X/ENS Physique MP 2024

ECOLE POLYTECHNIQUE
ECOLES NORMALES SUPERIEURES

CONCOURS D'ADMISSION 2024

MERCREDI 17 AVRIL 2024
08h00 - 12h00

FILIERE MP - Epreuve n°5

PHYSIQUE (XULSR)

Durée : 4 heures

L'utilisation des calculatrices n'est pas
autorisée pour cette épreuve

kxkx DÉBUT DU SUJET xxx

Différents aspects du champ électromagnétique :
du classique au quantique

Le champ électromagnétique est à l'origine de nombreux phénomènes physiques, de 
la structure du
proton aux amas de galaxies, dont certains sont connus depuis l' Antiquité. 
Pourtant, il faut attendre le
XIX°e siècle pour voir émerger les théories électrostatique et magnétostatique, 
grâce aux contributions
de COULOMB, GAUSS, AMPÈRE, BIOT, etc. Suivent la compréhension des phénomènes 
non-statiques
comme l'induction et la propagation des ondes électromagnétiques. Tous ces 
travaux forment la théorie
classique de l'électromagnétisme, qui culmine en 1864 avec la formulation des 
équations de MAXWELL.
Cependant, cette théorie échoue à prévoir certaines observations expérimentales 
comme le spectre
du corps noir, l'effet photoélectrique ou encore l'effet CoMPTON. Le début du 
XX°EUR siècle voit ces
différents problèmes résolus grâce à Max PLANCK et sa théorie des quanta, ainsi 
qu'à Albert EINSTEIN
et son interprétation en < grains de lumière > du champ électromagnétique, 
supposé continu jusqu'ici.
Ces grains seront appelés plus tard < photons > par Gilbert LEWIS (1926), et 
sont à la base d'une
nouvelle interprétation du champ électromagnétique : l'interprétation 
corpusculaire.

Depuis maintenant plus d'un siècle, la correspondance entre les approches 
classique et quantique à
été démontrée, et les notions de photon et d'onde électromagnétique sont 
aujourd'hui réunies au sein du
concept de dualité onde-corpuscule. L'aspect ondulatoire est exploité dans 
d'innombrables applications
notamment en télécommunications, et l'aspect corpusculaire continue de fasciner 
les physiciens, avec
des prix Nobel récents liés au comportement purement quantique des photons ($S. 
HAROCHE 2012, A.
ASPECT 2022).

Ce sujet propose l'étude de différents aspects - classique et quantique - du 
champ électromagnétique.
La première partie dresse une analogie mécanique du champ classique, et établit 
l'existence d'une
quantité de mouvement et d'un moment cinétique qui lui sont associés. Nous 
étudions dans un second
temps le rayonnement du corps noir, et les étapes historiques qui ont conduit à 
introduire la notion
de photon. Enfin, nous adoptons un point de vue purement corpusculaire et 
étudions la statistique
d'émission des photons par différentes sources de lumière.

> Les trois parties constituant ce sujet sont indépendantes et peuvent être 
traitées séparément. Le
sujet comporte 15 pages.

> Les applications numériques seront effectuées avec la précision qu'un calcul 
à la main permet
aisément, et (sauf mention contraire) sans excéder deux chiffres significatifs. 
Les ordres de gran-
deur seront donnés avec un seul chiffre significatif. Les données numériques 
ont été choisies pour
faciliter les calculs.

> Les références des questions abordées devront être indiquées de façon claire.

Notations, formulaire et données numériques

Constantes fondamentales et données numériques : les valeurs numériques sont 
données avec
deux chiffres significatifs et sous forme approchées pour faciliter les 
applications numériques.

e Célérité de la lumière : c © 3,0 x 10° m.s_!

Charge élémentaire : e = 1,6 x 10 1 C

Constante de PLANCK : h © 6,6 x 10% J.s
Constante de BOLTZMANN : kB © 1,4 x 10 J.K-{
he = 1,2eV.um

-- Page 1/13 -
Formulaire :

e Espérance E, variance V et écart-type AX d'une variable aléatoire X dont les 
valeurs discrètes
{Xn}nen suivent une loi de probabilité P :

E(X) = SX P(X = X,) ; V(X)=E(X))-E(X) ; AX = V/V(X).

n=Û0
e Caractéristiques d'une loi binomiale de paramètres N et p :

N

Loi de probabilité : P(X = n) --
n

pa --p}""
Espérance et variance : E(X)=Np ; V(X)= Np(l-p)

e Développement limité : (1 + x)" = 1 + ax +o(x).

