X Physique et Sciences de l'ingénieur MP 2022

ÉCOLE POLYTECHNIQUE

CONCOURS D'ADMISSION 2022

MARDI 26 AVRIL 2022
14h00 -- 18h00
FILIÈRE MP --- Épreuve n°4

PHYSIQUE ET SCIENCES
DE L''INGÉNIEUR (X)

Durée : 4 heures

L'utilisation de calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.

Cette composition ne concerne qu'une partie des candidats de la filière MP, les 
autres
candidats effectuant simultanément la composition d'informatique À.

Pour la filière MP, il y a donc deux enveloppes de sujets, pour cette séance.
10

15

20

25

30

35

40

Propriétés et applications des semi-conducteurs

Nous nous proposons d'étudier les propriétés électriques des matériaux 
semi-conducteurs tels que sont,
par exemple, le silicium et le germanium, ainsi que quelques-unes de leurs 
applications dans des dispositifs
électroniques d'usage courant.

Cette étude comprend trois parties. La première est consacrée à la 
caractérisation d'un semi-conducteur.
La deuxième s'intéresse au principe de la diode et la troisième à celui du 
transistor bipolaire. Cette dernière
partie porte essentiellement sur l'étude d'une structure amplificatrice de 
tension élémentaire. La deuxième
partie est étroitement liée à la première. L'étude de la structure 
amplificatrice peut être abordée de facon
indépendante des études précédentes.

--+ Les applications numériques seront effectuées avec la précision qu'un 
calcul à la main permet aisément, et
sans excéder deux chiffres significatifs. Les ordres de grandeur seront donnés 
avec un seul chiffre significatif.

--+ Les réponses aux questions relevant de considérations qualitatives devront 
être argumentées.

--+ Les références des questions abordées devront être indiquées de façon 
claire.

Présentation du contexte de l'étude.

O Un semi-conducteur se situe, vis-à-vis de la conduction électrique, entre un 
diélectrique et un métal.
Il se distingue toutefois fondamentalement de ce dernier par la particularité 
de devenir un isolant parfait à
température nulle (et en l'absence de toute autre excitation extérieure). Cette 
propriété est une conséquence
de la façon dont les états quantiques des électrons, au sein du cristal 
semi-conducteur, se répartissent selon
leur niveau d'énergie. Cette répartition présente :

e un intervalle d'énergie presque entièrement occupé (et entièrement peuplé à 
température nulle) dont
la limite supérieure est notée Ev. Il est appelé bande de valence et est noté 
BV :

e un intervalle d'énergie faiblement occupé (et entièrement vide à température 
nulle) dont la limite
inférieure est notée Ec (Ec > Ey). Il est appelé bande de conduction et est 
noté BC.

Ces deux intervalles sont séparés par une bande intermédiaire, dépourvue de 
tout niveau accessible (donc
toujours inoccupée), de largeur EG = Ec -- Ey. Elle est appelée bande interdite 
et est notée BI.

Cette répartition particulière des niveaux d'énergie selon des bandes 
disjointes est la réminiscence des
niveaux discrets d'énergie électronique d'un atome isolé.

Les électrons occupant la bande de valence et ceux occupant la bande de 
conduction se trouvent dans des
états quantiques différents, leurs propriétés sont alors elles-même 
différentes. Par ailleurs, la bande de valence
étant fortement peuplée, plutôt que de considérer ses électrons nous 
considérons ses vacances électroniques
que nous appelons "trous". Ainsi, un électron de la bande de valence passant 
d'un site atomique à un autre est
interprété comme un trou transitant entre ces sites en sens inverse. La charge 
d'un trou est l'opposée de celle
d'un électron. Les trous de la bande de valence ainsi que les électrons de la 
bande de conduction participent
conjointement à la conduction électrique dans le semi-conducteur. Lorsque cela 
paraîtra nécessaire nous
appellerons ces porteurs de charge électrique "trous libres" et "électrons 
libres"

Ces propriétés sont illustrées sur la figure (1), appelée "schéma de bande" À 
température non nulle
(T'> 0 K) une population d'électrons occupe la bande de conduction, au 
détriment de celle de valence. Les
transitions interbandes de BV à BC (génération de paires électron-trou) et 
celles de BC à BV (recombinaison
de paires électron-trou), illustrées sur la figure par des traits pointillés 
verticaux fléchés, se compensent (en
moyenne) à l'équilibre thermodynamique à la température T'.
45

E Population d'électrons (libres)

DA
Bande de BC vide Las
conduction
Ëc

Transitions interbandes
Population de trous (libres)

EG Bande interdite

--

Bande de

BV saturée
valence

T=0K T>OK

FIGURE 1 --- Illustration de l'occupation des niveaux électroniques dans un 
semi-conducteur à partir de son
schéma de bande. L'axe des ordonnées porte l'énergie Æ des niveaux 
électroniques dans le cristal semi-
conducteur. Pour T > 0 K un équilibre thermodynamique s'établit entre les 
transitions interbandes de BV
à BC et celles de BC à BV.

O Afin d'adapter les propriétés électriques d'un semi-conducteur aux besoins on 
substitue, en très faible
proportion, des atomes de son réseau cristallin par des atomes d'impureté. 
Cette opération s'appelle le
dopage !. Ces impuretés, de valence différente de celle des atomes formant le 
cristal semi-conducteur, font
apparaître des niveaux discrets dans la bande interdite. Il existe des 
impuretés de type "donneur" (d'élec-
trons), notées D et des impuretés de type "accepteur" (d'électrons), notées A. 
Nous notons N5 et NA leurs
concentrations respectives, En et EA1 les niveaux respectifs qu'elles 
introduisent dans la bande interdite.
Nous posons 0En = Ec -- En (En > 0 J) et ÔEa = E1 -- Ey (ÔEA > 0 J). Nous 
traduisons de façon
synthétique les processus de libération et de capture électroniques par les 
mécanismes suivants :

Donneur : {SC + D} + excitation --+ DT + {SC + électron libre de BC}

Accepteur : {SC + A} + excitation --> A7 + {SC + trou libre de BV} d)
SC désigne le semi-conducteur, D* un atome donneur ionisé et A7 un atome 
accepteur ionisé, conséquences
respectives de la libération (vers BC) ou de la capture (depuis BV) d'un 
électron. L'excitation produisant
l'ionisation des atomes d'impureté peut être d'origine thermique (la seule que 
nous considérerons) ou pho-
tonique. Les schémas de bande respectifs d'un semi-conducteur comportant des 
impuretés de type D (noté
SCN) et de type À (noté SCP) sont illustrés sur la figure (2). Les lettres N et 
P apparaissant respectivement
en fin des abréviations SCN et SCP font référence à la nature négative ou 
positive des porteurs de charges
libres apportés par les impuretés D et A.

