X Physique et Sciences de l'ingénieur MP 2023

ECOLE POLYTECHNIQUE

CONCOURS D'ADMISSION 2023

MARDI 18 AVRIL 2023
14h00 - 18h00

FILIERE MP - Epreuve n° 4

PHYSIQUE ET SCIENCES
DE L'INGÉNIEUR (X)

Durée : 4 heures

L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour
cette épreuve

Cette composition ne concerne qu'une partie des candidats de la
filière MP, les autres candidats effectuant simultanément la composition
d'Informatique A.

Pour la filière MP, il y a donc deux enveloppes de Sujets pour cette
séance.
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée.
Les applications numériques peuvent être données avec un seul chiffre 
significatif.

Asservissement en fréquence d'un laser continu

Le laser, fonctionnant en régime continu, a la capacité de produire un 
rayonnement monochroma-
tique et cohérent, dont la fréquence est définie très précisément. Dans ce 
sujet, nous nous proposons
dans un premier temps de comprendre ce qui définit la fréquence de 
fonctionnement d'un laser
continu, puis dans une seconde partie, d'en réguler la fréquence, en 
l'asservissant sur une référence
de fréquence extérieure.

Îl Principe de fonctionnement d'un laser

Un laser est un oscillateur fonctionnant dans le domaine optique, dont le 
principe repose sur
deux ingrédients essentiels :
e un amplificateur qui permet d'amplifier une onde électromagnétique, dans le 
domaine spectral
propre à l'optique ;
e une boucle de réaction, qui permet de réinjecter à l'entrée de 
l'amplificateur tout ou une partie
de son signal de sortie.
L'amplification est généralement confiée à un système matériel qui peut être un 
atome ou une
molécule en phase gazeuse, un colorant organique en solution, un ion implanté 
dans une matrice
solide, voire la jonction entre deux semi-conducteurs dopés N et P (diode 
laser). Tous ces systèmes
ont en commun de posséder un ou plusieurs électrons qui interagissent avec le 
champ électrique
d'une onde électromagnétique ; ils échangent de l'énergie avec celle-là, et 
peuvent donc l'amplifier
(ou l'amortir) selon les conditions expérimentales. Par la suite, nous 
appellerons génériquement ce
système l'"'atome".
La boucle de réaction est fournie par une cavité électromagnétique qui présente 
des fréquences de
résonance dans le domaine optique. On peut envisager deux types de cavité selon 
que la cavité
est constituée de deux miroirs (cavité linéaire, représentée sur la figure 1-a) 
ou de plus de deux
miroirs (cavité en anneau, représentée sur la figure 1-b). En insérant un 
milieu amplificateur dans
ces cavités, on obtient un laser linéaire ou en anneau.

Milieu NM.
amplificateur \ Z

Y/

| Milieu
| _ l'amplificateur

(a) (b)

FIGURE 1 -- Cavités : (a) - cavité linéaire ; (b) - cavité en anneau.

L'intérêt du laser en anneau est que l'on peut choisir dans quel sens l'onde 
électromagnétique va
parcourir la cavité (ce qui n'est évidemment pas possible avec le laser 
linéaire). On supposera
désormais que, dans le laser en anneau, l'onde parcourt la cavité dans le sens 
indiqué sur la figure
1-b. Pour ménager l'existence d'un faisceau de sortie du laser (très appréciée 
par la quasi-totalité
des utilisateurs de lasers), un des miroirs de la cavité doit être 
partiellement transparent : ce miroir,
représenté en pointillés sur la figure 1, est appelé miroir de couplage M., car 
il couple le champ
intérieur à la cavité avec l'extérieur (et réciproquement).
1. Modélisez le laser en anneau par schéma-blocs. Justifiez votre 
représentation et précisez la
nature physique du signal de sortie et celle d'un éventuel signal d'entrée.

Faire de même pour le laser linéaire.

Nous allons maintenant étudier séparement les deux ingrédients essentiels du 
laser que sont la ca-
vité et l'amplificateur optique. Puis nous insérerons l'amplificateur dans la 
cavité pour étudier les
conditions de fonctionnement du laser.

e Notations et conventions utilisées dans la partie 1

Le laser que nous allons étudier ici produit une onde électromagnétique 
polarisée linéairement, selon
l'axe Ox. Par conséquent toutes les ondes électromagnétiques étudiées dans la 
partie 1 auront la
même propriété.

