X/ENS Physique MP 2023

ECOLE POLYTECHNIQUE
ECOLES NORMALES SUPERIEURES

CONCOURS D'ADMISSION 2023

MERCREDI 19 AVRIL 2023
08h00 - 12h00

FILIERE MP - Epreuve n°5

PHYSIQUE (XULSR)

Durée : 4 heures

L'utilisation des calculatrices n'est pas
autorisée pour cette épreuve

L'épreuve est composée de deux problèmes indépendants. On se contentera de 
réponses courtes,
sauf lorsque l'énoncé demande d'expliquer, d'interpréter, ou de commenter.

I -- Fusion thermonucléaire au coeur du Soleil

L'énergie rayonnée par le Soleil est issue des réactions nucléaires de fusion 
qui se produisent
en son centre. Leur étude est l'objet de cette partie.

1. Le Soleil est constitué en majorité d'hydrogène et d'hélium. L'intérieur du 
Soleil est si chaud
que les atomes sont entièrement ionisés. Comment appelle-t-on cet état de la 
matière ?

2. La fusion nucléaire est un processus dans lequel deux noyaux légers se 
rapprochent suffisam-
ment pour fusionner l'un avec l'autre. La répulsion électrostatique rendrait ce 
rapprochement
impossible en l'absence d'un phénomène de physique quantique, qui leur permet 
de franchir la
barrière de potentiel. De quel effet s'agit-il ?

3. Nous étudions d'abord le cas simple, à une dimension, de l'état stationnaire 
d'énergie E d'une
particule quantique de masse m, qui rencontre une marche de potentiel. 
L'énergie potentielle
vaut 0 pour x < 0 et V pour x > 0, avec V > ÆE. On note Y(x) la partie spatiale 
de la fonction
d'onde de la particule dans son état stationnaire. Déterminer l'expression de 
#(x)/1#(0) pour

x > 0. On notera t(x) = (x)/1W#(0).

4. On considère maintenant une barrière de potentiel de hauteur V et de 
longueur L : l'énergie
potentielle est nulle pour x < 0 et x > L, et vaut V pour 0 < x < L, toujours avec V > E. On
admet que si le coefficient de transmission de la barrière, qu'on notera O(E), 
est très faible, son
expression est approximativement donnée par @(E) = [t(L)|", où {(x) est la 
fonction déterminée
à la question précédente. Préciser, en fonction des données du problème, 
comment se traduit
mathématiquement la condition O(E) & 1. Rappeler la définition du coefficient 
de transmission
pour ce processus. Expliquer, sans calcul, pourquoi l'expression proposée n'est 
qu'approximative.

On considère maintenant le cas où l'énergie potentielle V(x) dépend de x de 
manière continue.
On suppose qu'elle vérifie toujours V(x) > E pour 0 < x < Let V(x) < E pour x < 0 et pour x > L, de telle sorte que la barrière de potentiel à une longueur L. On 
admet que
le coefficient de transmission s'obtient approximativement en effectuant, dans 
le résultat de la
question précédente, la substitution suivante :

L
(V - E) "PL -- | (V(x) -- E)//? dx. (1)

5. Nous allons appliquer ce résultat au cas où x désigne la distance relative 
entre deux protons
se déplaçant sur un même axe, et V(x) l'énergie potentielle de leur interaction 
électrostatique.
Rappeler l'expression de V(x) et tracer l'allure de sa variation en fonction de 
x pour x > 0. On
notera e la charge électrique élémentaire.

6. Les protons sont initialement à grande distance l'un de l'autre. Æ est 
l'énergie cinétique de
leur mouvement relatif, dont nous déterminerons l'expression plus loin. La 
fusion nucléaire a lieu
lorsque les protons se trouvent au même point, soit x = 0. Exprimer la longueur 
L de la barrière
de potentiel qu'ils doivent franchir pour que la fusion ait lieu, en fonction 
de FE et des constantes
fondamentales.

7. Calculer le coefficient de transmission @(E) en le mettant sous la forme 
O(E) --
EXP (-(Ec/E)"?). On donne l'intégrale

[ CR (2)

Donner l'expression de EG, dite énergie de Gamow, en fonction de la masse m de 
la particule et
des constantes fondamentales.
8. Représenter la variation de O(E) en fonction de E.

9. On note v et v2 les vitesses des protons, en valeur algébrique, sur l'axe x. 
On note va la
vitesse de leur barycentre et vu = v1 --u2 leur vitesse relative. Exprimer la 
somme de leurs énergies
cinétiques en fonction de va, v, et de la masse du proton m,. Montrer que 
l'énergie cinétique Æ
associée au mouvement relatif est l'énergie d'une particule fictive de masse u 
dont on donnera
l'expression en fonction de m.