À

E SCN SCP
Bande de
conduction
Ëc A A
À Y E
EG | iBande interdite Transitions D Transitions E
À A
Ey Y :
Bande de
valence
T>OK

FIGURE 2 -- Schémas de bande correspondant à un SCN et un SCP. À la température 
T > 0 K, un équilibre
thermodynamique s'établit entre les transitions montantes et descendantes entre 
BV et BC d'une part, et
entre le niveau En (ou FA) et BC (ou BV) d'autre part.

1. Il s'effectue, par exemple, par diffusion à haute température ou 
implantation ionique.

-- Page 2/18 -
50

55

60

65

70

80

85

Notations et données générales.

Nous appelons semi-conducteur intrinsèque (noté SCi) un semi-conducteur sans 
impureté et semi-conducteur
extrinsèque, c'est-à-dire dopé, (noté SCe) un semi-conducteur SCN ou SCP.

Pour un SCi tout comme pour un SCe, nous notons p le nombre de trous (libres), 
par unité de volume,
de la bande de valence et n celui des électrons (libres) de la bande de 
conduction. Dans la suite, nous
appellerons "concentration" ces nombres par unité de volume.

Les grandeurs et notations particulières à cette étude qui apparaissent dans la 
liste ci-dessous et n'ayant
pas encore été introduites seront présentées le moment venu.

e Constante de BOLTZMANN : kp = 1,38 x 107% J.K-!{

e Constante de PLANCK : hk = 6,63 x 10% J.s

e Charge élémentaire : e = 1,60 x 1071? C

e Charge d'un porteur (notation générique) : q = +e

e Masse électronique : me = 9,11 x 10 %T kg

e Masse effective des électrons dans la bande de conduction : ma
e Masse effective des trous dans la bande de valence : my

e Température : T

e Paramètre : 5 = 1/(kp7)

e Paramètre : K = Ge

e Température ambiante : 7, = 300 K

e Largeur de la bande interdite : EG = Ec -- Ey

e Écart entre Ec et le niveau donneur Ep : Ep = Ec -- Ep
e Écart entre le niveau accepteur A et Evy : ÔEa = E1 -- Ey
e Concentration en atomes donneurs : Np

e Concentration en atomes accepteurs : NA

Les applications numériques et les calculs d'ordre de grandeur seront effectués 
avec les valeurs suivantes :
K = 40 V ! (pour T = T,); Ec = 1 eV; ÔEp = 6Ea = 0,01 eV; Na = Np = 10! cm *. 
Par ailleurs, nous
considérerons que My © mo Mme (pour le semi-conducteur considéré).

1 Propriétés électriques d'un semi-conducteur.

Nous considérons un semi-conducteur à l'équilibre thermodynamique à la 
température T°.

1.1 Aspects qualitatifs.

1. Exprimer la largeur EG de la bande interdite en fonction du produit k87, 
(pour cet ordre de grandeur
on ne conservera qu'un chiffre significatif). Indiquer quelle est la 
conséquence de ce résultat sur la
conductivité électrique d'un semi-conducteur intrinsèque à température 
ambiante. Préciser le sens
d'évolution de cette grandeur avec la température. Est-ce également le cas pour 
un métal ?

2. En introduisant les ordres de grandeur nécessaires, donner une estimation du 
nombre d'atomes de
semi-conducteur par unité de volume, noté N,+, en cm *. Donner l'ordre de 
grandeur du rapport
N4/Nn et commenter ce résultat.

3. La figure (3) représente l'allure (il s'agit donc d'un tracé qualitatif) de 
la dépendance de la concen-
tration n avec 5 = 1/(k8T), pour un semi-conducteur SCi (c'est-à-dire sans 
impureté) et un semi-
conducteur de type SCN (c'est-à-dire dopé avec des impuretés de type D, 
fournissant des électrons
libres).

-- Page 3/18 -
90

95

100

In(n/n*)

Régime plateau
du SCN

Be

Y

SCi SCN

FIGURE 3 -- Allure générale de la dépendance de la concentration n d'électrons 
libres de la bande de
conduction en fonction de 5 = 1/(k8T°), pour un semi-conducteur SCi et un 
semi-conducteur SCN. Le tracé
en trait plein est relatif au SCN et celui en trait pointillé au SCi. Sur le 
domaine ®, ces deux tracés se
superposent (sensiblement).

Proposer une interprétation de cette dépendance, sur chacun des trois domaines 
©, @ et @. Pour les
valeurs données en fin de la partie introductive, déterminer les ordres de 
grandeur des valeurs des
températures T, et Ti correspondant respectivement à 5, et 5;. Indiquer 
également celui de la valeur
de n*. Préciser sur quel domaine se situe la température ambiante T,. Indiquer 
sur quel(s) domaines(s)
nous pouvons considérer que les impuretés (ici de type D) sont totalement 
ionisées.