En cas de besoin, on se référera au trièdre orthonormé direct (üz,üy,u;) pour 
orienter l'espace
physique.

Le champ d'une onde électromagnétique plane, de pulsation w, progressive dans 
la direction et le
sens de l'axe Oz, et polarisée linéairement selon Ox s'écrit :

--

E(z,t) = üxE(2,t) = üx Eo cos(kz -- wt + 0) (1)

où le module k de son vecteur d'onde k = kw, vérifie la relation : k = +.
Nous serons amenés à utiliser la représentation complexe d'une fonction 
sinusoïdale réelle : pour
représenter la fonction E(z2,t), vous poserez :

E(z, t) _ Eo eti(kz--wt+0) (2)

de sorte que E(z,t) = E(z)e it avec E(z) = pet? où Eo -- Epe' 0 est appelée 
l'amplitude
complexe de l'onde.

rwt) est qu'elle est compatible avec

L'intérêt de cette représentation complexe d'une onde (en EUR
celle d'une onde de matière en mécanique quantique (que nous allons utiliser 
dans la partie 1.2).

1.1 Cavité électromagnétique dans le domaine optique

2. Cette question a pour but d'évaluer les ordres de grandeurs caractéristiques 
de l'optique et
d'introduire le vocabulaire de l'opticien.
2-a) On souhaite construire un laser qui produit un rayonnement de longueur 
d'onde (dans
le vide) À; © 600 nm. Calculer la période Ti d'oscillation du champ électrique 
de cette onde
et sa fréquence v, en exprimant les résultats dans des unités SI adaptées à 
leurs ordres de
grandeur.

2-b) Les opticiens définissent souvent l'intensité lumineuse de l'onde 
électromagnétique ! par
la relation 1 = |E(2,t)|°.

En se limitant à l'onde linéairement polarisée donnée par (1), montrer que TZ 
est directement
proportionnelle à la valeur moyenne < IT >7, sur une période 75 du vecteur de 
Poynting Il de
cette onde et donner l'expression du coefficient de proportionnalité. Préciser 
la signification
physique du vecteur de Poynting et celle de sa valeur moyenne < IT >7,.

3. Nous allons d'abord étudier la cavité optique la plus simple qu'on puisse 
imaginer : cette
cavité est formée de deux miroirs plans parallèles, et parfaitement 
réfléchissants, séparés par
du vide. C'est donc une cavité linéaire (voir figure 1-a), d'axe Oz, de 
longueur développée
L (ce qui signifie que la distance entre les deux miroirs est L/2) et ses 
miroirs peuvent être
considérés comme des plans conducteurs parfaits.

3-a) Etablir que les ondes électromagnétiques qui peuvent exister dans cette 
cavité sont quan-
tifiées, et exprimer leurs fréquences v\ en fonction de L et N.

1. et les spécialistes de traitement du signal appellent "puissance " la même 
quantité |s(#)|°.

Page 2
3-b) Décrire la dépendance spatiale du champ électrique E(z,t) ou de sa 
représentation com-
plexe E(z,t) oscillant dans cette cavité à la fréquence vx. Montrer que 
l'amplitude complexe
E(z) du mode N peut toujours être choisie réelle, et tracer l'allure des 
représentations gra-
phiques de EUR(z) pour les trois premiers modes de la cavité.

4. Les deux miroirs de la cavité sont nécessairement limités transversalement. 
Cette cavité est-
elle stable latéralement (si l'onde se propage selon un axe qui fait un angle 
non nul avec Oz) ?
Si non, comment remédier à ce problème ?

Dans la suite, on suppose cette difficulté surmontée, et on admet qu'on pourra 
considérer que
les ondes électromagnétiques circulant dans la cavité sont des ondes planes.

e En réalité, les miroirs de la cavité ne sont pas parfaits et engendrent des 
pertes, soit par absorp-
tion de l'onde lumineuse incidente, soit par transmission pour le miroir de 
couplage M..
Le miroir de couplage est caractérisé par des coefficients de réflexion et de 
transmission en intensité

R et T tels que R -- --Jéchi 4 q = "transmis

. La conservation de l'énergie impose R + T'= 1 -- À
k | incident | Lincident | | _ |
où À est la fraction de la puissance incidente qui est absorbée par le miroir. 
On note que le faisceau

de sortie du laser représente une perte supplémentaire pour la cavité. Dans la 
perspective de limiter
les pertes , on choisit un miroir de couplage tel que R 5 T > A.

