X Physique et Sciences de l'ingénieur MP 2002

ÉCOLE POLYTECHNIQUE . FILIÈRE MP

CONCOURS D'ADMISSION 2002

DEUXIÈME COMPOSITION DE PHYSIQUE

(Durée : 4 heures)

L'utilisation des calculatrices est autorisée pour cette épreuve.

***

Premier problème

L'objet du problème est d'étudier certains aspects du mouvement de trois corps 
en interaction
gravitationnelle. On désignera par Q la constante de gravitation universelle.

Deux masses ponctuelles m1 et m2 en interaction gravitationnelle forment un 
système isolé.
À l'instant t, elles sont situées res ectivement aux oints A1 et A2 re érés 
dans un référentiel
p P p

galiléen par R1= OA1 et R2: OA2, avec les vitesses V1 et V2; on pose 7°-- -- 
A1A2 et r- -- "FM.
1. Donner l'expression de l'énergie potentielle d'interaction des deux masses.

2. Déterminer la position de leur centre d'inertie C . Quelle est la 
trajectoire de C '? Déter--
miner sa vitesse.

3. Calculer l'énergie cinétique des deux masses dans le référentiel 
barycentrique; montrer
qu'elle est égale à celle d'une masse ponctuelle de vitesse 17 = F et de masse 
,a que l'on déterminera
en fonction de m1 et m2.

4. Montrer que le mouvement relatif de m2 par rapport a m1, caractérisé par 
f'(t), est
équivalent à celui de cette masse ponctuelle soumise à une force que l'on 
explicitera et dont on
précisera les caractéristiques.

5. À quelle condition portant sur 7' et v : ||Ü|| les deux masses restent-elles 
& distance finie
l'une de l'autre ?

6.a) À quelle condition sur 7° et i) les deux masses restent--elles & distance 
fioee 7°0 l'une de
l'autre?

b) Déterminer dans ce cas la période T de leur mouvement, ainsi que la vitesse 
angulaire
Q, en fonction des masses, de 7"0 et Q .

II

On étudie un cas particulier du problème a trois corps << restreint >>, à. 
savoir :

. Deux masses m1 et m2 sont beaucoup plus grandes que la troisième m, soit m1 
>> m et
7712 >> m. La masse m est supposée ponctuelle comme m1 et m2.

0 Les deux masses m1 et m2, a distance constante l'une de l'autre, effectuent 
un mouvement
de rotation à la vitesse angulaire Q autour de leur centre d'inertie C . Ce 
mouvement, décrit au
I.6, n'est pas affecté par la présence de la troisième masse m.

On ne considère dans cette partie que les situations où les trois masses 
restent alignées au
-->

cours du temps. La masse m est située au point A. On prendra la direction A1A2 
comme axe
. - _} --» _) ---+ ----» --» - -
:IJ'COE d'or1g1ne C, avec CA1 --rleoe et CA2 = @ eæ, CÂ : a:eoe, eoe vecteur 
un1ta1re.

1. Exprimer, en fonction de a: et a l'aide des paramètres du système, la 
composante selon
æ'Cæ de la force totale qui s'exerce sur la masse m dans le référentiel 
tournant à la vitesse

angulaire Q.

2. Montrer que dans ce référentiel tournant cette composante dérive d'une 
fonction U (33) qui
joue le rôle d'une << énergie potentielle >>. Expliciter U (513)

3. Effectuer une étude qualitative de U ($) en fonction de $; par une analyse 
graphique,
montrer qu'il y a trois positions << d'équilibre >> possibles pour la masse m 
et les situer qualita--
tivement par rapport aux masses m1 et m2.

4. Discuter de la stabilité de ces positions--d'équilibre dans le référentiel 
tournant, vis--à--vis
des déplacements selon l'axe oe'Cæ.

III

1. Trois masses, a priori différentes, m1,m2 et m3 sont situées respectivement 
aux trois
sommets A1, A2, A3, d'un triangle équilatéral de côté d ; soit C' leur centre 
d'inertie.