I Champ électromagnétique classique et grandeurs mécaniques as-
sociées

Nous étudions dans cette partie quelques grandeurs mécaniques associées au 
champ électromagné-
tique, notamment sa quantité de mouvement. Soit (E (Mt), B(M,t)) le champ 
électromagnétique en
un point M quelconque de l'espace, muni d'un repère orthonormé cartésien 
(Oxyz). On définit les
densités volumiques de quantité de mouvement ÿem(M,t) et de moment cinétique 
EUR em(M,t) par

Can) = | | | DM dV et  Len(t) = | | [l LM DAV | (1)

--
où Gem(t) est la quantité de mouvement du champ électromagnétique à l'instant { 
et Lem(t) son
moment cinétique au même instant. Les intégrales portent sur tout l'espace EUR 
et dV est l'élément
infinitésimal de volume.

La densité de quantité de mouvement du champ électromagnétique s'écrit T'em(M 
t) = 6 Ë A B
et la densité de moment cinétique par rapport au point O, EUR em(M,t) = OM A 
T'em(M t).

1. Rappeler l'expression du vecteur de POYNTING, noté TÉ(M ,t). Donner sa 
dimension et son unité
courante.

--
2. Exprimer gem(M,t) en fonction de (M ,t). Donner la dimension de ÿem et Uem; 
et vérifier

-- 0 \ \ Q '
que em EURt Lem Sont respectivement homogènes à une quantité de mouvement et un 
moment
cinétique.

Dans la suite, l'étude porte sur un système montrant l'existence d'une quantité 
de mouvement Ce
du champ électromagnétique.

On considère un solénoïde d'axe (Oz) (représenté figure 1), comportant N 
spires, de rayon b et
de longueur Z suffisamment grande pour négliger les effets de bords aux 
extrémités de celui-ci. Le
solénoïde est parcouru par un courant i(t), a priori variable dans le temps. La 
dépendance temporelle
du courant ? n'est pas connue mais on considère que le courant 2 est égal à une 
constante 0 pour
t < 0, et décroît à partir de l'instant { = 0 sur une durée caractéristique 7. On considérera par la suite que i(t > T) = 0. L'approximation des régimes quasi-stationnaires est supposée 
applicable. Un point
M de l'espace est repéré par ses coordonnées cylindriques (r, 0,2) dans le 
repère mobile (EUR, eg, e,). O
est le centre du solénoïde. On note V1 le volume à l'intérieur du solénoïde.

-- Page 2/13 -
EN
Y

nn
LL

FIGURE 1 -- Schéma du solénoïde.

3. Déterminer l'expression du champ magnétique Ba(M .t) produit à l'intérieur 
et à l'extérieur
du solénoïde, et pour chacune des phases temporelles : £ < 0, t EUR [0,7] et t > Tr. On justifiera les
éventuelles approximations et on précisera si le champ magnétique est homogène 
à l'intérieur et
à l'extérieur du solénoïde.

4. Exprimer le champ électrique É (M ,t) produit à l'intérieur et à l'extérieur 
du solénoïde et
pour chacune des phases temporelles : & < 0, t EUR [0,7] et t > 7. On 
justifiera les éventuelles
approximations et on précisera si le champ électrique est homogène à 
l'intérieur et à l'extérieur
du solénoiïde.

Pendant la phase t < 0, on positionne une charge ponctuelle q et de masse m dans le plan (Oxy). Cette charge est supposée immobile et initialement en un point extérieur au solénoïde et noté P, de telle sorte que la distance || OP | est très petite devant la longueur L du solénoïde. On choisira OP -- AËy. 5. En supposant que 7 est suffisamment petit pour qu'on puisse négliger le déplacement de la charge ponctuelle pendant l'intervalle [0,7], déterminer l'expression de la vitesse V p pour des instants t > T. On négligera l'influence du poids de la particule devant les forces 
électromagnétiques. On
exprimera le résultat en faisant apparaître les grandeurs caractéristiques de 
la charge, q, m et a,
et celles qui sont caractéristiques du solénoïde, b, L, N et 1.

6. Rappeler sans démonstration l'expression du champ électrostatique en un 
point M de l'espace,
produit par une charge ponctuelle q, située en P.

7. Exprimer Cam (t) en présence de la charge q, de position initiale P, pour 
les phases { < 0 et nn | . | PM 27b°., t > T. On pourra utiliser l'expression de l'intégrale suivante --dV = -- Ex.
Vsot || PM || q

8. À partir d'un bilan de quantité de mouvement, expliquer comment la charge 
ponctuelle est
mise en mouvement. En particulier, la quantité de mouvement de la particule 
est-elle conservée
au cours du temps ? Celle du champ électromagnétique ? Celle de l'ensemble 
{charge + champ
électromagnétique } ?