4. Proposer une application (simple) d'un semi-conducteur SCi inspirée 
directement de la figure (3).

1.2 Modélisation et caractérisation d'un semi-conducteur.

Il s'agit, en premier lieu, d'exprimer les concentrations n et p d'électrons de 
BC et de trous de BV,
respectivement. La bande de conduction représente un continuum d'états 
électroniques accessibles. Nous
admettons que le nombre élémentaire d&c de ces états, situés dans l'intervalle 
[E, E + dE] de cette bande,
par unité de volume, s'exprime par la relation suivante ? :

| 827
dGe = ge(E)dE où gc(E)= 5 -me (E - Ec)"? (2)

Parallèlement, nous admettons que le nombre moyen * d'électrons occupant un 
état d'énergie E, indifférem-
ment de BV ou de BC, d'un semi-conducteur maintenu à l'équilibre thermique à la 
température T', s'exprime
par la relation suivante :

1
_ 1+explf(E -- n)]

fe(E) où B--=l/(kBT) et u--=CsteEURER (3)
Le paramètre y permet de caler la fonction f, sur l'axe des énergies au regard 
du nombre total de particules
à placer sur l'ensemble des états qui leurs sont offerts, en respectant les 
contraintes de nature quantique.

5. Esquisser la représentation graphique de la fonction f. en précisant les 
valeurs particulières qui appa-
raissent. Déterminer l'intervalle caractéristique d'énergie AE, exprimé en kBT, 
sur lequel la fonction
fe varie significativement.

6. Nous considérons que la largeur de BC est suffisante pour qu'il devienne 
légitime de rejeter à l'infini
sa borne supérieure. Donner alors l'expression, sous forme d'une intégrale, de 
la concentration n.

2. Sous certaines hypothèses supposées vérifiées.
3. On peut interpréter cette moyenne comme une moyenne sur le temps.

-- Page 4/18 -
105

110

115

120

125

7. Nous nous plaçons dans le cas où explB(Ec -- u)] > 1, sur l'intervalle de 
température que nous

considérons (hypothèse H, 1). En posant x = S(E -- Ec), établir que la 
concentration n des électrons
libres de BC s'exprime selon la relation suivante :

n = Noexpl-5(Ec -- p))] (4)

où Nc est une concentration caractéristique, propre à BC, que l'on exprimera en 
fonction de h, kB,
mo et T.

--+ On donne la valeur de l'intégrale généralisée suivante :

TT 1/2 _ VT
I -] dx æl/2 exp(--x) -- 5. (5)

(J Résultat complémentaire, n'étant pas a établir :
Une démarche analogue, dans le cas où exp{B(u -- Ey)] > 1 (hypothèse H, 2), 
conduit à l'expression
suivante de la concentration p des trous libres de BV :

p = Nyvexp|-B(u -- Ev)] (6)

où N,,; est une concentration caractéristique, propre à BV, s'exprimant de la 
même façon que NG, en
remplaçant Mc par My.

(ÜJ Dans la suite de l'étude nous négligerons la dépendance de Nc et de Ny avec 
la température devant celle
concernant le terme exponentiel.

8.

10.

11.

12.

À partir des relations (1) et (6) exprimer le produit np en faisant apparaître 
la largeur Eg de la bande
interdite. Exprimer également le paramètre 4 en faisant apparaître la moyenne 
(Ey + Ec)/2.

-- On retiendra que ces relations sont générales et donc applicables aussi bien 
pour un SCi que pour
un SCe (à l'équilibre thermodynamique).

. Préciser la relation liant n à p pour un SCi. En déduire l'expression de n 
dans ce cas, que nous noterons

ni. Préciser les points de l'analyse qualitative conduite en réponse à la 
question (3) qu'elle corrobore.

-- On retiendra que le produit np, aussi bien pour un SCi que pour un SCe (à 
l'équilibre thermodyna-
mique), peut alors s'écrire np = n;°, la concentration caractéristique n; 
dépendant des propriétés du
semi-conducteur ainsi que de sa température.

Exprimer le paramètre 4 dans le cas d'un SCi, que nous noterons ji. Vérifier 
que ce résultat justifie
les hypothèses H, 1 et H,2 adoptées a priori dans la question (7), pour T = 7;.

Ü Dans le cas d'un SCe, en particulier pour les valeurs choisies des 
concentrations NA et N5,, on établit
que c'est également le cas.

La relation établie en réponse à la question (9) conduit à la valeur n;j 10 em 
Y. Comparer cette
valeur au nombre (moyen) ngp, par unité de volume, d'atomes ou de molécules 
d'un gaz parfait à la
pression atmosphérique et température ambiante. Commenter brièvement ce 
résultat.

Nous considérons un SCN dans le domaine © de la figure (3). Exprimer le rapport 
de concentration
p/n et donner l'ordre de grandeur de sa valeur. Commenter ce résultat.

[ Dans toute la suite de l'étude nous nous placerons sur le domaine de 
température correspondant au
régime plateau (domaine ® de la figure (3)) des semi-conducteurs SCN ou SCP que 
nous considérerons.

-- Page 5/18 -
130

135

140

145

150

155

2 Étude de la diode PN.

Une diode PN (ou semi-conducteur PN) est un monocristal de matériau 
semi-conducteur dont une partie
est dopée par des atomes donneurs d'électrons (côté N) et l'autre partie par 
des atomes accepteurs d'électrons
(côté P). Elle est représentée par le symbole P --4-N. C'est la zone de 
transition entre ces deux parties, appelée
jonction, qui confère à la diode des propriétés électriques particulières. Nous 
nous proposons d'étudier les
phénomènes qui en sont l'origine.

Nous considérons que le semi-conducteur PN est un milieu unidimensionnel, selon 
l'axe (OX) (se reporter
à la figure (4)). Nous notons :

e Net NA les concentrations respectives en atomes donneurs (côté N) et 
accepteurs (côté P) ;

en =n(X) et p = p(X) les concentrations respectives d'électrons libres de BC et 
de trous libres de BV,
le long du semi-conducteur.

2.1 Jonction PN à l'équilibre.

Les parties P et N ne sont soumises, ici, à aucune différence de potentiel 
extérieure. Aucun courant ne
circule donc dans le semi-conducteur qui est alors à l'équilibre 
thermodynamique à la température T'.