F1 étant la résultante des forces de gravitation s'exerçant sur la masse m1, 
montrer que :

f. : _G..._--

_)
CA1

2. En déduire que, si les masses tournent dans leur plan avec une certaine 
vitesse angulaire
commune O que l'on déterminera, elles sont en équilibre relatif.

On limite, dans toute la suite de cette partie, l'étude au cas où, comme en II, 
l'une des
masses, m3(= m), est beaucoup plus petite que les deux autres m1 et m2, dont le 
mouvement
circulaire n'est pas modifié par m. On prend la direction @; comme axe X ' CX . 
La masse m,
placée en A, est repérée par Ë(t) : CÎ de coordonnées (X, Y). On s'intéresse à 
la stabilité de la

masse m au voisinage du sommet A3 du triangle équilatéral de base A1A2, en 
limitant d'abord

l'étude aux mouvements dans ce plan. On oriente l'axe Y'CY de telle sorte que 
l'ordonnée de
A3 soit positive.

3. Écrire, dans le référentiel tournant, << l'énergie potentielle >> U (X , Y) 
dont dérive la
somme des forces gravitationnelles et d'inertie d'entraînement agissant sur la 
masse m; on

posera ll/OEH = d1(X, Y) et ||OE|| = dg(X, Y).

4. Ecrire l'expression vectorielle de l'accélération 5 de la masse m dans le 
référentiel tour--
nant, a l'aide du vecteur rotation Q, de la vitesse Ü(væ, vy) dans ce 
référentiel et de grad(u) où

u(X,Y) = U(X,Y)/m.

Ôu(X, Y)
ÔX

32u(X, Y)

' uXY(X'Y) : ÔXÔY

Dans la suite, on notera uX (X, Y) = , etc..

5. En vue d'étudier la stabilité de m au voisinage du point A3, on pose X = X0 
+ oe, Y =
YO + y, où (X...Yg) sont les coordonnées du point d'équilibre A3 de la masse m, 
dont on ne
demande pas le calcul explicite.

Ecrire les équations du mouvement, en se limitant aux termes du premier ordre 
en au et y.
Pour alléger l'écriture, on notera : uXX = uXX(XO,YO) uXY = uXY(XO,YO) etc...

6. On cherche des solutions du type : :r = aexp(Àt), y = bexp(Àt), où a et b 
sont des
constantes.

Montrer que À doit vérifier l'équation caractéristique :

À4 + À2(492 + "XX + uYY) + (uxxuyy _ "2 >= 0

XY

7. On admet que si l'on pose :
À : À'Q 7711 : CY(TÏL1 + 7712) 7712 = (]. -- OE)(TÏL1 + 777.2)

et que l'on évalue les dérivées partielles figurant dans l'équation 
caractéristique de la question
III.6, la variable À'2 vérifie l'équation du second degré suivante :

27
À'4+À'2+îa(l--a) =0.

Soit A le discriminant de cette équation.
a) Que conclure sur la stabilité de la position d'équilibre si A > 0 ?
b) Même question si A < 0. c) En déduire les valeurs de a pour lesquelles la position d'équilibre est stable. 8. Pour le système Lune -- Terre, le rapport de la masse légère m1 a la masse totale (m1 +m2) est oz = 0,012. En considérant ce système comme isolé, quelles conclusions en tirez-vous quant à. la stabilité de la position d'équilibre d'un petit objet dont la position formerait un triangle équilatéral avec les centres de la Terre et de la Lune ? Même question pour le système Jupiter - Soleil pour lequel oz : 0,001. L'observation des << planètes troyennes >>, de même période de révolution que Jupiter autour du 
Soleil et faisant
avec lui et le Soleil un triangle équilatéral, conforte--t-elle votre 
conclusion ?

9. Par une analyse qualitative des forces s'exerçant dans le référentiel 
tournant, étudier la
stabilité de la position A3 vis--à--vis de petits mouvements orthogonaux au 
plan X CY.