II Du classique au quantique : le rayonnement du corps noir

Nous nous intéressons dans cette partie aux propriétés du champ 
électromagnétique confiné dans
une enceinte cubique de côté L, assimilée à un corps noir. Lorsque cette 
enceinte est mise au contact
d'un thermostat de température T, on constate qu'elle rayonne un champ 
électromagnétique dont
l'énergie se répartit suivant différentes composantes fréquentielles, appelées 
« modes >, définis par
leurs fréquences et leurs polarisations. La loi de répartition de l'énergie 
influe sur le spectre d'émission
du corps noir et le spectre observé expérimentalement ne peut se comprendre que 
dans le cadre d'un
modèle de rayonnement quantifié.

-- Page 3/13 -
II.A Densité de modes électromagnétiques dans une cavité

Dans un premier temps, on considère un champ électromagnétique piégé entre deux 
parois planes
et infinies, constituées d'un métal que l'on supposera parfait (conductivité y 
infinie) pour faciliter
l'étude. Les deux parois sont positionnées aux abscisses x -- 0 et x -- L et 
sont infinies selon les
directions (Oy) et (Oz). Le champ piégé entre ces deux parois est harmonique 
(monochromatique) de
pulsation w fixée et de la forme : E(M,t) = Ep(x}e"*te,, avec 1? = --1. 
L'espace situé entre les deux
parois infinies est vide de charge et de courant.

Les conditions de passage à une interface entre deux milieux 1 et 2 sont 
rappelées ci-dessous :

Éo -- É1 = Ts | (2)

où T1 0 est la normale à l'interface entre les deux milieux et orientée du 
milieu 1 vers le milieu 2, ©
la densité surfacique de charge de l'interface et EUR0 la permittivité 
diélectrique du vide. Nous rappelons
que le champ électrique dans un métal considéré comme parfait est nul.

9. Donner l'équation à laquelle obéit le champ électromagnétique entre les deux 
parois. En déduire
/ . . / . 7 / (02)
une équation différentielle vérifiée par Eg(x). On note k -- -- la norme du 
vecteur d'onde.
C

10. En précisant les conditions aux limites en x = 0 et x = L sur F0 et en 
expliquant leur ori-
gine, déterminer l'expression de Eo(x). Montrer que les conditions aux limites 
conduisent à une
quantification de la pulsation et déterminer l'expression de cette pulsation 
w,, n EUR N*.

11. Pour un champ électrique dont l'expression serait É(M .t) = Ep(x}e*té,, 
montrer que la condi-
tion obtenue précédemment est la même. En déduire que pour une pulsation w, 
donnée respec-
tant cette condition, il est possible d'avoir deux champs électriques solutions 
dont les polarisa-

tions sont rectilignes et perpendiculaires entre elles.

Nous considérons maintenant l'enceinte dans sa totalité comme une cavité 
cubique constituée de
parois métalliques parfaitement conductrices. La résolution est alors plus 
complexe que dans le cas uni-
dimensionnel. Les solutions permises dans le cas à trois dimensions sont des 
modes électromagnétiques
dont la pulsation wy, ,n,,n. est quantifiée par trois entiers naturels 
strictement positifs, nx, n,, n,. Nous
précisons que pour chaque pulsation y, ,n,,n, du Champ électrique solution du 
problème, il y a deux
modes associés, correspondant aux deux polarisations rectilignes indépendantes. 
Les expressions de la
pulsation et du vecteur d'onde pour ces deux polarisations sont

T

C2 2 2
Wnr,Ny;N2 -- L ( T + ny +n)

1/2 7 T _, _, _,
/ et K nanyne: -- T (NrEr + Nyey + Nr) . (3)

Sur la figure 2, on représente un vecteur d'onde donné dans l'espace cartésien 
des vecteurs d'onde
(Kx, ky, k:). Dans cet espace, les modes électromagnétiques occupent les noeuds 
d'un réseau cubique

T T \$
de pas L Le volume occupé par un noeud est (5) , chaque noeud représentant deux 
modes de

polarisations indépendantes. La contrainte donnée par la relation de dispersion 
dans le vide à l'intérieur
2

SW _
de la cavité k? = -- est représentée par une sphère de rayon || & || (à gauche 
figure 2) et par un

C
cercle dans le plan (k;,k,) (à droite figure 2). On rappelle que n>+, ny, n; 
appartiennent à N*.