Imaginons que le semi-conducteur PN soit réalisé par la simple mise en contact 
d'une partie P avec une
partie N. Les concentrations, en électrons libres d'une part et en trous libres 
d'autre part, de ces parties
étant différentes, il s'établit alors un phénomène de migration croisée de ces 
porteurs de charge depuis les
zones où leur concentration est élevée vers celles où elle est plus faible ; 
les électrons migrent ainsi de N vers
P et les trous de P vers N. La figure (4) donne un descriptif de la situation 
lorsque l'équilibre est atteint.

} P Frontière PN N |
Neutralité Neutralité
électrique e OE électrique
locale locale
O
X, 0 Xp X

Zone de charge d'espace (ZCE)
(globalement neutre)

FIGURE 4 -- Représentation de la situation à l'équilibre du semi-conducteur PN.

Cette migration des porteurs de charge libres crée un déficit dans leurs zones 
de provenance respectives.
Ce déficit fait apparaître les charges des impuretés ionisées (atomes fixes) 
dans un certain domaine [X 1, XD]
de part et d'autre de la frontière PN, appelé zone de charge d'espace (ZCE). 
Nous notons p = p(X) la
densité volumique de charge qui apparaît alors dans le semi-conducteur.

Afin de simplifier les calculs, nous modélisons cette situation électrostatique 
en adoptant la répartition de
la densité volumique de charge indiquée dans le tableau (1).

P N
Domaine | X < Xa | XA< X <0|0 Neutralité
électrique électrique
locale oO D locale
(1) (2) (3) (4)
D «
X, 0 x Xh X
1 CS 0 *
--_
V

FIGURE 7 -- Semi-conducteur PN connecté à un générateur de tension imposant la 
différence de potentiel
V. Ce circuit est alors parcouru par le courant 1 = I(V).

| Domaine du semi-conducteur | P | N |

Concentration en trous libres pp = pp(X) | px = pPN(X)
Concentration en électrons libres | np = np(X) | nx = nN(X)

TABLEAU 3 -- Notations adoptées des concentrations de porteurs de charge libres 
(trous et électrons) dans
le semi-conducteur PN.

-- Page 9/18 -
2

a

5

220

225

235

240

245

Il s'agit d'établir la relation liant le courant J à la différence de potentiel 
V, dans le cadre des quatre
hypothèses suivantes :

e (H1) La jonction PN est en situation de faible déséquilibre, la relation (10) 
reste alors applicable en
remplaçant Va par Va -- V (VI Va):

e (H2) Le déséquilibre affecte essentiellement, en effet relatif, les 
concentrations np dans le domaine
(1) et px dans le domaine (4). Par conséquent, sur le domaine (1), pp = NA, et 
sur le domaine (4),
nn = Np (comme dans le cas où V = 0 (V));

e (H3) Les domaines (1) et (4) restent localement neutres et ils ne sont le 
siège d'aucune chute ohmique
de potentiel ;

e (HA) Les courants d'électrons libres d'une part et de trous libres d'autre 
part transitant à travers la
ZCE (domaine [X1, Xp|) restent uniformes sur ce domaine. En d'autres termes, 
nous négligeons tout
phénomène de génération ou de recombinaison de paires électron-trou dans cette 
zone.

Par ailleurs, nous considérons les abscisses X'1 et À comme indépendantes de la 
différence de potentiel V
appliquée au semi-conducteur PN.

25. Lorsque V Æ 0 (V), les courants de diffusion et de conduction ne 
s'équilibrent plus (se reporter à la
question (20)) ce qui a pour conséquence le passage d'un courant à travers la 
ZCE (et donc la diode).
Dans le cas où V > 0 (V), indiquer quel courant, de diffusion ou de conduction, 
l'emporte sur l'autre.

26. À l'aide de la relation (10), adjointe à l'hypothèse H1, exprimer la 
concentration px(Xp) en fonction
de nj, Np et KV. Exprimer ensuite, en fonction de n;, ND et KV, l'excès 
(algébrique) de concentration
de trous ôpx(Xp) par rapport à la situation d'équilibre (c'est-à-dire 
correspondant à V = 0 (V)).

e Nous nous intéressons au domaine (4) du semi-conducteur PN représenté sur la 
figure (7). Nous nous
plaçons dans le repère local (Dx) dont l'origine se situe à la frontière des 
domaines (3) et (4) (cela revient à
effectuer le changement de variable X = X5+x). Les trous ayant transité à 
travers la ZCE, depuis le domaine
(1) jusqu'à la frontière (3)-(4), diffusent ensuite dans le domaine (4). Ces 
trous étant de concentration
différente de celle d'équilibre, il apparaît un phénomène de recombinaison 
(dans le cas où V > 0 (V)) ou de
génération (dans le cas où V < 0 (V)) de paires électron-trou. Nous modélisons linéairement *® ce processus de rappel à l'équilibre en exprimant le nombre S de trous disparaissant (algébriquement), par unité de volume et unité de temps, selon la relation suivante : 2 SG) = PE où épyte) = pute) -- À (12) Le paramètre phénoménologique 7? désigne la constante de temps propre à la cinétique des transitions montantes et descendantes entre BV et BC. Par ailleurs, nous notons DP le coefficient de diffusion des trous dans le domaine (4) et posons Lp = YDpr7p. Il s'agit de la longueur caractéristique associée au processus de diffusion-recombinaison. ( Nous rappelons que l'expression du flux diffusif particulaire est donnée par l'équation (8). 27. En établissant un bilan gain-perte sur le nombre de trous libres, appliqué à une portion élémentaire Lx, x + dx] du domaine (4), sur l'intervalle de temps [t,t + dt}, établir l'équation différentielle vérifiée par la fonction Ôpx = ôpx(x), en régime stationnaire. On y fera apparaître la longueur caractéristique Lp. 28. À partir des réponses aux questions (26) et (27), exprimer la fonction 6px = 6px(x). Nous supposerons que la longueur du domaine (4) excède très largement la longueur caractéristique Lp. 29. En déduire l'expression de la densité de courant des charges portées par les trous libres, Jp [A :m *|] transitant à travers la ZCE, de P vers N, algébriquement (selon le signe de la différence de potentiel V). On y fera apparaître le rapport eDpn?/(NoLp). 1 5. Dans le cas d'une situation faiblement hors équilibre. -- Page 10/18 - 250 255 265 Dans le domaine (4), le processus de recombinaison (par exemple, si l'on suppose V > 0 (V)) opère progres-
sivement un passage de relai entre un courant de trous, sur une longueur 
caractéristique Lp, et un courant

d'électrons au-dela.

