X/ENS Physique MP 2018

ÉCOLE POLYTECHNIQUE ­ ÉCOLES NORMALES SUPÉRIEURES

FILIÈRE MP

CONCOURS D'ADMISSION 2018

COMPOSITION DE PHYSIQUE (XULCR)
(Durée : 4 heures)
L'utilisation de calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.
Les résultats des applications numériques seront donnés avec un chiffre 
significatif.

Étude du dispositif de propulsion du lanceur A RIANE 5

5

V ULCAIN est le nom du moteur qui assure la propulsion de l'étage principal des 
lanceurs européens A RIANE
5 1 . La réaction exothermique du dihydrogène et du dioxygène 2 , dans une 
chambre de combustion, produit de la
vapeur d'eau à hautes température et pression qui s'évacue à grande vitesse à 
travers une tuyère. C'est l'éjection
de ce gaz de combustion qui génère la poussée participant à propulsion de la 
fusée.
Une tuyère est un conduit qui permet de convertir, dans les meilleures 
conditions, l'énergie produite par la combustion en force propulsive. La figure 
(1) représente trois types de tuyère : divergente ; convergente ; 
convergentedivergente, connue sous le nom de tuyère de L AVAL.
2H2+O2
Chambre de
combustion
P0
T0

Vapeur
0

2H2O

x

0

x

(a)

0

(b)

x
(c)

F IGURE 1 ­ Chambre de combustion débouchant sur une tuyère pouvant présenter 
trois géométries : (a) divergente ; (b) convergente ; (c) 
convergente-divergente (tuyère de L AVAL).

10

Pour la première phase de vol, le propulseur V ULCAIN est assisté de deux 
puissants réacteurs à poudre qui
fournissent la majeure partie de la poussée nécessaire au décollage.
 Cadre (très simplifié) de l'étude du système de propulsion du moteur V ULCAIN :
· Tous les gaz sont parfaits.
· Dans la tuyère, l'écoulement du gaz est unidirectionnel (selon l'axe Ox) et 
unidimensionnel (les grandeurs
sont uniformes sur toute section droite).

15

· L'évolution du gaz le long de la tuyère est adiabatique et réversible. 
L'écoulement est stationnaire.
· La gravité est négligée dans l'étude de la tuyère.

1. Ces lanceurs sont utilisés pour le transport et la mise sur orbite de 
satellites.
2. Ces carburant et comburant sont stockés, sous leur état liquide, chacun dans 
un réservoir.

­ Page 1/7 ­

 Grandeurs, définitions, notations et données utilisées dans cette étude :
· La variable x représente l'abscisse le long de la tuyère. L'origine est 
choisie en sortie de la chambre de
combustion, ce qui correspond également à l'entrée de la tuyère.
20

· Les grandeurs physiques, à l'abscisse x : la pression P(x) ; la température T 
(x) ; la masse volumique (x) ;
la vitesse v(x) ; la célérité du son c(x) ; le nombre de M ACH M(x)  v(x)/c(x) 
; l'aire A(x) de la section de
la tuyère.
· Pour x = 0, ces grandeurs portent l'indice "0".
· Les pression et température dans la chambre de combustion : P0 = 110 × 105 
Pa, T0 = 3 500 K.

25

· La constante spécifique de la vapeur d'eau : r  R/M H2 O = 462 J · K-1 · kg-1 
, où R est la constante des gaz
parfaits et M H2 O est la masse molaire de l'eau.
· Le rapport des capacités calorifiques (CP /CV ) pour la vapeur d'eau :  = 1,3 
(supposé constant).
· Les diamètre et section d'entrée de la tuyère : d0 = 0,5 m , A0  0,196 m2 .
· La masse de gaz de combustion produit par unité de temps : D = 250 kg · s-1 . 
Ce débit est supposé constant.