Le ou les autres miroirs M" de la cavité sont totalement réfléchissants ; donc, 
pour ces miroirs,
T'=0et R'--1- A'.

Pour caractériser l'efficacité de la réflexion ou de la transmission par un 
miroir, on peut aussi
introduire les coefficients de réflexion et de transmission en amplitude de ce 
miroir, définis par
T = Éréfléchi et t -- Étransmis. les amplitudes complexes des ondes incidente, 
réfléchie et transmise

| Éincident Éincident | | _ . |
étant évaluées en un même point à la surface du miroir. Nous admettrons ici que 
ces coefficients

sont réels ? : et on a pour le miroir de couplage : t = VT et r = ---VR (voir 
note de bas de page"),
et pour tout autre miroir, r/ = --VR! et t' -- 0.

e Dans la perspective de limiter les pertes dans la cavité, on utilise des 
miroirs diélectriques multi-
couches qui présentent des pertes par absorption très faibles. On a typiquement 
À & 4/ = 2x107%.
Ainsi les pertes les plus importantes dans la cavité sont dues à la 
transmission du faisceau de sortie.
On choisit ici T = 4 x 107 *.

Mc

Ein E

--+ --+
>
| Z

«-- «--

Eout EUR'
| L/2

FIGURE 2 -- Cavité linéaire : définitions des amplitudes complexes EUR, EUR, 
EUR" et EUR des ondes
incidente, aller et retour dans la cavité, et sortant de la cavité.

5. On injecte dans la cavité linéaire une onde électromagnétique d'amplitude 
complexe EUR; (sur
le miroir de couplage M.) et de pulsation w quelconque (ne coïncidant pas 
nécessairement

2. On néglige alors les éventuels déphasages introduits par la réflexion ou la 
transmision sur ce miroir semi-
réfléchissant.

3. En effet r < 0 rend compte que, à la surface du miroir, le champ électrique de l'onde réfléchie est opposé à celui de l'onde incidente, pour donner un champ nul à la surface si le miroir est parfait. Vous avez utilisé cette propriété dans la question 3; elle est encore vraie ici parce que le champ électrique de l'onde sortante est faible par rapport à ceux des ondes progressives circulant dans la cavité, puisque T'  R. Page 3 10. Î . 6-a) Exprimer -- =--| avec une des pulsations de résonance wn = 27rvn de la cavité sans perte). En régime perma- nent, la cavité est parcourue par deux ondes d'amplitudes complexes EUR et EUR" se propageant selon l'axe Oz, la première dans le sens de l'axe Oz, et le seconde dans le sens opposé (voir figure 2), et il existe un faisceau de sortie d'amplitude complexe EUR,4. Toutes les amplitudes complexes Ein, EUR, EUR", Eout, Sont définies sur le miroir de couplage M, c'est-à-dire au point O situé sur la surface de M,, en z = 0. Enfin on pose k = + > 0.

Trouver une relation entre EUR, EUR' et EUR;n.

Calculer EUR' en fonction de &EUR, kL et r".

EUR
En déduire l'expression de la fonction de transfert ---- de la cavité avec 
pertes, en fonction

de VRR, T et kL.

EUR
lin E

Calculer V R R' en fonction de Ten utilisant les valeurs numériques des 
caractéristiques des

miroirs M. et M' et donner la signification physique du paramètre R R!.

6-b) Représenter l'allure des variations de r- en fonction de kL.

" en fonction de VRR', T et sin(5£).

7-a) Comparer les fréquences de résonance de la cavité avec pertes à celles des 
modes de la
cavité sans pertes.

7-b) On définit l'intervalle spectral libre (en fréquence) de la cavité comme 
la différence des
fréquences résonnantes consécutives (indicées N et N +1) de cette cavité.

