépendantes.

Dans le problème g désigne l'accélération de la pesanteur que l'on prendra 
égale a 10 m - s--2

dans les applications numériques et c désigne la vitesse de la lumière dans le 
vide que l'on

prendra égale a 3 >< 108 m-s_1. I Étude d'un accéléromètre pendulaire L'accéléromètre ADLX qui équipe les manettes des consoles Nintendo VViiUTM est un accéléromètre de type pendulaire. La fiche constructeur précise qu'il peut mesurer des accélérations comprises entre --5g et +5g, que la plus petite accélération mesurable est de 0,01g, et qu'il peut résister a des chocs allant jusqu'à 10 OOOg. 1. Donner, en précisant la méthode utilisée, les ordres de grandeur des accélérations subies par la manette de jeu placée dans la main d'un joueur agitant rapidement ou lentement le bras. Les situer relativement aux valeurs annoncées par le constructeur. Un accéléromètre pendulaire peut être assimilé a un système masse-ressort amorti, dont le schéma de principe est présenté sur la figure 1. L'accéléromètre se compose d'une masse d'épreuve m, astreinte a se déplacer selon un axe ?? solidaire du boitier extérieur de l'accéléromètre. La masse d'épreuve est reliée au boîtier par un ressort de raideur k. On note X la position de la masse d'épreuve par rapport au centre du boîtier. La position au repos de la masse d'épreuve, lorsque l'axe ?? est horizontal, est X = 0. On suppose que la masse d'épreuve subit également une force de frottement visqueux Ê' : --2vaü où v est une constante positive. /\ ' / / \ , , Bo1t1er de l'accelerometre Masse/d epreuve \ / Rzy k: mi O a: ? ©1 Figure 1: Schéma d'un accéléromètre pendulaire. Le boitier se déplace dans un référentiel R supposé Galiléen et on note 53 son accélération dans ce référentiel. Lorsque le boitier subit une accélération, la masse d'épreuve quitte sa position d'équilibre. La mesure de la position X permet alors de déduire l'accélération du boîtier. On suppose tout d'abord que l'accéléromètre garde une orientation fixe et horizontale selon l'axe 056 (2? = 62). De plus, l'accéléromètre ne se déplace que selon l'axe 056 (53 : a(t)e}). On note wr : Vic/m. 2. Donner l'équation différentielle vérifiée par la variable X, faisant intervenir ou... y et a(t). On suppose que l'accéléromètre ainsi que sa masse d'épreuve sont immobiles pour des temps t négatifs, et que l'accéléromètre subit une accélération constante 53 : ae} pour les temps t positifs. 3. Donner l'expression de la solution de l'équation différentielle dans le cas faiblement amorti où v < car et dans le cas fortement amorti où y > wT. On ne cherchera 
pas a

calculer les constantes d'intégration qui apparaissent dans les expressions.

4.

5.

Montrer que dans les deux cas, faiblement et fortement amorti, X (t) tend vers 
une

valeur stationnaire dont on donnera l'expression.

Tracer l'allure de X (t) dans les deux cas, faiblement et fortement amortis.

On appelle temps de réponse de l'accéléromètre le temps caractéristique pour 
que X (15) at--

teigne le régime stationnaire.

Donner le temps de réponse de l'accéléromètre dans les deux cas, faiblement et 
forte--

ment amorti.

Tracer l'allure du temps de réponse de l'accéléromètre en fonction du paramètre 
v,

pour une pulsation w.,» fixée.

D'après le graphe de la question précédente, quel est le temps de réponse 
minimal pour

un accéléromètre de pulsation w.,» donnée ?