On admet dans la suite que la masse m intervenant dans l'énergie de Gamow est 
en fait la
masse u qui vient d'être introduite.

10. Les deux protons considérés précédemment sont supposés appartenir à un gaz 
de protons que
l'on modélise par un gaz parfait unidimensionnel à la température T'. On note 
P(vi,v2) dui dus
la probabilité élémentaire pour deux protons d'avoir des vitesses v1 et vo à du 
et du près.
Expliciter la dépendance de P(vi,v2) en fonction de vi et va. On ne cherchera 
pas à déterminer
la constante de normalisation, et on notera kg la constante de Boltzmann.

11. On note P*(va,v) duc du la probabilité élémentaire que la vitesse du centre 
de masse soit
va à duc près, et que la vitesse relative soit v à du près. Montrer que 
P*(va,v) peut se mettre
sous la forme PG(va)P*{v). Expliciter les expressions de P&(va) et de P*(v) aux 
constantes de
normalisation près. Commenter la forme de P*{v).

12. On note p(E)dE la probabilité que l'énergie cinétique relative vaille Æ à 
dE près. Par un
changement de variables de v à Æ, donner l'expression de p(ÆE) en fonction de E 
à une constante
multiplicative près

13. On note l'(E)dE le nombre de réactions nucléaires de fusion par unité de 
temps, pour une
énergie relative valant Æ à dE près. On postule que F(E) est proportionnel à 
vp(E)O(E).
Comment interprétez-vous cette modélisation ?

14. En utilisant les résultats obtenus précédemment, exprimer l'(Æ) en fonction 
de E. On écrira
le résultat sous la forme l'(E) = K'exp(---@(ÆE)), où K ne dépend pas de E, et 
on exprimera
(E) en fonction de E, Ec et kBT.

15. Étudier la variation de O(E). Montrer que l'(E) possède un maximum pour une 
valeur de E
qu'on notera Æ9 et qu'on exprimera en fonction de EG et kBT.

16. Situer l'énergie ÆQ par rapport à EG et kBT dans la limite où EG > kBT. 
Dans le cas de
la fusion entre deux protons au coeur du Soleil, les valeurs numériques sont EG 
+ 500 keV et
kBT = 1,5 keV. Déterminer l'ordre de grandeur de Fo.

17. Déterminer l'expression littérale de @(Æ0) en fonction de EG et kBT, puis 
calculer son ordre
de grandeur avec les valeurs numériques données plus haut.

18. Tracer l'allure de l'(ÆE). Quelle est la particularité de la variation de 
F(E) avec E dans la
limite où Ec > kgT ?

19. Généraliser les résultats obtenus au cas de la fusion de deux noyaux de 
numéros atomiques
ZA et 22, de masses m1 et m2 quelconques. Déterminer en particulier comment la 
valeur de y et
l'énergie de Gamow, EG, sont modifiées.

20. Le taux d'une réaction nucléaire de fusion est défini comme le nombre de 
réactions de fusion
par unité de volume et de temps, divisé par le produit des densités volumiques 
des deux noyaux
impliqués dans le processus de fusion. Aïnsi défini, le taux de réaction est 
indépendant des
densités, et ne dépend que de la température. Une modélisation en trois 
dimensions, plus réaliste
que celle développée jusqu'alors, donne un taux de réaction de la forme a; T 
2/3 exp (--(0; /T)" 3),
où a; et b; sont des constantes qui dépendent de la réaction de fusion étudiée. 
La table ci-après
donne les valeurs de ces constantes pour diverses réactions. b; et T' sont en 
unités de 10° K
(milliards de Kelvin), et les unités des coefficients a; sont telles que les 
taux de réaction soient
en m°s_!mol !. On désigne le proton par p, le neutron (dont la masse est très 
proche de celle

du proton) par n. Les symboles D, *He et *He désignent les noyaux des atomes 
correspondants
(D = deutérium = *H), + désigne le photon, e* le positon (électron chargé 
positivement) et 14
le neutrino.

réaction Valeur de a; Valeur de b; (10°K)
p+p -- D+et+ ai = 4,08 x 10 21 | b, = 38,65
p+D -- 'He+- ao = 1.81 X 10% | bo = 51,52
°He+°He -- *He+p+p | az = 5,59 x 10* b3 = 1828

Montrer que la modélisation développée précédemment permet de prédire certaines 
relations
entre les quantités b1, b2 et b3. Vérifier ces prédictions à l'aide 
d'applications numériques.