-- Page 4/13 -
À k A k

Z y
, + ° . fr/L
F, DR
|
VS 0) k, A A A > k,

--
FIGURE 2 -- Représentation de k dans l'espace des vecteurs d'onde pour un 
triplet (n;,ny,n2:) = (1,2,3).
À droite, le carré grisé symbolise le volume occupé par le mode (1,2,3), en 
projection dans le plan (k,;,k,). Le disque
gris matérialise l'ensemble des modes dans le plan (k:,k,) dont la norme du 
vecteur d'onde est inférieure à une valeur

fixée k.

12. Exprimer le nombre de modes W(w) pour lesquels la pulsation est inférieure 
à w fixée.

13. Déterminer l'expression du nombre de modes D(w) par unité de pulsation w. 
En déduire l'ex-
pression du nombre de modes D(7) par unité de fréquence v

Sr V

D() =

?, (4)

où V est le volume de la cavité.

En résumé, le raisonnement précédent revient à considérer chaque mode propre 
électromagnétique
pouvant exister dans la cavité comme un oscillateur harmonique unidimensionnel, 
de pulsation wy, nn.
fixée par trois entiers naturels strictement positifs, et de polarisation 
rectiligne fixée. À une pulsation
donnée correspondent deux états de polarisation rectiligne indépendants pour le 
champ électromagnétique.
Dans la suite, nous adoptons deux approches pour déterminer l'expression de la 
densité spectrale
d'énergie électromagnétique moyenne contenue dans la cavité, notée UH{() et 
homogène à une énergie
par unité de fréquence.

IIB Composition spectrale du rayonnement : approche de Rayleigh-Jeans

En 1900, Lord RAYLEIGH utilise une approche de mécanique statistique pour 
aboutir à une expres-
sion de {(v) qui explique le spectre du corps noir aux basses fréquences. 
Corrigée plus tard par James
JEANS, cette loi se révèlera erronée et sera finalement remplacée par la loi 
issue des travaux de Max
PLANCK. Elle contient tout de même un point de raisonnement important dont 
s'inspirera ce dernier,
et permet de rendre compte d'une partie des observations expérimentales.

14. En utilisant le théorème d'équipartition de l'énergie appliqué au champ 
électromagnétique contenu
dans la cavité en contact avec un thermostat de température fixée T, déterminer 
l'expression de
la densité spectrale d'énergie électromagnétique moyenne U(v) dans la cavité,

U(v) = Av*kBT , (5)

où À est un préfacteur, dépendant de V et de c notamment, à déterminer.

La figure 3 présente des données expérimentales sur la composition spectrale du 
<« fond diffus cosmologique >. Découvert en 1965, ce rayonnement en provenance de l'espace 
interstellaire est très
proche de celui du corps noir idéal, et présente un maximum d'émission dans le 
domaine micro-onde.

-- Page 5/13 -
Wavelength (cm)
10-17 "10 1.0 0.1

---- 2.73 K blackbody

FIRAS COBE satellite

DMR COBE satellite

UBC sounding rocket
LBL-Italy White Mt. & South Pole
Princeton ground & balloon
Cyanogen optical

1 10 100 1000
Frequency (GHz)
19. Montrer que la probabilité P, peut se réécrire sous la forme

D -- 1 mn O\. 7
7 n+i\n+i)

Cette distribution de probabilité, appelée distribution de BOSE-EÉINSTEIN, est 
caractéristique des

modes électromagnétiques du rayonnement de corps noir (aussi appelé rayonnement 
thermique).

20. Calculer l'énergie moyenne EUR(v) du mode électromagnétique de fréquence v. 
Montrer que la
densité spectrale d'énergie moyenne associée U(v) s'écrit

_ S8rv?V hr
A) = Te -- (8

21. En comparant deux énergies caractéristiques, déterminer les expressions 
asymptotiques de la
densité spectrale d'énergie électromagnétique moyenne d'un mode dans la cavité 
dans les régimes
basse et haute fréquences. Tracer sur un même graphique les allures obtenues 
pour la courbe
représentative de U(v) en fonction de v dans l'approche de RAYLEIGH-JEANS et 
dans celle de
PLANCK. Expliquer en quoi les travaux de ce dernier ont permis de résoudre la « 
catastrophe
ultraviolette > à laquelle conduit l'approche de RAVLEIGH-JEANS, et évoquée à 
la question 15.

