X Physique et Sciences de l'ingénieur MP 2003

ÉCOLE POLYTECHNIQUE FILIÈRE MP

CONCOURS D'ADMISSION 2003

DEUXIÈME COMPOSITION DE PHYSIQUE

(Durée : 4 heures)

L'utilisation des calculatrices est autorisée pour cette épreuve.

***

La glace dans la nature

L'objet de ce problème est l'étude des couverts de glace a la surface de la 
terre.

Dans une première partie, on étudie la croissance d'une couche de glace lorsque 
sa tempéra-
ture de surface est contrôlée, en utilisant pour cela l'approoeimation quasi 
stationnaire. Puis l'on
eoeamine les effets d'un manteau de neige sur la formation de la couche de 
glace à la surface
d'un lac. On évoque enfin dans la dernière partie l'évolution saisonnière de la 
glace arctique.

Toutes les parties sont largement indépendantes les unes des autres. Sauf 
indication
contraire, la pression P est constante et égale à la pression atmosphérique 
moyenne, soit

1,01325 >< 105 Pa. _ Une grande attention devra être apportée auæ applications numériques. Données numériques : Capacité thermique massique de la glace cG = 2, 09 >< 103 J - kg"1 - K--1 Capacité thermique massique de l'eau cE = 4, 18 >< 103 J - kg"1 - K"1 Conductibilité thermique de la glace /\G = 2, 215 W - m'1 -- K"1 Conductibilité thermique de la neige )... = 0,3 W - m"1 - K--1 Masse volumique de l'eau ,O0 = 1,00 >< 103 kg -- m--3 Masse volumique de la glace pg = O, 915 >< 103 kg - m--3 Masse volumique de la neige pn = 0,33 >< 103 kg - m"3 Enthalpie de fusion de la glace L = 0,333 >< 106 J - kg"1 les données précédentes sont supposées indépendantes de la température. Température de fusion de la glace T F = 0,00 °C Bilan radiatif à la surface de la banquise arctique : Coefficients TJ = 15,7°C TN = --43,3°C BJ=1,4W.m--2--K--l BN=1,8W-m"2-K_l I. Le problème de Stefan La figure 1 illustre le problème de la formation d'une couche de glace tel qu'il fut formulé dans le travail pionnier de Stefan (1891). La surface d'un volume d'eau initialement à la température de fusion TF est mis en contact a l'instant t = 0 avec une paroi plane, maintenue en position fixe et à température T 5 < T F. Une couche de glace apparaît et se développe progressivement au sein du fluide. On note { (t) la position de l'interface entre l'eau et la glace; la glace occupe l'espace 0 { 2 < EUR(t). Soit T (;(Z, t) le champ de température dans la glace, supposé unidimensionnel. On suppose que Tg(2 : 0, t) = T5. Figure 1 1. La diffusion thermique. a) Exprimer la loi de Fourier reliant au sein de la glace la densité de courant d'énergie .ÏQ au gradient de température. ' b) Effectuer un bilan énergétique sur un volume élémentaire de glace pour obtenir l'équa-- tion de la diffusion thermique, dite << de la chaleur >>.

c) Quelles sont les conditions aux limites pour le champ de température de la 
glace?
Permettent--elles de déterminer T(;(Z, t) ?

(1) Que peut-on dire de la température au sein de l'eau ?
e) Pourquoi l'eau est-elle mise en mouvement par l'avancée de l'interface ?
2. Soient HG l'enthalpie massique de la glace et H E celle de l'eau que l'on 
suppose indépen--
dantes de la température. On désigne par UG : {(t) la vitesse de l'interface et 
par UE la vitesse

verticale de l'eau.

a) En raisonnant sur un cylindre vertical de section S, exprimer à l'aide de 
EUR (t) la masse
d'eau qui s'est transformée en glace entre les instants t et t+ dt.

b) Effectuer le bilan enthalpique de cette masse entre ces deux instants (on 
négligera la
variation d'énergie cinétique de l'eau qui gèle).

c) En déduire la relation suivante :

ÔT -
/\GÔ-- = PG LEUR(t) ...
Z 503

3. On suppose que {(t) est suffisamment faible pour admettre que la 
distribution de tempé--
rature dans la glace est à tout instant celle de l'état stationnaire pour 
l'épaisseur de glace formée
à cet instant (approximation quasi stationnaire).

&) Pourquoi n'a--t--on jamais rigoureusement de régime permanent ?

b) Que devient l'équation de la chaleur dans l'approximation quasi 
stationnaire? En dé--
duire le profil puis le gradient de température au sein de la glace.

c) Déduire alors de l'équation (1) une équation différentielle portant sur 
EUR(t). Montrer que
EUR(t) = \/ 2Dt où D est une constante que l'on explicitera.

(1) Application numérique : calculer D pour T 5 : --30°O. Calculer l'épaisseur 
de glace
après un jour, une semaine, un mois, six mois.

II. Effet d'une couche de neige

On souhaite étudier l'effet d'un couvert de neige sur la croissance de la 
glace. On suppose
qu'il existe une couche de neige d'épaisseur hn constante, présente dès 
l'instant initial sur une
très mince couche de glace (figure 2). On note TnG la température à l'interface 
neige / glace.