Par ailleurs, la condition de neutralité* électrique locale du domaine (4) 
(hypothèse H3) nécessite que la
concentration nn se trouve également modifiée (ônn(x) = ôpx(x)). En revenant à 
l'hypothèse H2, on notera
que l'on a effectivement |ônx|/Np EUR lôpx| /(n£/N5).

30. Sur la base de l'expression de JP obtenue en réponse à la question (29), 
donner celle de la densité
de courant des charges portées par les électrons libres, JN [A-:m *|, 
transitant à travers la ZCE, de
N vers P, algébriquement (selon le signe de la différence de potentiel V 
appliquée). On introduira les
grandeurs DX et Lx, homologues respectifs des grandeurs DEP et Lp pour les 
trous. En déduire que la
densité de courant de charge totale J [A :m *] traversant le semi-conducteur PN 
(algébriquement de
P à N) s'exprime par la relation suivante :
TJ = Jp + IX = inv (exp {KV } -- 1) (13)
On exprimera la densité de courant caractéristique J,,, en fonction des 
rapports eDpn?/(NiLp) et
eDxn?/(NALx). Proposer une interprétation physique de cette grandeur.
Indication : On s'appuiera sur les propriétés de symétrie de la structure PN, 
sur l'hypothèse H4 pré-
sentée dans l'introduction de la sous-section (2.2), et enfin sur le fait que J 
est uniforme le long du
semi-conducteur PN.
31. La figure (8) représente la dépendance, obtenue expérimentalement (pour T' 
= T;), du courant 1
traversant une diode 1N4148 (du domaine P au domaine N) avec la différence de 
potentiel V appliquée
à ses bornes.
0.08 - 4 -
o
0.07 + 2 ur
0.06 - ° 0 - »
'
+ Ce
0.05 - ; 2 s°
] TS | P
] + RS
0.04 D 4 Le
* E , +°
0.03 - + -6 #°
| + ] e
] + ] +
0.02 - + -8 - s*
° +
0.01 - o 10 : .--
Y 1e
| Ce |
0 - A r7--rdt--jA 441 RAT ARR A OS PS 12 + ---- ----
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 08 0.9 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
V(V) V(V)

FIGURE 8 -- Caractéristique expérimentale 7 = 1(V) d'une diode 1N4148 (pour T = 
T, et V > 0 (V)).
L'axe des ordonnées du tracé de droite porte le logarithme népérien du rapport 
1/10 où 10 est un courant
de référence.

Indiquer la valeur du courant de référence 1, qui a été choisie. Comparer 
qualitativement la dépendance
expérimentale 1 = I(V) à celle prévue par le modèle qui a été développé. 
Déterminer la valeur "expéri-
mentale" du paramètre K et la comparer à celle attendue. Proposer des 
explications possibles à l'écart
constaté. On mettra éventuellement en cause, argument à l'appui, certaines des 
quatre hypothèses
présentées dans l'introduction de la sous-section (2.2).

6. Cette condition de neutralité traduit, d'une manière simple, l'efficacité de 
l'appel (par interaction coulombienne) d'un
électron à chaque arrivée d'un trou.

-- Page 11/18 -
270

275

280

285

3 Transistor bipolaire.

Un transistor bipolaire (TBIP) se présente comme deux diodes placées 
tête-bêche. Il comprend ainsi trois
domaines présentant des dopages de natures alternativement différentes, PNP ou 
NPN. C'est ce dernier
cas que nous étudierons. Ces domaines sont appelés collecteur (C), base (B) 
(domaine central) et émetteur
(E). Comme dans le cas de la diode, il est essentiel que le dopage soit 
effectué sur un même monocristal.
C'est l'intime proximité des deux jonctions base-émetteur et base-collecteur 
qui est à l'origine de l'effet
transistor. Cet effet permet le contrôle d'un courant de travail par un courant 
de commande beaucoup plus
faible. L'une de ses applications très courantes se rapporte à l'amplification 
de signaux électriques. La figure
(9) représente la structure d'un TBIP dans un environnement électrique 
constitué de deux générateurs de
tension qui fixent les différences de potentiel Vgr et Vcr. Ces générateurs 
sont alors respectivement traversés
par les courants JB et I.

Collecteur N Base P Émetteur N
ZCE BC ZCE BE

Noc le N 8 OO Nr
(Kb) (1)

u WB U
_..--. + _..L.l._. >
0 1 ! 2 3 ! 4 5
© °
| VcE I ----
«!_ D B Ve

FIGURE 9 -- Structure générale d'un transistor bipolaire NPN. Ce transistor est 
placé dans un environnement
électrique constitué de deux générateurs de tension fixant les différences de 
potentiel VgE et Ver. La diode
représentée entre parenthèses dans chacune des ZCE indique la polarité de la 
jonction PN correspondante.