III Interprétation quantique du rayonnement électromagnétique

Pour justifier l'aspect quantifié des échanges d'énergie dans le raisonnement 
de PLANCK, Albert
EINSTEIN propose en 1905 une interprétation du rayonnement électromagnétique en 
termes de grains
de lumière (qui ne seront appelés < photons > que plus tard en 1926, par le 
chimiste Gilbert LEWIS).
Ce caractère granulaire de la lumière a permis d'expliquer un phénomène qui 
demeurait jusqu'alors
incompris : l'effet photoélectrique, que l'on se propose d'étudier dans une 
première partie (IIT.A). Dans
un second temps, on s'intéresse aux statistiques d'émission des photons suivant 
la nature de la source
lumineuse (IIIL.B). Enfin, nous verrons comment il est possible de caractériser 
expérimentalement une
source en mesurant sa statistique d'émission à l'aide d'un photodétecteur 
adapté (II.C).

III.A Effet photoélectrique

Observé pour la première fois en 1887 par Heinrich HERTZ, l'effet 
photoélectrique désigne la ca-
pacité d'un rayonnement électromagnétique à arracher les électrons libres 
(électrons de conduction)
d'un matériau conducteur. Ces électrons peuvent être collectés au sein d'un 
circuit électrique, ce qui
permet de mesurer un courant en présence du rayonnement : on parle de 
photo-courant.

Afin de tester la théorie d'EINSTEIN, Robert Andrews MILLIKAN réalise en 1914 
une expérience
d'effet photoélectrique, qui s'avérera concluante et permettra même de 
déterminer la valeur de la
constante h. Le principe de l'expérience est le suivant : au sein d'une chambre 
à vide, il place une
cathode métallique en lithium reliée à une anode au moyen d'un générateur de 
tension continue u, et
d'un ampère-mètre mesurant le courant + dans le circuit, figure 4 (a). Un 
faisceau monochromatique
issu d'une lampe à vapeur de mercure éclaire la cathode, sa longueur d'onde À 
pouvant être réglée
sur l'une des raies spectrales émises par la vapeur : 313 nm, 365 nm, 405 nm, 
435 nm et 546 nm. La
puissance lumineuse P du faisceau est également réglable.

Pour toutes les longueurs d'onde exceptée À = 546 nm, MILLIKAN mesure un 
photo-courant 2? > 0
lorsqu'aucune tension n'est appliquée. En faisant varier uw pour ces longueurs 
d'onde, il effectue les
observations expérimentales suivantes :

-- Page 7/13 -
i) Augmenter la tension u provoque l'augmentation du courant i, jusqu'à une 
valeur de saturation
Isat. À l'inverse, à s'annule si on réduit u jusqu'à une valeur négative --Un 
appelée potentiel
d'arrêt. La courbe à = f{u) ainsi obtenue présente l'allure schématisée figure 
4 (b).

ü) Le potentiel d'arrêt Uo ne dépend que de la fréquence v.

ii) Le courant de saturation La augmente avec la puissance lumineuse P.

(a) Flux (b)

lumineux

Cathode Anode het

Ne
Y
&

__A _
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FIGURE 4 -- Étude expérimentale de l'effet photoélectrique. (a) Schéma de la 
cellule photoélectrique. (b) Allure
d'une courbe photocourant-potentiel. (c) Données expérimentales ÜUo = f() 
relevées par MILLIKAN. L'axe vertical est
gradué tous les 0,2 V et l'axe horizontal tous les 5 x 10° Hz. Au niveau de 
l'intersection du trait plein et du trait pointillé,
on lit vo = 57.0 x 10!* Hz. Source : R. A. Millikan, À Direct Photoelectric 
Determination of Planck's "'h", Phys. Rev. 7,
355 (1916).

22. L'énergie nécessaire pour arracher un électron de conduction dans le 
lithium vaut W5 = 2,4eV.
Montrer en quoi l'hypothèse corpusculaire d''EINSTEIN permet d'expliquer 
qu'aucun photo-
courant n'est mesuré pour À = 546 nm. On donne hc = 1,2 eV.pum.

On appelle photo-électrons les électrons qui sont éjectés de la cathode par 
effet photoélectrique.
On suppose que ces derniers sont éjectés de la cathode avec des vitesses vd de 
même norme et de
directions aléatoires.

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23. Expliquer qu'en l'absence de tension w appliquée, on observe tout de même 
un photo-courant
non-nul. Comment évolue la situation lorsqu'on applique une tension u < 0? Justifier alors l'appellation < potentiel d'arrêt > donnée à la tension Uo.

24. En considérant que l'énergie du rayonnement incident est intégralement 
transmise aux électrons
libres de la cathode, exprimer le potentiel d'arrêt ÜUo en fonction de e, h, v 
et du travail d'ex-
traction Wo, et justifier l'observation ti).