D'après la fiche constructeur, l'accéléromètre ADLX possède les 
caractéristiques suivantes :

pulsation de résonance w.,» : 27r >< 5 500 rad - s_1, facteur de qualité Q : ca,/v : 5. 9. 10. 11. Donner la valeur du temps de réponse de l'accéléromètre, ainsi que celle du déplacement stationnaire de la masse d'épreuve pour une accélération de lg. Pourquoi peut--on dire que les performances de ce type d'accéléromètre résultent d'un compromis entre temps de réponse et sensibilité, c'est--à--dire qu'un accéléromètre pen-- dulaire très sensible aura un temps de réponse long ? On considère que l'accéléromètre n'est plus horizontal et qu'il subit une accélération constante ä d'orientation quelconque. Montrer que ce type d'accéléromètre n'est pas capable de mesurer la composante de l'accélération 55 selon ?? mais une quantité que l'on exprimera en fonction de ä, ?? et l'accélération de la pesanteur ÿ'. II Détection électrostatique Dans cette partie est étudié le système de détection du déplacement de la masse d'épreuve de l'accéléromètre Une première méthode est la détection capacitive dont le principe est présenté sur la figure 2. Une électrode est déposée sur la masse d'épreuve et fait face a une électrode fixe, le tout formant un condensateur. Un mouvement de la masse d'épreuve modifie la distance entre les électrodes et donc la capacité de ce condensateur. Boîtier de l'accéléromètre e--l--X Électrode fixe \ /Électrode mobile X '-- Masse d'épreuve Figure 2: Mesure capacitive de la position de la masse d'épreuve. La mesure du déplacement de la masse d'épreuve revient donc a une mesure électronique de la capacité d'un condensateur. On assimile les deux électrodes a deux plans infinis parallèles séparés d'une distance e + X. La différence de potentiel entre l'électrode fixe et l'électrode mobile est U. 12. Etablir l'expression du champ électrique entre les deux électrodes du condensateur en fonction de U , e, X. On précisera la méthode et les arguments de symétrie employés. 13. En déduire l'expression de la capacité Cl du condensateur formé par les deux électrodes. On exprimera le résultat en fonction de e, X , et de la capacité C du condensateur pour X = 0, dont on précisera l'expression. Cette méthode capacitive est couramment utilisée pour détecter des déplacements d'objets massifs. Cependant la capacité Cl ne dépend pas linéairement du déplacement X et dans les accéléromètres miniatures la force électrostatique produite par le système de détection peut se révéler gênante. 14. Donner la force qu'exerce l'électrode fixe sur l'électrode mobile en fonction de U , e, X , et C . On précisera si cette force est attractive ou répulsive. Les caractéristiques typiques d'un accéléromètre miniature sont C = O, 1 pF, e = 1 nm, U = 1 V et la masse d'épreuve est de 1 ng. 15. Pour X = O, donner l'ordre de grandeur de la force électrostatique s'exercant sur l'électrode mobile et discuter de la possibilité de réaliser une mesure capacitive du déplacement de la masse d'épreuve d'un accéléromètre prévu pour mesurer des accélérations de 1g. Dans les systèmes miniatures tels que l'accéléromètre ADLX, une seconde électrode fixe est placée symétriquement par rapport a X = 0 (voir figure 3). La distance entre cette électrode et l'électrode mobile est donc e -- X. La première électrode fixe est portée au potentiel VS, la seconde au potentiel --V3. On mesure alors le potentiel de l'électrode mobile. Boîtier de l'accéléromètre Électrode fixe l\. c+X e--X Â ./ Électrode fixe 2 Masse d'épreuve | Fil souple Voltmètre Figure 3: Mesure électrostatique de position a deux électrodes fixes. 16. En considérant que l'électrode mobile reste isolée et globalement neutre, donner le potentiel V de l'électrode mobile en fonction X, e, et V3. 17. Dans cette configuration, quelle est la force électrostatique s'exercant sur l'électrode mobile ? 18. Déduire des deux questions précédentes l'avantage d'un système possédant 2 électrodes fixes par rapport a celui a une seule électrode fixe. III Accéléromètre vibrant Dans un accéléromètre vibrant, la masse d'épreuve est fixée a une ou plusieurs lames vibrantes. Un système électronique maintient constamment les lames en oscillation a leur fréquence propre. Lorsque la masse d'épreuve subit une force inertielle, elle applique un effort de tension sur les lames, dont les fréquences de résonance vont changer, telles des cordes vibrantes. La mesure de l'accélération consiste a suivre les modifications de fréquence propre des lames. Boîtier de l'accéléromètre L O Masse d'épreuve Mode de vibration Figure 4: Principe d'un accéléromètre vibrant. On considère