3.1 Gain en courant.

Il s'agit d'établir le lien entre les courants de commande /8 et de travail /c. 
Nous notons respectivement
Nc, Nag et ND les concentrations en atomes donneurs (d'électrons) du 
collecteur, accepteurs (d'électrons)
de la base et donneurs (d'électrons) de l'émetteur. Nous adoptons les valeurs 
suivantes : Npc = 10!7 cm *:
Nap = 10% cm *; Npe = 10!° cm *. Nous notons par ailleurs DP le coefficient de 
diffusion des trous dans
l'émetteur, Lp la longueur caractéristique de diffusion-recombinaison dans 
l'émetteur, DXN le coefficient de
diffusion des électrons dans la base, L\ la longueur caractéristique de 
diffusion-recombinaison dans la base
et WR la largeur de la base. Cette dernière vérifie l'inégalité suivante, 
condition sine qua non d'existence de
l'effet transistor :

We EUR Lx (14)

Nous considérons toujours que les atomes d'impuretés donneurs et accepteurs 
sont totalement ionisés
(régime © de la figure (3)) et restons dans le cadre des hypothèses présentées 
dans l'introduction de la
sous-section (2.2). Nous rappelons la relation générale vérifiée par les 
concentrations n d'électrons libres et
p de trous libres, à l'équilibre : np = n£ (établie à la questions (9)).

La figure (10) représente les profils des concentrations n d'électrons libres 
et p de trous libres le long de
la structure NPN à l'équilibre (Vge = VcE = 0 (V)). Les indices C, B et E se 
rapportent aux domaines
respectifs du collecteur, de la base et de l'émetteur.

-- Page 12/18 -
290

295

300

À À
_: | Collecteur N _ZCE BC. Base P ZCEBE. Emetteur N |
£ | W  i = Ne |
S B [
5 __nc=Nnc © ON © ©)
2: I I ( ... |
2: | | | PR=Nx : | |
OU: | | | | | |
| | | |
| | | ) | | |
| ) | AB = Na | | |
I I | | | I
pe= nr /Noc | PE= ni /NpE
--E denim. ini nininimenie L | Dino nininininimenres L | ini nininiminie l 
iiniminimimimineee »-
0 1 2 3 4 5 X

FIGURE 10 --- Profils des concentrations n d'électrons libres et p de trous 
libres le long de la structure NPN,
à l'équilibre (VBg = VcE = 0 (V)).

L'application, à chacune des jonctions BC et BE, des résultats obtenus dans la 
sous-section (2.2) conduit
aux expressions suivantes de la concentration ng aux frontières (2) et (3) de 
la base :

2
nn:
np (2) -- N.- EXP (KV8c)
S (15)
nn:
ng (3) -- Ne EXP (K Var)

( Nous conduirons l'étude qui va suivre dans le cas où exp (KVgE) > 1 et 
exp(KVgc) & 1. Ces deux
conditions définissent le mode de fonctionnement dit normal du TBIP.

( Nous rappelons l'expression du flux diffusif particulaire surfacique, 
(équation (8) établie dans la sous
sous-section (2.1.2)) :
oC

xt) = ---D-- 16

(xt) Sa (16)

C' désigne la concentration (nombre par unité de volume) et D [m°:s71] le 
coefficient de diffusion des

particules considérées. Ce flux exprime le nombre de particules traversant 
(selon les abscisses x croissantes,

algébriquement) l'unité de surface par unité de temps.

32. Justifier, d'une part que l'on peut considérer que les électrons traversant 
la frontière (3) de la base, en
provenance de l'émetteur, parviennent quasi intégralement à sa frontière (2), 
d'autre part qu'ils sont
alors drainés, à travers la ZCE BC, en direction du collecteur. Concernant ce 
dernier point, on pourra
se reporter à la réponse donnée à la question (25).

33. Représenter (qualitativement) l'allure du profil de concentration np = 
ng(X) des électrons libres dans
la base et indiquer le sens du flux diffusif /n auquel il correspond. En 
déduire l'expression correspon-
dante de la densité surfacique de courant de charge Jc traversant le 
collecteur. Nous considérerons
que ce courant électronique constitue la composante majeure du courant de 
collecteur.

34. En négligeant le processus de recombinaison (modélisé par la relation (12) 
exprimant le taux volumique
de recombinaison algébrique) dans la base, la densité surfacique de courant de 
base JB s'exprime par
la relation suivante (dans le cadre des hypothèses adoptées) :

eDp n*
Lp NE

JB --= EXP {KVgE} (17)
Exprimer le rapport + = Jc/JB (gain en courant). Analyser ce résultat. Donner 
l'ordre de grandeur
de sa valeur pour Lp © 10 X* W8 et Dp © DN.

La prise en compte du processus de recombinaison conduit à un ordre de grandeur 
de quelques dizaines à
quelques centaines, ce que confirment les mesures. La participation de ce 
phénomène au courant de base
étant également proportionnelle au facteur exp {KVgE} (en régime normal de 
fonctionnement), le rapport
y demeure une constante.

-- Page 13/18 -
305

310

315

320

3.2 Polarisation du transistor.

Afin de pouvoir choisir un point de repos (ou de polarisation) P(V£L, 10, V@, 
10) adapté à l'utilisation
future du transistor, il est nécessaire de le placer dans un circuit de 
polarisation. Ce circuit est représenté
sur la figure (11) de gauche. Il est constitué d'une alimentation fournissant 
la tension continue E et de
deux résistances RB et Rc. Le transistor T est représenté par son symbole où 
sont repérés sa base (B), son
collecteur (C) et son émetteur (E). Le commutateur $ est ici en position (S1) 
(polarisation directe de la
base). Nous ne nous préoccupons pas, dans cette sous-section (3.2), des signaux 
e et s (e = s = 0 (V)).

J

lo

(I)
Vo = Cste

(I) /4= Cste

SDY S DO

@--------
(S2)

|
|
|
|
Ra Re [
CD Ci D 2 .

I 0 V
|| B CE
l Ce BB J pe 1
(1) >| l ) T n
| | B s P
E
EUR
Référence des potentiels (M Ver = Cste \VsE (IV) 13 = Cste

FIGURE 11 -- Figure de gauche : transistor placé dans un circuit de 
polarisation (nous considérons, dans cette
sous-section (8.2) que e = s = 0 (V)). Figure de droite : réseau de 
caractéristiques (idéalisé) du transistor.
Un point de repos (ou de polarisation) P°, arbitraire, du transistor y est 
représenté.