25. La figure 4 (c) représente les mesures Un = f(v) obtenues par MILLIKAN 
lui-même, en relevant le
potentiel d'arrêt en fonction des longueurs d'onde associées aux différentes 
raies du mercure. À
partir de ces mesures, déterminer la valeur numérique à laquelle il est parvenu 
pour la constante
de PLANCK }, et estimer l'incertitude Ah associée.

26. Justifier que le courant ? augmente progressivement à mesure qu'on applique 
une tension uw > OÙ
croissante et expliquer la limitation du courant à une valeur de saturation, 
notée Lt.

27. On appelle rendement quantique 7 la probabilité qu'un photo-électron soit 
émis lorsqu'un photon
frappe la cathode. Exprimer 1,4 en fonction de 7 et justifier l'observation 
iii). Reproduire l'allure
de la courbe (b), figure 4, pour différentes valeurs de la puissance lumineuse 
P à fréquence
fixée, et proposer alors une méthode qui permettrait de déterminer 7 pour la 
cathode en lithium
utilisée 1c1.

IIIB Statistiques d'émission de photons

Dans cette section, on s'intéresse à la distribution de probabilité P, qui 
caractérise le nombre n
de photons émis par une source lumineuse pendant une durée 7 donnée. Deux types 
de sources sont
étudiés : une source thermique et une source laser.

III.B.a Source de rayonnement thermique

Nous avons vu dans la section IL.C que le spectre d'un corps noir porté à 
température T non nulle
est formé d'une superposition de modes de différentes fréquences. Dans toute la 
suite, on admettra
que le nombre n de photons émis à la fréquence v pendant une durée 7 suit une 
statistique de BOSE-
EÉINSTEIN similaire à celle trouvée en question 19 pour le nombre de photons 
contenus dans le mode
électromagnétique v. Aïnsi la probabilité P,, qu'une source thermique émette n 
photons à la fréquence
y pendant la durée 7 s'écrit

1 mn \"
Pr () (9)

où ñn désigne le nombre de photons émis en moyenne sur une durée r.

28. Pour caractériser les fluctuations du nombre de photons autour de la valeur 
moyenne ñ, on utilise
l'écart-type An (défini dans le formulaire). Déterminer An en fonction de n.

29. Représenter l'allure de la probabilité P,, en fonction de n, en faisant 
apparaître qualitativement
la moyenne ñn et l'écart-type An sur le graphique.

III.B.b Source laser

On considère maintenant une source laser monochromatique de fréquence v, et de 
puissance constante
P. En raison de la nature corpusculaire du rayonnement, le nombre n de photons 
émis pendant une
durée 7 donnée est susceptible de fluctuer autour de sa valeur moyenne ñn. On 
définit le flux de photons
® comme le nombre moyen de photons émis par unité de temps :

b -- (10)

+ | 3

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30. Exprimer le flux ® en fonction de la puissance incidente P. Évaluer 
numériquement ® pour une
source laser de puissance P = T1 mW et de longueur d'onde À = 400 nm. En 
déduire une valeur
numérique de la durée qui sépare l'émission de deux photons en moyenne pour une 
telle source.

De même que précédemment pour une source de rayonnement thermique, on souhaite 
maintenant
déterminer la probabilité P, que n photons soient émis par le laser pendant une 
durée T7, choisie
suffisamment grande de sorte que le nombre de photons moyen n -- ®7 soit un 
entier naturel bien

défini.

31. En supposant que les photons sont émis indépendamment les uns des autres, 
et en négligeant
les émissions multiples dans un intervalle de temps élémentaire 07 = T/N (avec 
N le nombre de
subdivisions de la durée 7 et N >> ñn), justifier que la probabilité P, suit 
une loi binomiale dont
l'expression est donnée par

Pa = pre =p) 7. Q1)

On précisera la signification physique de p. Exprimer p à l'aide du formulaire 
sachant que cette
loi doit conduire à un nombre moyen ñn de photons émis.

33. En utilisant le formulaire, donner également l'expression de l'écart-type 
An dans la limite N 5 n.
Comparer au cas d'une source de rayonnement thermique (cf. question 28) et 
interpréter en
termes de stabilité de la source.