IT -- Rendement énergétique d'une machine thermique à sa puissance maximale

Lorsqu'une machine thermique cyclique fournit du travail en échangeant de la 
chaleur avec
une source chaude et une source froide, de températures respectives T1 et T2, 
le rendement
maximal de Carnot n'est approché qu'à la limite des processus réversibles. Mais 
ceux-ci sont trop
lents pour produire une puissance mécanique appréciable. À l'inverse, les 
processus très rapides
sont fortement irréversibles, et leurs rendements sont si bas qu'on ne peut 
guère en extraire de
travail mécanique. Un compromis est nécessaire si on souhaite rendre maximale 
la puissance de la
machine. Nous allons étudier cette optimisation dans le cadre de deux 
modélisations simples, dont
la première a été introduite indépendamment par les physiciens Jacques Yvon et 
I. I. Novikov
au milieu des années 1950, dans le contexte de l'industrie électronucléaire 
naissante.

21. On note Q l'énergie fournie par la source chaude au cours d'un cycle de 
cette machine
ditherme, et W le travail qu'on peut en extraire. Définir le rendement 7 d'une 
telle machine.

22. Déterminer l'expression du travail maximum W,4+ qu'on peut extraire de la 
machine pendant
un cycle en fonction de @Q, T' et T5, et l'expression du rendement maximal 
correspondant, qu'on
notera 70.

Premier modèle : transfert thermique

23. Nous considérons une machine dans laquelle l'énergie est produite par une 
source solide
à la température T1. Cette énergie est transmise à un fluide caloporteur de 
température T3,
avec T3 < Ti, qui circule en contact avec la source solide. On suppose T5 et T3 uniformes et indépendantes du temps. On note Q l'énergie fournie par la source solide au fluide caloporteur pendant la durée 7 d'un cycle. Donner l'expression de Q en fonction de 7, T5 et T3 et de la conductance thermique G+n de l'interface, supposée fixée. 24. Le fluide caloporteur constitue la source chaude d'une machine thermique ditherme dont la source froide est à la température T2. Il restitue à cette machine thermique l'énergie Q fournie par la source solide. On suppose par ailleurs que cette machine thermique fonctionne à son rendement maximal. En déduire la dépendance du travail W qu'elle fournit en fonction de 7, T3, Ti, T5 et Gth 25. 'Tracer l'allure de la variation de la puissance extraite en fonction de T3 pour T3 et Tà fixés. 26. Tracer l'allure de la variation du rendement 7 en fonction de 73 pour T5 et T2 fixés. Que vaut la puissance extraite lorsque le rendement est maximal ? Commenter ce résultat. 27. Déterminer la valeur de T3 qui maximise la puissance extraite de la machine thermique pour T\ et T2 fixés. On exprimera cette valeur optimale de T3 en fonction de T3 et T5. 28. On note 71 la valeur du rendement correspondant à cette valeur de T3. Exprimer 71 en fonction de T7 et T2. 29. Exprimer 71 en fonction de 70, déterminé à la question 22, et représenter sa variation. Comment cette expression se simplifie-t-elle dans la limite où 70 & 1 ? Deuxième modèle : création d'entropie 30. On revient au cas général d'une machine thermique cyclique ditherme dont les sources chaude et froide ont les températures respectives Ti et T2. On note toujours Q l'énergie fournie par la source chaude pendant la durée 7 d'un cycle. On suppose maintenant qu'une entropie S4 -- Z/T est créée au cours du cycle, où Y est un coefficient indépendant de 7. Commenter cette modélisation. Quel est le signe de » ? 31. Déterminer le travail W fourni pendant un cycle en fonction de Q, T5, D, 5 etr. 32. Montrer que pour Q fixé, la puissance est maximale pour une valeur de 7 qu'on déterminera, et qu'on notera T2. 33. Calculer le rendement de la machine thermique lorsque la puissance est maximale. On le notera 772. Discussion 34. Comparer les valeurs des rendements à puissance maximale prédites par ces deux modèles. Dans quelle limite ces prédictions coïncident-elles ? Cette limite correspond-elle à une irréversi- bilité forte ou faible ? 35. Dans le cadre du premier modèle, déterminer l'expression de l'entropie créée au cours d'un cycle en fonction de Q, G+n, T et T1. Montrer qu'elle est proportionnelle à 1/7 dans une limite qu'on précisera. Commenter ce résultat. 36. Le coût d'une centrale thermique provient d'une part du combustible produisant l'énergie, d'autre part de la construction de la centrale et de son fonctionnement. On considère une situation où l'un de ces deux coûts est très supérieur à l'autre. D'un point de vue économique, dans quel cas a-t-on intérêt à optimiser le rendement, et dans quel cas a-t-on intérêt à maximiser la puissance ? 37. Le réacteur Sizewell B est le plus grand réacteur nucléaire à eau pressurisée construit au Royaume-Uni, qui couvre environ 3% des besoins d'électricité du pays. Les températures des sources chaudes et froides pour ce réacteur sont T1 = 581 K et T2 -- 288 K. Son rendement est n = 0,36. Commenter cette valeur à la lumière des résultats obtenus dans ce problème. * * *