Le transistor se présente comme un quadripôle dont les couples de variables 
d'entrée et de sortie sont
respectivement (Ve, 18) et (Vos, lc). Les résultats concernant la diode et le 
transistor que nous avons
établis incitent à décrire son fonctionnement sous la forme suivante :

qe -- f(1B, VcE)

(18)
IG = g(1B, Vox)

La figure (11) de droite traduit graphiquement les fonctions f et g (dans une 
situation idéalisée). Ce réseau
de caractéristiques comporte ainsi quatre quadrants (1), (11), (III) et (IV). 
Il décrit, sous forme graphique,
le fonctionnement du transistor.

35. Établir la relation liant /p à E, Ver et Rp. Établir également la relation 
liant Ze à E, Ve et Rec.
Traduire graphiquement ces deux relations sur la figure (11) de droite (à 
reproduire, sans le domaine
(IV)). Illustrer la détermination graphique du point de polarisation P°(V0., 
10, V&, 1) adopté par le
transistor dans son environnement de polarisation.

36. Nous choisissons E = 20 V et V£, = E/2. La valeur du gain en courant + = 
Ic/IB du transistor est
prise égale à 100. Par ailleurs, nous souhaitons, qu'au point de repos, le 
transistor dissipe sa puissance

maximale admissible Puy = 1 W. Déterminer les valeurs correspondantes des 
résistances RB et Ra,
ainsi que celle du courant Iê.

( Dans ces calculs, on tiendra compte du fait que y > 1 et que la 
caractéristique relative au quadrant
(T) est assimilable à celle de la diode représentée sur la figure (8) et donc 
que VS, & E.

-- Page 14/18 -
325

330

335

340

345

350

3.3 Régime dynamique du transistor autour de son point de polarisation.

En vue d'étudier l'amplification d'un signal de tension, décrivons le 
comportement du transistor vis-à-vis
des variations des tensions et courants autour de son point de polarisation 
P°(V£,, 10, VC, 19). De façon
générale, nous notons sous la forme X = XV + x une grandeur X (tension ou 
courant) où x représente sa
composante variable autour de sa composante de polarisation XV. Les variations 
de x sont supposées telles
que le TBIP fonctionne en régime quasi-statique (les équations décrivant son 
fonctionnement demeurent
alors celles obtenues en régime permanent).

Écrivons le développement linéaire des équations (18), dans le voisinage de P9, 
sous la forme suivante

(modèle dit "petit signal" du transistor) :
UBE = hip + hRiov

BE 11?B 120CE (19)

ic = hoiip + haavCE

Les coefficients h;; sont des constantes (positives) dont les valeurs 
dépendent, a priori, de P9. Nous décrivons
alors la correspondance (ig,vcE) -- (vBE, ic) sous forme d'un bloc fonctionnel 
linéaire. Ce dernier, que nous
appellerons quadripôle Q, est représenté sur la figure (12).

[B ic
É L
Linéarisation Q(P°)
cp VBE VCE
autour de (h;)
E E

FIGURE 12 -- Quadripôle Q représentant le transistor pour un fonctionnement 
linéarisé autour d'un point
de polarisation P°.

37. Représenter, en utilisant les symboles habituels de l'électrocinétique 
(résistance, sources de tension et
de courant), le schéma électrique interne au quadripôle Q que traduisent les 
relations (19).
Extraire, du réseau de caractéristiques idéalisé du transistor représenté sur 
la figure (11) de droite, la
valeur (donc également idéalisée) de chacun des paramètres h12 et h22.

( Dans la suite, nous considérerons que h12 = 0 et noterons h11 = rB, ha1 = 7 
et 1/h22 = rc.

3.4 Modèle de la structure amplificatrice complète vis-à-vis des signaux 
variables.

Reportons-nous à nouveau à la figure (11) de gauche mais en considérant 
maintenant les signaux e et s.
Le premier est la tension variable d'entrée à amplifier et le second la tension 
de sortie correspondante. Le
condensateur CB permet de superposer les effets du signal variable e aux 
composantes de polarisation. Le
condensateur Cc permet d'extraire le signal variable s de la tension VW.

38. Établir la relation liant le courant d'entrée ie à 2B, VBE EURt Rp. De 
même, établir celle liant le courant
de sortie 7%, à 1c, UcE et RC.

39. Ces relations traduisent le comportement de l'environnement électrique du 
transistor vis-à-vis des
signaux variables. Adjointes au modèle "petit signal" correspondant du 
transistor, justifier qu'elles
conduisent au schéma électrique de la structure amplificatrice complète 
représentée sur la figure (13).

-- Page 15/18 -

. C ' C |
(D er B _B, 4 cc [Les Q)
À |] À À |] À
Q(P°)
e Re VBE VC | [RC S
(BY)
© © © ©
E Ë

FIGURE 13 -- Modèle "petit signal" de la structure amplificatrice complète 
constituée du transistor et de
son environnement électrique.

40. Dans le cadre des hypothèses adopté on établit (aisément) que rg = y/(K18,) 
(K = 40 V-?). Calculer
la valeur de cette résistance correspondant au point de repos P° choisi à la 
question (36). Comparer
cette valeur à celle de Rg.

Le constructeur du transistor donne, comme ordre de grandeur, rc © 100 kQ. 
Comparer cette valeur
355 à celle de R«.

( Dans toute la suite, on tiendra compte de ces résultats pour simplifier les 
expressions à établir.

e Nous considérons que le signal e varie harmoniquement selon la pulsation w. 
Nous associons alors, à
chaque composante variable x, son homologue complexe que nous notons :

= texpliwt) où #--#(iw)eC et wER, (i=-1) (20)
41. Le gain en tension est défini par le rapport suivant :

G{iw) = (21)

xl Gi

En se plaçant loin au-delà de la pulsation de coupure basse introduite par le 
condensateur CB, exprimer
le gain à vide Go (c'est-à-dire pour à = 0 (A)). Vérifier qu'il peut se mettre 
sous la forme suivante :

1
Calculer sa valeur.

Indiquer en quoi il apparaît pertinent de choisir un point de polarisation P° 
tel que VS -- E/2.