À partir de l'équivalent de Stirling InN! NV N InN -- N, on peut montrer que
--+ +00

nn. x Tr) =. (12)

34. En développant (1--p)"" dans la limite N -- +00, et en utilisant le 
résultat (12), montrer que
la statistique d'émission de la source laser tend vers une distribution de 
POISSON, caractérisée
par sa seule valeur moyenne 7 :

nt _--

N--+00 n!
On admet que pour des nombres moyens de photons n > 5, la loi de POISSON peut 
correctement
être approchée par une loi normale, dont la représentation graphique est une 
gaussienne d'écart-type
An = Vñ centrée sur la moyenne 7.

35. Sur le même graphique, représenter l'allure des lois de probabilité P, d'un 
mode thermique et
d'une source laser de même fréquence z telles que n = 10.

IIIC Détection de photons et caractérisation expérimentale d'une source

Pour mettre en évidence expérimentalement la statistique d'émission d'une 
source de lumière,
il est nécessaire de pouvoir détecter des photons uniques. Pour cela, on 
utilise des détecteurs qui
fonctionnent sur le principe de l'effet photoélectrique étudié à la section 
IIT.A et qui permettent la
conversion d'un photon en photo-électron. La collecte des photo-électrons 
produits permet d'accéder à
la statistique d'émission des photons incidents. Nous étudions dans la suite le 
fonctionnement de l'un
de ces détecteurs : le photomultiplicateur, et nous l'utiliserons pour 
caractériser expérimentalement la
statistique d'émission de sources laser et thermique.

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III.C.a Fonctionnement d'un photomultiplicateur

Un photomultiplicateur est un détecteur de lumière très sensible, capable de 
détecter des photons
uniques. Il est constitué d'un tube à vide à l'intérieur duquel se trouve une 
cathode portée au potentiel
nul, et une anode collectrice sous haute tension. La cathode et l'anode sont 
séparées par une série
d'électrodes intermédiaires appelées dynodes. Elles sont portées à des 
potentiels croissants grâce à un
générateur de tension continue Ug (à ne pas confondre avec le potentiel d'arrêt 
de la partie IIT.A) et
un circuit diviseur de tension. Deux dynodes adjacentes étant séparées par une 
tension AU = U/k
où k est le nombre de dynodes.

Sous l'effet d'un flux lumineux, des photo-électrons sont susceptibles d'être 
arrachés à la cathode
par effet photoélectrique. Ils sont alors accélérés vers la première dynode, et 
provoquent en la frap-
pant l'éjection de nouveaux électrons. Le processus se reproduit en avalanche 
jusqu'à ce que l'anode
en sortie collecte un nombre macroscopique d'électrons. Le courant anodique 
total Z est finalement
récolté sous forme d'une tension uw sur une résistance de charge À. = 1 kQ. 
L'observation du signal
u(t) à l'oscilloscope présente une série de pics aléatoires correspondant 
chacun à la détection d'un
photon. Chaque pic présente une largeur typique de 20 ns correspondant au temps 
de réponse du
photomultiplicateur. Le schéma du principe de fonctionnement du 
photomultiplicateur et les signaux
observés sont représentés sur la figure 5.