30

· La masse initiale de l'ensemble de la fusée (avec carburants et comburants) : 
mF0 = 800 × 103 kg.
· La différentielle d f désigne l'accroissement infinitésimal de la fonction f 
entre les abscisses x et x + dx.
· Nous appelons différentielle logarithmique d'une fonction f , la grandeur :
df
= d(ln( f / f0 )) ( f / f0  R+ )
f

(1)

En particulier, appliquée à un produit de deux fonctions de la forme P = f  g , 
elle s`écrit :
dP
df
dg
=  +
P
f
g

(2)

· Le symbole "" spécifie une égalité introduisant et définissant une grandeur.
1 Analyse préliminaire.
1. Nous notons~vs = vs~ex la vitesse du gaz en sortie de tuyère, par rapport à 
la fusée. La force ~F, dite de poussée,
ressentie par la fusée, s'exprime :
~F = -D vs~ex

(3)

Proposer une brève argumentation en faveur de cette expression.
35

40

2. En précisant les éventuelles hypothèses introduites, exprimer la vitesse 
quadratique moyenne h~v 2 i de la
vapeur d'eau dans la chambre de combustion. On fera apparaître la constante 
spécifique r.
3. Exprimer la poussée (notée Fth ) qui serait fournie, directement en sortie 
de chambre (en absence de tuyère),
si elle était la conséquence de la conversion idéalisée de l'énergie produite 
par la combustion. On considé1/2
rera alors que le gaz, à la température T0 , traverse la section A0 à la 
vitesse vth  h~v 2 i . On exprimera ce
résultat en fonction de P0 et A0 .
4. Calculer sa valeur. Commenter ce résultat.
5. Exprimer, en fonction de , r et T , le rapport dP/d que nous noterons c2 . 
La grandeur c est identifiée à la
célérité des ondes sonores (en évolution adiabatique réversible) dans le gaz. 
Dans la suite, nous appellerons
nombre de M ACH le rapport M  v/c.

45

6. Nous considérons dorénavant le mode de fonctionnement non idéalisé du 
propulseur. Exprimer la vitesse
v0 du gaz à l'entrée de la tuyère en fonction de P0 , T0 , D, A0 et r. Calculer 
sa valeur.
7. Calculer la valeur du nombre de M ACH M0 à l'entrée de la tuyère. En déduire 
la nature subsonique (M0 < 1) ou supersonique (M0 > 1) de l'écoulement gazeux. Le calcul donne c0  1 450 m · 
s-1 .

­ Page 2/7 ­

2 Relation de H UGONIOT.
50

En vue d'étudier les performances de la tuyère, nous allons tout d'abord 
établir une relation entre les différentielles dA et dv, paramétrée par le 
nombre de M ACH M.
Nous admettons que les différentielles de la vitesse et de la pression sont 
reliées par l'égalité, issue du principe
fondamental de la dynamique :
(4)

 vdv = -dP
8. Justifier que le produit vA est uniforme le long de la tuyère.

9. Exprimer la différentielle logarithmique du produit vA. En y faisant 
apparaître c2 et intervenir la relation
(4), établir l'égalité, connue sous le nom de relation de H UGONIOT :
 dv
dA ! 2
= M -1
A
v

(5)