Deuxième problème

Quelques propriétés des gaz réels et des mélanges sous deux phases

Dans tout le problème, la température reste fixée et est notée T. R désigne la 
constante des
gaz parfaits.

1. On considère un système formé d'un seul constituant.

&) Établir la relation entre l'enthalpie libre a la pression 191 notée G(p1), 
l'enthalpie libre
a la pression pg notée G(pg) et le volume V du système.

b) Que devient cette relation dans le cas où le système est un solide ou un 
liquide peu
compressible ?

c) Que devient la relation dans le cas où le système est constitué par n moles 
de gaz parfait ?
En déduire l'expression du potentiel chimique (enthalpie libre molaire) ,u du 
constituant à la
pression p en fonction du potentiel chimique standard ,u° et de la pression 
standard po.

2. Dans le cas d'un gaz réel la forme de l'expression précédente du potentiel 
chimique est
conservée à condition de remplacer p par la fugacité f, fonction de p. On se 
propose de trouver
le lien entre f et p.

&) Établir la relation entre f , p, T , le volume molaire V... du gaz réel et 
le volume molaire
VÆ du gaz parfait associé. On utiliserale fait que, lorsque la pression tend 
vers 0, le gaz réel se
comporte comme un gaz parfait.

b) On appelle Z le facteur de compressibilité, qui représente un écart du 
comportement
du gaz réel par rapport au gaz parfait associé :

_ me
_ RT

f =pexp ([ Z--(p}%_--ldp')

c) On propose comme équation d'état d'un gaz réel l'équation de Van der Waals :

Z (19)

Montrer que f peut s'écrire :

& RT

p+ËZÇ V...--b

dans laquelle a et b désignent deux constantes caractéristiques du gaz étudié. 
Quelle interpréta--
tion physique peut--on donner de ces constantes ?

()
ap et --E calculer

R2T2 RT '

En effectuant un développement limité de V... au premier ordre en

une expression approchée de f.

Application numérique. On donne pour l'ammoniac les valeurs numériques 
suivantes :
a, = 0,42 Pa m6 mol_2 , b = 37 >< 10_6 m3 mol--1 . Calculer f pour p = 106 Pa et T = 298,15 K. On prendra R = 8,31 J K_1 mol--1. L'un des deux paramètres & et () joue--t-il un rôle prépondérant ? Comment cela se traduit--il sur le volume molaire Vm ? 3. On étudie le comportement d'un mélange de constituants en équilibre sous deux phases liquide et gazeuse. On peut établir (mais ce n'est pas demandé) pour le constituant @ l'expression suivante pour la fugacité f,-- : PÎat Z-( '.) _ 1 1 Pi L t 2 p L ft = az-- pî--" exp (fo --------Ï'ÿ2 dp£) exp (_RT /,,... %...dpâ) ?, dans laquelle pîat désigne la pression de vapeur saturante du constituant 75 pur, V,,{;, son volume molaire à l'état liquide, af son activité dans la phase liquide, 19,-- sa pression dans la phase gazeuse, Z, son facteur de compressibilité. Que devient cette expression dans les cas suivants : a) Le liquide est incompressible sur l'intervalle de pression étudié. b) Le volume molaire du constituant i liquide est négligeable. c) La condition de la question précédente est réalisée et la phase gazeuse est un mélange idéal de gaz parfaits. d) Les conditions de la question précédente sont réalisées et le liquide est un mélange idéal où oe,L désigne la fraction molaire du constituant 13 dans la phase liquide. 4. La relation de la question 3.d) est vérifiée pour les constituants du mélange benzène (1)--toluène (2) aux pressions faibles et modérées. {E,-L et a:,Y désignent les fractions molaires du constituant @ dans la phase liquide et dans la phase gazeuse respectivement. On donne les pressions de vapeur saturante à 90°C : 19?" = 136,1 >< 103 Pa et päat = 54, 2 >< 103 Pa. Établir les courbes isothermes d'ébullition et de rosée sur le diagramme représentant p en fonc-- tion respectivement de 513% et oeY a 900 O.