l'accéléromètre de la figure 4 : au centre du boitier de l'accéléromètre, une masse d'épreuve est astreinte a se déplacer selon l'axe Occ. Elle est reliée au boîtier par deux lames identiques dirigées selon l'axe 055, une a sa droite l'autre a sa gauche. L'oscillation des lames est transverse (oscillation de flexion). La pulsation propre ou d'une lame vérifie la relation : w : wo + ozT , (1) où T est la tension exercée sur la lame. La lame étant rigide, la tension T peut être négative. Au repos la masse d'épreuve n'exerce aucune tension sur les lames. Lorsque l'accéléromètre est en mouvement la masse d'épreuve subit une force inertielle d'entrainement Feë'oe, Cette force est entièrement compensée par les lames qui maintiennent constamment la masse d'épreuve au centre du boîtier. 19. Écrire la différence de pulsations propres des lames en fonction de la force FEUR et de oz. 20. Quels avantages ce type de système où la masse d'épreuve est quasiment immobile dans le boitier de l'accéléromètre possède--t--il sur les accéléromètres pendulaires ? On pourra faire référence a la question 10 et également s'interroger sur la plage maximale d'accélérations mesurables. La suite de cette partie est consacrée a l'établissement de la relation (1). On considère une lame de longueur L, de largeur (9, d'épaisseur h et de masse M, orientée selon l'axe a: encastrée a ces deux extrémités en a: = 0 et a: = L. Dans son mode de vibration fondamental, la déformation de la lame est uniquement transverse et sa dépendance temporelle est harmonique a la pulsation w. On note y(a:, t) : Y(a:) cos(wt) le déplacement de l'élément de lame situé a l'abscisse a:. On considérera uniquement de petites déformations de la lame, c'est--à--dire que l'on ne conservera dans les calculs que le premier ordre non nul en y et en ses dérivées. 21. Exprimer l'énergie cinétique totale Ec(t) de la lame en fonction de M, L, ou, t et de la fonction Y(a:). 22. Soit l'élément de lame compris entre les abscisses a: et a: + (156. Lors d'une flexion de la lame (y(oe,t) # O), exprimer, au premier ordre non nul, son allongement 5(a:) en fonction de y(a:, t) ou ses dérivées, puis donner l'allongement total A de la lame. La lame est soumise, par un opérateur extérieur, a une force de tension constante axiale Të'oe a son point d'ancrage 56 = L et --Të}; a son point d'ancrage 56 = 0. On suppose que cette force est uniforme le long de la lame c'est--à--dire que pour toute abscisse a: la partie de la lame a droite de a: exerce sur la partie a gauche une tension d'amplitude T dirigée le long de la lame. Dans le cas de petites oscillations y(a:, t), on peut négliger la tension supplémentaire créée par l'allongement de la lame qui est un effet d'ordre supérieur. On appelle énergie potentielle de tension, que l'on notera Etension(t), l'énergie potentielle élastique totale de la lame produite par son allongement. 23. Exprimer EtenSion(t) sous la forme d'une intégrale en fonction de T, ou, t et de la fonction Y(a:) ou de ses dérivées. La lame est composée de différentes tranches horizontales d'épaisseur du comme illustré sur la figure 5. Lorsque la lame est courbée, ces tranches peuvent être soit comprimées soit étirées en fonction de leur position verticale. Cet effet lié a la courbure donne lieu a une énergie potentielle élastique. Chacune de ces tranches, située entre les absisses a: et a:+da3, de section de largeur 19 et d'épaisseur h possède, pour son alongement horizontal, une raideur /<; : /<: : LEb du da: ' où E est une constante positive appelée module d'élasticité, exprimée en N - m_2, qui car-- actérise l'élasticité du matériau. Lors de la flexion, chaque section transversale de la lame reste plane et orthogonale au plan central de la lame. On note d9 l'angle entre la section a l'abscisse a: et celle a l'abscisse a: + (là?. Les deux types de déformations, allongement et courbure, sont a priori couplés, cependant, dans l'approximation linéaire, ils peuvent être calculés séparément. LamEUR/ Section transversale Plan central a: oe--l--da: Figure 5: Elément infinitésimal de la lame lors d'une flexion. 24. Exprimer l'énergie potentielle élastique de l'élément de lame due a la courbure seule, c'est--à--dire en considérant que le plan central de la lame n'est pas allongé. On exprimera le résultat en fonction de E, (9, h, da: et d9. 