Figure 2

1. Quelle est la forme des profils de température au sein de la neige et de la 
glace en régime
quasi stationnaire ? Quelle condition doit être vérifiée à l'interface neige / 
glace ?

2. Soit JQZ la composante verticale de la densité de courant d'énergie ÎQ. 
Exprimer JQZ en
fonction de TnG ---- T S; puis de TF ---- T ng. Exprimer alors JQZ en fonction 
de TF --- TS et de £(t).

3. En déduire la nouvelle équation différentielle portant sur EUR . Montrer que 
la solution satis--

faisant aux conditions initiales est :

EUR(t) = \/2Dt +£ä ---- &

où {n est une longueur caractéristique que l'on explicitera.

4. Application numérique : Calculer l'épaisseur de glace obtenue après un jour, 
une semaine,
un mois et six mois pour TS : --30°C et hn : O, 2 m.

5. La neige joue--t--elle un rôle dans la croissance des couverts de glace ?
III. Variation saisonnière de la glace arctique

Dans cette partie, toutes les températures sont exprimées en degré Celsius et 
toutes les
durées en jour. On admet que l'évolution de la banquise au--delà du cercle 
polaire est entièrement
contrôlée par l'équilibre qu'elle entretient avec l'atmosphère. Un modèle 
simple prédit que le flux
surfacique d'énergie reçue par la banquise est de la forme

JQ(O_) = Bi(Ti -- T)

où T est la température de surface de la banquise.

Les paramètres B.-- et T.; peuvent prendre deux valeurs suivant la saison. On 
admettra qu'il
n'existe que deux saisons appelées saison chaude J et saison froide N. Chacune 
dure six mois.
On ne prend pas en compte la salinité de l'eau de mer; on considère que la 
banquise gèle à 0°C
et qu'elle est entièrement caractérisée par sa température de surface T (L') 
(en contact avec l'air)
et son épaisseur h(t) (figure 3). On se place dans l'approximation 
quasi--stationnaire (cf. 1.3.) et
l'on note t1/2 la durée d'une demie année.

Figure 3

La saison froide

Au début de la saison froide, la banquise a une épaisseur ho et une température 
uniforme de

0°C.

1. Première phase. On admet que la banquise ne fait que se refroidir et son 
épaisseur reste
égale à ho. On modélise a tout instant la distribution de température de 0°C à 
T(t) dans la
banquise par une loi linéaire.

a) Quelle quantité d'énergie (par unité de surface) doit--on fournir à la 
banquise quand sa
température de surface change de dT '?

b) En déduire l'équation d'évolution de T (t)

c) On admet que cette phase dure tant que le flux thermique dans la banquise 
calculé dans
ce modèle reste inférieur au flux surfacique. A quelle température TO a--t--on 
égalité des densités

de courant thermique en surface '?
(1) Au bout de quelle durée to la température de surface a--t-elle atteint T 0 ?

O t d = ----------, h : --.
n m ro mm 70 ZBN N BN

e) Application numérique : calculer h N puis T 07 T0 et to pour une épaisseur 
initiale ho de
1 m, 3 m et 5 m.

2. Deuxième phase : la couche de glace se met à croître; on suppose toujours la 
distribution
de température linéaire mais avec un flux thermique égal à celui imposé à la 
surface.

a) Exprimer la densité de courant thermique au sein de la banquise en fonction 
de T (t) et
de h(t). Montrer que la condition d'égalité des flux détermine T en fonction de 
h; exprimer T

en fonction de h a l'aide de TN et de hN.

b) Reprendre dans le cadre de ce modèle l'équation (l).

Lh2 LÀ
__pG N -- __P_G__g__ Montrer que, pour to < 75 < t1/2, 2ÀgTN _ 2Bä,TN On pose TN : t--t h ? h(t)--hN{ °+(1+--°) --1 TN hN c) Application numérique : calculer l'épaisseur de la banquise mm et sa température de surface T1/2 a la fin de la saison froide pour une épaisseur initiale ]'L0 de 1 m, 3 m et 5 m. La saison chaude L'apparition du soleil change le bilan thermique au niveau de la surface de la banquise. Il devient positif et la banquise va se réchauffer avant de fondre en surface. 3. Troisième phase. La banquise commence d'abord par se réchauffer jusqu'à ce que toute sa masse atteigne O°O. On adopte le même modèle qu'en III.1. GCGh . a) On pose 71 : L--Æ. Montrer que la durée t1 de ce réchauffement s'écr1t 23, T t1=7'11n( --Î1_ÎÇÊ>.

b) Application numérique : calculer t1 pour une épaisseur initiale ho de 1 m, 3 
m et 5 m.
4. Quatrième phase. La banquise fond par sa surface au contact de l'air.

&) Montrer que, dans cette étape, l'épaisseur de la banquise décroît 
linéairement avec le
temps.

b) Application numérique : calculer les épaisseurs obtenues à la fin de la 
saison chaude
pour un couvert en début de saison froide ho de 1 m, 3 m et 5 m.

À partir des résultats numériques, montrer que ce modèle rend plausible pour 
h(t) l'existence
d'une solution périodique de période un an.