42. Exprimer le gain Go dans le cas général, c'est-à-dire non restreint au 
domaine des hautes fréquences.
360 Définir une fréquence de coupure basse f.Br de cette structure 
amplificatrice. Calculer sa valeur pour
CB = 1 uF. Commenter ce résultat.

43. Nous nous plaçons à nouveau loin au-delà de la pulsation de coupure basse 
(pour cette question et la
suivante). Calculer la valeur du gain G lorsque l'amplificateur est chargée par 
une résistance utile À,
telle que R, = Ra (cette résistance est donc traversée par le courant ,). 
Commenter ce résultat.

365 44. Nous supposons que le système délivrant le signal e est assimilable à 
un générateur de tension de
résistance interne RG et de force électromotrice ea (signal source variable que 
l'on souhaite amplifier).
Calculer la valeur du gain G" dans le cas où Ra = 50 ( et en prenant ici eg 
comme signal d'entrée.
Commenter ce résultat.

-- Page 16/18 -
370

375

380

385

390

395

3.5 Étude de la dérive thermique.

Revenons à la figure (11) de gauche et intéressons-nous à nouveau à la 
polarisation du transistor (on ne
considère donc plus les signaux variables e et s).

La détermination des composantes du point de repos (ou de polarisation) P° fait 
intervenir le gain en
courant 7 (se reporter à la question (86)) et ce dernier croît avec la 
température T' du transistor. La puissance
électrique dissipée dans le transistor provoque donc une dérive de P°, ce qui 
est susceptible d'altérer les
caractéristiques de la structure amplificatrice. Nous nous proposons de 
caractériser ce phénomène et d'étudier
un moyen (simple) d'en limiter les conséquences.

Nous notons V#k = a°E où a° EUR]0,1[{ et posons q = Rc/Rg. Nous caractérisons 
la susceptibilité de V£r
vis-à-vis des variations de 7 par la relation :

E Oo?

X7 -- 27 (23)

( Dans tous les calculs qui suivront on tiendra compte de la mention notée en 
fin de la question (36).

45. Exprimer v. dans le cas où le commutateur S est en position S1 (se reporter 
à la figure (11) de gauche),
que l'on notera alors x, 1. Calculer sa valeur en un point de polarisation P° 
tel que a° = 1 /2. Indiquer
comment cet effet de dérive se manifeste sur le point de polarisation construit 
en réponse à la question
(35), dans le quadrant (III) (quadrant défini sur la figure (11) de droite).

46. Le commutateur $ est en position S2 (se reporter à la figure (11) de 
gauche). Exprimer la susceptibilité
X-,2 correspondante. Calculer sa valeur en un point de polarisation P° tel que 
a° = 1 /2. Commenter
la comparaison de %,,2 à Xx-1:

47. Nous supposons que le transistor subit une légère élévation de température 
: T -- T'+ 6T. Indiquer
quelles en sont les conséquences sur, consécutivement, 7, I, VS et IL. Vérifier 
que cette analyse
conduit à un résultat qualitativement concordant avec celui établi en réponse à 
la question (46).
Indiquer quel élément, indispensable à la caractérisation d'un système 
dynamique, cette démarche
atemporelle ne prend pas en compte.

e Nous souhaitons étudier le comportement thermique du transistor dans le cas 
où le commutateur 5
est en position 52 (se reporter à la figure (11) de gauche). Nous notons 7, la 
température ambiante, C
la capacité thermique du transistor et T' sa température, supposée uniforme sur 
tout son volume. Nous
posons (de nouveau) q = Rc/Rg. Nous considérons que la puissance thermique que 
le transistor évacue
(algébriquement) vers le milieu extérieur s'exprime selon la relation suivante :

Pth -- H(T -- TA) où H--=ÛCste EUR R (24)

Par ailleurs, nous modélisons la dépendance du gain en courant y avec la 
température selon la relation
linéaire suivante :

T--7T,

= Ya(i+aX) où X --
La

et a=Cste EUR R} (25)

Nous choisissons la valeur de q telle que pour T = T,, Vce = E/2.

Les applications numériques seront effectuées avec les valeurs suivantes :
E =20 V: Rc=1000; H=1/90 W-K_!: T, = 300K ; a = 0,5.

A8. Exprimer le rapport q en fonction de 7,, puis la puissance électrique Pac 
dissipée dans le transistor
en fonction de Æ, Ro, a et X. Pour cette dernière, on tiendra compte de la 
mention notée en fin de la
question (36).

49. Établir un bilan de puissance appliqué au transistor. Vérifier qu'il peut 
s'écrire sous la forme suivante :

dX 1+aX

dt -- 2+aX® n

Exprimer les constantes 7 et À et donner la valeur de À.

-- Page 17/18 --
50. Déterminer, à l'aide de la représentation graphique de la fonction Y + 
F(Y)=(1+Y)/(2+Y)
de la figure (14), l'élévation de température AT (relativement à 7,) du 
transistor, lorsqu'il atteint
l'équilibre thermique. Déterminer la valeur VE correspondante.

0.35 -

D
pad

- 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1

" 1 1 1 1 1 1 1 1 1

0 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1
+ --- = -- Rene te A

° 1 1 1 1 1 1 1 1 1

J 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1

EF: G

0154
0

205

D D
0 0.05 O.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 O5
Y

FIGURE 14 - Représentation graphique de la fonction Y + F(Y) = (1+Y)/(2+Y)", 
sur l'inter-
valle [0; 0,5].

4300  D1l. Parallèlement à l'effet stabilisant du flux thermique évacué par le 
transistor, la décroissance de la
fonction F' limite la dérive thermique. Cette décroissance est une conséquence 
de la situation choisie
du point de polarisation P° dans le quadrant III. En indiquer la raison.

-- Page 18/18 -