25. En déduire que l'énergie potentielle élastique de courbure Ecourbuoe(É) de la lame prend 1 L 32 56,15 2 Ecourbure=äB/O (--ËËC2 )) d£E'a où B est une constante que l'on exprimera en fonction des paramètres géométriques de la lame et de E. la forme : 26. En invoquant la conservation de l'énergie lors de la déformation de la lame, montrer que la pulsation propre au du mode fondamental vérifie : w2=wâ+fiT, où ado et 6 sont des constantes que l'on exprimera en fonction de M, L, B et d'intégrales de la fonction Y ou de ses dérivées. Sous quelle(s) conditi0n(s) retrouve--t--on la relation (1) ? Donner l'expression de oz. 27. En première approximation le mode fondamental possède une déformation du type Y(a:) : Y0(1 -- cos(27roe / L)) Donner l'expression des constantes ado et 04 en fonction de M, L, B. Les accéléromètres a lames vibrantes sont généralement fabriqués en quartz pour ses ex-- cellentes propriétés mécaniques et dont le caractère piézoélectrique permet de réaliser très facilement les excitations et les détections des vibrations. Cela en fait des capteurs de très bonne précision et de très grande stabilité, relativement faciles a produire et a miniaturiser. 28. L'accéléromètre VIA (Vibrating Inertial Accelerometer) développé par l'ONERA, possède une lame vibrante de 30 mn de largeur, 60 nm d'épaisseur, de 2 mm de longueur et de masse 10 ng. Il est fabriqué en quartz de module d'élasticité E = 1011 N - m_2, ce qui lui confère une constante B = 5, 4 >< 10_8 N - m2. Donner la fréquence de résonance du mode fondamental de la lame ainsi que la constante oz. Quelle est la variation de fréquence de la lame lorsque celle--ci subit la tension exercée par une masse d'épreuve de 10 mg soumise a une accélération de 19. IV Gyromètre laser Le gyromètre laser est un dispositif interférométrique qui exploite un effet relativiste appelé effet Sagnac. Dans ce problème, on donne une interprétation cinématique classique de cet effet en terme de décalage de fréquence d'une onde laser réfléchie par un miroir en mouvement. Cette interprétation conduit au même résultat que le traitement relativiste du phénomène. Une onde plane monochromatique de pulsation wg se propageant dans le vide, se réfléchit sur un miroir avec un angle d'incidence 9 par rapport a la normale au miroir. Le miroir est animé d'une vitesse 17 et on note 171 la composante de cette vitesse perpendiculaire a la surface du miroir. On considère les deux points A1 et A2 appartenant aux fronts d'ondes 1 et 2 séparés d'une distance d et représentés sur la figure 6. Le point A1 atteint le miroir a l'instant 151 = 0. 29. À quel instant 152 le point A2 du front d'onde 2 atteint--il le miroir ? Pour des vitesses 171 du miroir faibles devant la vitesse de la lumière les lois de Descartes pour la réflexion restent valables, en particulier l'onde est réfléchie avec un angle --9 (voir figure 6). Position du miroir à l'instant t1 Àd/, A2 / / Position du miroir à l'instant t2 Front d'onde 2 Front d'onde 1 \\\\\\\\\\\\\\\\ Figure 6: Réflexion d'une onde sur un miroir en mouvement. 30. Après réflexion, quelle est la distance d' entre le front d'onde 1 et le front d'onde 2 ? On exprimera le résultat en fonction de d, c, 17 L et EUR. 31. En considérant que la distance d entre les points A1 et A2, avant réflexion, est égale à la longueur d'onde À, donner la nouvelle longueur d'onde du faisceau après réflexion. 32. Montrer qu'au premier ordre en vl/c, la pulsation of du faisceau réfléchi est : UJ_ cos9) w'=wg(1+2 c On pourra utiliser ce résultat dans la suite. 33. Comment appelle--t--on ce phénomène ? Citer un exemple de la vie quotidienne où l'on observe cet effet. Citer un exemple scientifique ou de la vie quotidienne où cet effet est utilisé dans une mesure. On considère le dispositif de la figure 7. Un faisceau laser, assimilé à une onde plane, est divisé en deux par une lame semi--réfléchissante qui laisse passer la moitié de l'intensité lumineuse et réfléchit l'autre moitié. Les deux ondes ainsi créées se propagent en sens inverse sur le trajet carré formé par les trois miroirs M 1, M2, M3. Après un tour complet chacune des deux ondes est a nouveau divisée par la lame séparatrice. L'intensité repartant vers le laser est perdue, celle ressortant par l'autre voie est détectée par un photodétecteur. L'ensemble du dispositif (laser, miroirs, lame semi--réfléchissante et photodétecteur) est animé d'un mouvement de rotation par rapport a un référentiel Galiléen R. Cette rotation se fait a vitesse angulaire Q constante autour de l'axe Oz perpendiculaire au plan de la figure, 0 étant le centre du carré formé par les miroirs et la lame séparatrice. On note a le côté de ce carré. 34. Lorsque le dispositif est immobile (Q = 0 et vitesse de translation nulle), relier l'intensité reçue par le photodétecteur à l'intensité 10 émise par le laser. Gyromètre Faisceau A ®> Q trigonométrique