55

10. L'expression de la poussée donnée par la relation (3) révèle que, pour un 
débit D fixé, cette force est d'autant
plus grande que la vitesse d'éjection des gaz est élévée. En considérant que M0 
< 1, indiquer quelle(s) tuyère(s) répresentée(s) figure (1) ne présente(nt) pas la géométrie adaptée. 60 11. Dans le cas d'une tuyère convergente-divergente (et toujours pour M0 < 1), donner l'allure des deux évolutions envisageables de la vitesse le long de la tuyère. On raisonnera à partir de l'évolution du signe de dA le long d'une telle tuyère. En déduire la condition assurant la croissance monotone de la vitesse depuis son entrée jusqu'à sa sortie. La tuyère est alors dite amorcée. C'est dans cette situation que nous chercherons à la faire fonctionner. 12. Une tuyère divergente équipe pourtant certains propulseurs d'avions de chasse. Préciser leur condition de fonctionnement. 3 Dépendance des grandeurs avec le nombre de M ACH. 65 La relation de H UGONIOT n'est pas immédiatement exploitable car le nombre de M ACH dépend de la vitesse v(x) mais également de la température T (x), à travers la célérité du son c(x). Nous allons d'abord établir une relation différentielle liant les seules variables A et M. 13. Exprimer dM/M en fonction de dv/v et dT /T . 70 14. En traduisant la propriété d'adiabaticité et de réversibilité de l'évolution, et en utilisant la relation (4), exprimer dv/v en fonction de dT /T , M et . 15. Enfin, en faisant disparaître v au profit de M dans l'équation (5), établir la relation cherchée : M 2 - 1 dM dA = A 1 +  M2 M (6) où  est une constante positive que l'on explicitera. · En vue d'intégrer cette équation différentielle à variables séparées, décomposons d'abord la fonction g définie 1 dA par g(M) = en éléments simples. Écrivons-là : A dM g(M) = C1 C2 +C3 M M2 - 1 = + 2 M (1 +  M ) M 1 +  M2 (7) 16. Déterminer les constantes C1 , C2 et C3 . 17. Intégrer l'équation différentielle (6). Nous écrirons sa solution sous la forme A f (M) = Cste en choisissant f (M) M0 f telle que - 1. Nous poserons  = (1 + )/(2). M ­ Page 3/7 ­ 75 18. Justifier que la fonction f admet un extremum. Le situer sur l'axe des abscisses. Ces résultats peuvent s'obtenir avec un minimum de calculs. 19. En déduire l'allure graphique de la fonction A = A(M). On marquera d'une étoile le point (M0 , A0 ). 80 20. Pour des conditions d'entrée fixées (P0 , T0 , A0 , D) (avec toujours M0 < 1), décrire les parcours possibles du point (M, A) sur ce tracé lorsque le gaz progresse de l'entrée à la sortie de la tuyère (convergente-divergente), selon l'importance de la restriction de sa section au col. 21. En déduire l'allure de la dépendance de M avec l'abscisse x, pour une tuyère amorcée (M = 1 au col). 22. Sur le même graphe, donner l'allure de cette dépendance pour un nombre de M ACH M0 , à l'entrée de la même tuyère, légèrement inférieur (M0 < M0 < 1). 4 Caractérisation de la situation au col. 85 Nous affectons l'indice "c" aux grandeurs relatives au col de la tuyère. 23. Exprimer le rapport kc0  Ac /A0 pour la tuyère amorcée (Mc = 1), en fonction de ,  et M0 . Commenter ce résultat. 24. On utilisant la figure (2) représentant la dépendance du rapport A/Ac avec M, déterminer la valeur de kc0 puis celle de la section Ac . F IGURE 2 ­ Dépendance du rapport de sections A/Ac avec M. 90 95 5 Adaptation en pression. Pour des paramètres fixés à l'entrée de la tuyère, la relation de H UGONIOT permet d'établir la condition de son amorçage mais elle n'en impose aucune à sa sortie. Nous admettons que le fonctionnement de la tuyère est optimal lorsque la pression à sa sortie est égale à la pression extérieure (absence d'onde de choc, ou de détente). La tuyère est alors dite "adaptée". Nous notons Pe cette pression et la choisissons égale à 105 Pa (situation de la fusée au décollage). La figure (3) illustre les trois régimes de fonctionnement possibles, en sortie de tuyère. Nous affectons l'indice "s" aux grandeurs relatives à la sortie de la tuyère. 25. Proposer une association argumentée de chacun des trois cas illustrés sur la figure (3) au régime sousdétendu (Ps > Pe ), adapté (Ps = Pe ) ou 