cathode anode
ff DR: dynodes = I u(t) u(t)
at « TR)? ee. FX F À = À
L -- Le # à J |
R R R R { <« 20 ns À on EE D EE AU | _ mis a 14 Signal observé sur Signal d'un photon "+" l'oscilloscope unique 0 FIGURE 5 -- Fonctionnement d'un photomultiplicateur. 36. On suppose que lorsqu'un électron frappe une dynode, deux nouveaux électrons sont éjectés. Estimer numériquement la hauteur umAx d'un pic de tension occasionné par l'arrivée d'un photon, pour un photomultiplicateur contenant 4 = 20 dynodes. On donne 2° = 106. 37. Le circuit diviseur de tension est composé de k résistances identiques À en série. Sachant que l'alimentation haute tension délivre une puissance continue de 2 W, déterminer la valeur de À pour assurer une différence de potentiel AU = 100 V entre deux dynodes successives. Estimer l'énergie cinétique que cela permet de communiquer aux électrons secondaires avant leur impact sur une dynode. Comparer cette énergie au travail d'extraction d'une dynode en phosphure de gallium : Waap = 2,2 eV. 38. On définit 1" le taux de comptage en sortie du photomultiplicateur comme le nombre moyen de photons détectés par unité de temps, exprimé en Hz. Donner J° en fonction de la puissance incidente P, du rendement quantique n (défini à la question 27) et de l'énergie d'un photon de fréquence 7. l 39. En exploitant la courbe de réponse spectrale -- -- f(À) représentée sur la figure 6, estimer numériquement 7 pour un rayonnement incident de longueur d'onde 400 nm, et pour le modèle de photomultiplicateur n°110. -- Page 11/13 - FSPECIFICATIONS | Réponse spectrale 105 TPMOB0215ED 210 PAST Korn Linéarité L.113 PR | TPMOBO217EA \ O1 100 T = / THEORETICAL VALUE = | 110 --------_---- + ----------' 109 , = 105 £ À À OUTPUT COUNT A. T Y = 108 -- , |! Y \ N \ au TS 107 N xs | | À SE \l D Ft --- Gr: S 10 à L OVER LIGHT t DETECTION OUTPUT | 105 s t 4 \ | +4 V * 104 oV | _|] 10 105 10% 105 105 107 10% 10% 1079 1017  10!2 105 100 200 300 400 500 600 700 800 900 Puissance lumineuse relative (sans unité) Longueur d'onde À (nm) FIGURE 6 --- Spécifications du photomultiplicateur. Gauche : taux de comptage l'en sortie du photomultiplicateur en fonction de la puissance lumineuse relative incidente sur la photocathode. Droite : Courbes de réponse spectrale pour différents modèles de photomultiplicateurs : n°01, n°04, n°110, n°113, n°210. On signale que les réponses des modèles n°110 et n°113 coïncident pour des longueurs d'onde supérieures à 300 nm. AO. Au regard du signal correspondant à la détection d'un photon unique, expliquer pourquoi le domaine de linéarité du photomultiplicateur est limité par son temps de réponse fini. Estimer alors le taux de comptage maximum au-delà duquel la réponse du photomultiplicateur n'est plus linéaire. Comparer aux spécifications de la figure 6. En déduire la puissance lumineuse maximale Pmax qui ne doit pas être dépassée pour demeurer dans le régime linéaire avec un rayonnement à 400 nm. Commenter cette valeur. III.C.b Mesure de la statistique d'émission d'un laser Nous utilisons le photomultiplicateur précédent pour mettre en évidence la statistique poissonnienne qui caractérise une source laser (obtenue à la question 34). On utilise pour cela un laser à argon fonctionnant à 400 nm, dont la puissance est atténuée à 0,1 pW au moyen d'un filtre absorbant. Pour une fenêtre de détection de durée 7, un circuit électronique permet de compter les pics de tension en sortie du photomultiplicateur et ainsi convertir la tension u(t) en un compte de photons n. A1. Calculer numériquement le compte moyen n et l'écart-type An auxquels on s'attend pour une fenêtre de détection de durée 7 = 0,15 sachant que le rendement quantique du photomultiplica- teur vaut 25%. On définit le rapport signal-sur-bruit (SN R pour signal-to-noise ratio) par le rapport des comptes moyens de photons sur l'amplitude typique des fluctuations : 7 NR=--. 14 SNR = (14) 42. Proposer un protocole permettant de déterminer si le laser à argon présente bien une statistique d'émission poissonnienne. -- Page 12/13 - ITII.C.c Mesure de la statistique d'émission d'une source thermique On cherche ici à mettre en évidence de façon expérimentale la statistique de BOSE-EINSTEIN, définie par l'équation (9), qui caractérise l'émission de photons par une source de rayonnement thermique. On considère pour cela le rayonnement issu d'une lampe à filament de tungstène, pouvant être assimilée à un corps noir dont le maximum d'émission se situe dans l'infrarouge À = 1 m. La largeur spectrale pouvant être détectée par le photomultiplicateur vaut typiquement A1 = 300 nm. A3. A4, A5. Exprimer le temps de cohérence 7. de la lumière émise par la lampe, en fonction de ses ca- ractéristiques spectrales. L'estimer numériquement. En admettant que le temps de cohérence d'une source polychromatique correspond au temps caractéristique de ses variations d'intensité, expliquer pourquoi il est très difficile de mettre en évidence les grandes fluctuations du nombre de photons prévues par la statistique de BOSE- EINSTEIN pour une telle lampe. L'expression de l'écart-type An trouvée pour une source thermique à la question 28 suppose un rayonnement monochromatique. On peut montrer que pour une superposition de N,, modes de fréquences différentes, l'écart-type devient _9 D) An=AÎn+--. 15 n Le (15) Justifier que pour un rayonnement thermique ayant un spectre large, la distribution de BOSE- EÉINSTEIN initialement prévue tend vers une distribution de POISSON. Proposer un lien entre ce résultat et le constat réalisé à la question précédente (44). Comment pourrait-on obtenir une source de lumière qui présente une statistique de BOSE-EÉINSTEIN aux temps de détection accessibles expérimentalement ? kxkxk FIN DU SUJET xxx -- Page 13/13 -