Faisceau
anti--trigonométrique

WL
: Laser

2 M1
33 Lame semi--
réfléchissante

Photodétecteur -

Figure 7: Gyromètre laser.

Dans le reste du problème on se placera exclusivement dans le référentiel du 
laboratoire

supposé Galiléen. On supposera les vitesses des divers éléments optiques très 
faibles devant

la vitesse de la lumière. Dans cette approximation, dans le référentiel du 
laboratoire, l'onde

arrivant sur la séparatrice est une onde plane dont la pulsation sera notée wL.

35.

36.

37.

38.

Lorsque le dispositif est en rotation seule (Q # 0 et vitesse de translation 
nulle), au
niveau de quels éléments optiques (miroir M1, M2, M3 et lame 
semi--réfléchissante) se

produit l'effet de la question 33 ?

Toujours lorsque le dispositif est en rotation seule, quelles sont les 
pulsations ca,: de
l'onde se propageant dans le sens trigonométrique et wa de l'onde se propageant 
dans

le sens anti--trigonométrique ?

En considérant qu'en première approximation la lumière décrit le même trajet 
carré
que lorsque l'interféromètre est au repos, quel est le déphasage 90,5 (resp. 
(aa) acquis par
l'onde se propageant dans le sens trigonométrique (resp. anti--trigonométrique) 
depuis
son premier passage par la lame semi--réfléchissante jusqu'à son second après 
un tour

complet ? En déduire la différence de phase 90,5 -- (06, entre les deux ondes.

Justifier qu'après recombinaison sur la lame, les deux ondes ressortant vers le 
pho--
todétecteur possèdent la même pulsation. En déduire, grâce a la question 
précédente,
l'intensité lumineuse arrivant sur le photodétecteur, en fonction de Q, &, [g, 
et de la

longueur d'onde À du laser.

10

39.

40.

41.

Lors d'une translation seule du gyromètre (Q = 0 et vitesse de translation non 
nulle),
expliquer pourquoi l'intensité lumineuse arrivant sur le photode'teoteur est la 
même que
dans le cas de la question 34, et donc que le gyromètre est insensible aux 
translations

(on pourra prendre l'exemple d'une translation selon l'axe ë'oe).

Fibre optique

î < : Laser | Lame semi--réfléchissante - Photodéte0teur Figure 8: Gyromètre laser a fibre optique. Dans les dispositifs réels de gyromètre laser, l'anneau carré constitué par les miroirs est remplacé par une fibre optique de plusieurs centaines de mètres enroulée sur elle--même. Expliquer l'avantage de l'utilisation d'une longue fibre optique par rapport aux miroirs. On pourra s'appuyer sur l'expressions de la différence de phase obtenu question 37 en l'adaptant au système a fibre optique. Quelle différence de phase entre les ondes trigonométrique et anti--trigonométrique obtient--on dans le cas d'un gyromètre a fibre optique dont la fibre fait 1 km de long enroulée sur un cylindre de 10 cm de rayon, tournant a la vitesse angulaire de 1 rad - s--1 et utilisant un laser de longueur d'onde 800 nm ? 11