sur-détendu (Ps < Pe ) qui lui correspond. ­ Page 4/7 ­ F IGURE 3 ­ Les trois régimes de fonctionnement de la tuyère selon la situation de la pression du gaz à sa sortie, par rapport à la pression extérieure Pe . Le gaz de combustion occupe le domaine grisé. 26. Montrer que la relation différentielle liant dv à dT , établie en réponse à la question (14), conduit à la relation : r dT + v dv = 0 (8) -1 Indiquer la loi de conservation qu'elle traduit. 27. En utilisant le résultat de la question (13), déduire la relation : T (1 + M 2 ) = Cste 100 (9) 28. Établir une relation similaire liant la pression au nombre de M ACH. 29. Exprimer alors Ms 2 à la sortie de la tuyère correspondant à son adaptation à la pression Pe . Donner une forme approchée de cette relation en tenant compte des ordres de grandeur des termes qui y interviennent. 30. Extraire la valeur de Ms de la figure (4) représentant la dépendance de P/P0 avec M. F IGURE 4 ­ Dépendance du rapport P/P0 avec M, en coordonnées semi-logarithmiques. 105 31. Extraire, de la figure (2) représentant la dépendance du rapport A/Ac avec M, la valeur du rapport k sc  As /Ac dans les conditions d'adaptation à la pression Pe . 32. En s'aidant de la figure (5) représentant la dépendance du rapport T /T0 avec M, calculer la force de poussée Fs . Commenter la comparaison de cette force avec le poids de la fusée puis à la force Fth calculée question (3). ­ Page 5/7 ­ F IGURE 5 ­ Dépendance du rapport T /T0 avec M. 110 33. Dans le cas du moteur V ULCAIN, le rapport k sc est choisi égal à 45. Au décollage, le régime est-il alors adapté, sous-détendu ou sur-détendu ? Donner une raison possible de ce choix. 34. Indiquer, par exemple à l'aide d'un schéma, où s'appliquent les efforts qui contribuent à la poussée de la fusée. Préciser la difficulté technique que cela soulève. 35. Parmi toutes les hypothèses adoptées a priori, indiquer, sur la base d'une brève argumentation, celle qui paraît la plus discutable. 115 120 6 Propulseurs d'appoint. Le moteur V ULCAIN n'assure qu'une proportion réduite de la poussée lors de la sortie de l'atmosphère. La fusée A RIANE est flanquée de deux très puissants propulseurs latéraux (ou boosters). Les carburant et comburant sont mélangés en proportion stoechiométrique et forment, avec un liant, un milieu solide (nommé grain) dont la combustion produit le gaz de propulsion. Le grain, de forme générale cylindrique, comporte, sur toute la hauteur du booster, un canal de forme appropriée, qui tient lieu de chambre de combustion. La réaction chimique est initiée par une dispositif d'allumage (en haut du booster). Après une phase transitoire de propagation, la combustion s'effectue uniformément sur la surface du canal. Le gaz produit s'échappe à la base du booster qui se termine par une tuyère, tout comme le moteur V ULCAIN. La figure (6) présente trois géométries de canal. F IGURE 6 ­ Différentes géométries du canal dans un booster : a) canal plan, b) canal cylindrique et c) canal annulaire. 125 Nous notons H la hauteur du booster, R0 son rayon, µ la masse volumique du mélange réactif solide, Q = Q(t) le débit de masse de gaz éjecté. Nous considérons que la vitesse u du front de combustion (interface de combustion ­ Page 6/7 ­ où s'effectue la transformation du grain en gaz) est constante. Nous négligeons la présence du liant (en faible proportion) dans le composé réactif solide. 36. Sans calcul, tracer l'allure de la dépendance temporelle du débit Q pour les boosters (a) et (b). On veillera à attribuer à chacun des ces tracés la courbure qui lui correspond. 130 37. Le booster (c) est percé d'un canal annulaire de rayons initiaux R0 /2 et R0 /2 + e0 . Exprimer le débit Q(t) en fonction des paramètres du booster. Nous considérerons que e0  R0 . 38. Tracer l'allure de l'évolution de ce débit au cours du temps. 39. Quelle conception semble-t-elle la plus appropriée ? Une argumentation est attendue. 135 40. Le booster (c) présente un inconvénient pratique : la fixation du cylindre central aux parois du booster est fragile et peut céder au cours du vol. Proposer une géométrie de canal, inspirée des configurations (a) et (b), qui présente l'avantage de la conception (c) sans son inconvénient de fragilité. 140 41. La figure (7) représente l'évolution de la vitesse du lanceur A RIANE 5 sur le début de son vol. Le point repéré par une étoile situe l'extinction des boosters. Sur la première phase (t [0,t  ]), la masse du lanceur s'est réduite de 800 à 250 tonnes. Sur cette phase, sa trajectoire est quasi-verticale. Quelques secondes après leur extinction, les boosters sont largués, ce qui déleste la fusée d'encore 76 tonnes. Interpréter cette évolution. Estimer la poussée au décollage. La comparer à la participation du moteur V ULCAIN calculée en question (32). On indiquera le poucentage de contribution du moteur V ULCAIN à la poussée totale (au décollage). F IGURE 7 ­ Évolution de la vitesse du lanceur A RIANE 5, en fonction du temps, sur les 200 premières secondes de son vol. Le point repéré par une étoile, à la cassure du tracé, correspond au temps t   110 s. 145 ­ Page 7/7 ­