Exprimer l'intervalle spectral libre en fréquence de cette cavité, noté zsr,, 
en fonction des
paramètres définissant cette cavité.

Proposer une interprétation physique de la fréquence sr, et du temps 7 = (sr) {.

7-c) Dans la perspective de produire un laser fonctionnant à la longueur d'onde 
(dans le vide)
Xe © 600 nm, on construit une cavité linéaire, de longueur développée L © 1,5 m.

Évaluer les ordres de grandeur de l'ordre N de la résonance de la cavité (dont 
la fréquence de
résonance /N coïncide approximativement avec la fréquence du laser), de 
l'intervalle spectral
libre zisr, de cette cavité et du temps 7.

. Calculer la largeur (totale) à mi-hauteur Awe (exprimée en pulsation) d'un 
pic de résonance

de la cavité avec pertes.

La même grandeur exprimée en fréquence est Ar, -- ue.

. On définit la finesse F° de la cavité comme le rapport de son intervalle 
spectral libre par la

largeur à mi-hauteur de sa résonance, exprimés l'un et l'autre en fréquence : 
F-- RE:

9-a) Exprimer la finesse de la cavité en fonction de L et T.

9-b) Evaluer numériquement la finesse F de la cavité et la largeur à mi hauteur 
Ar exprimée
en fréquence.

Pour déterminer le temps de confinement de l'énergie électromagnétique dans la 
cavité, on
alimente la cavité par une onde électromagnétique &;, dont la fréquence 
coïncide exactement
avec la fréquence de résonance vn de la cavité, et à l'instant to -- 0, on 
coupe le faisceau
d'entrée E;n (voir fig. 2).

10-a) Exprimer l'énergie électromagnétique W contenue dans la cavité à 
l'instant to, en fonc-
tion de EUR. On supposera les faisceaux lumineux cylindriques et de section S!

10-b) Exprimer l'énergie 6W sortant de la cavité par le faisceau de sortie £, 
pendant le
temps 7 mis par l'onde électromagnétique pour faire un aller-retour dans la 
cavité.

10-c) En supposant Ô0W << W, en déduire l'équation différentielle décrivant l'évolution au cours du temps de l'énergie électromagnétique contenue dans la cavité. 10-d) Exprimer le temps caractéristique Ty de dissipation de l'énergie en fonction du temps r et de la finesse F de la cavité. Évaluer numériquement rw. Page 4 1.2 Amplification optique Nous nous intéressons ici à l'interaction entre une onde électromagnétique, supposée polarisée selon Ox, dont le champ électrique est Ë = &,E0 Cos(kz -- wt +0), et un système matériel actif que nous appelons "atome". Cet atome doit être traité comme un système quantique. Nous l'assimile- rons à un atome à un électron actif; pour décrire l'état (interne) de ce système, nous introduisons sa fonction d'onde Y(x,y,z;t) qui est une fonction des coordonnées x, y, z de l'électron actif dans l'espace 3D, paramétrée par le temps t. (x, y, z;t) caractérise entièrement l'état de l'électron actif, et par conséquent l'état interne de l'atome étudié. Nous allons d'abord nous intéresser à la fonction d'onde décrivant le système isolé. Si l'atome est isolé, l'électron actif ne peut interagir qu'avec le reste du système, c'est-à-dire le "noyau". Ceci se traduit par une énergie potentielle d'interaction ® V(x,y, z) dépendant de la position de l'électron. dont l'origine physique est principalement due aux interactions électrostatiques entre l'électron ac- tif et les autres constituants du système étudié. Cette énergie potentielle d'interaction a pour effet de confiner l'électron actif au voisinage du noyau, ce qui se traduit par le fait que les énergies de l'atome sont quantifiées. Par la suite, nous considérerons de plus que cet atome "vit" dans un espace physique à une di- mension, restreint à l'axe Ox. Dans ces conditions, la fonction d'onde décrivant l'état du système devient d(x;t) et ne dépend plus que de la seule coordonnée x de l'électron actif. Il en est de même pour l'énergie potentielle V(x). L'évolution de cette fonction d'onde est décrite par l'équation de Schrôdinger à une dimension dans le potentiel V(x) : OÙ h? 021 ro nes + V(æ)U(a,t) (3) iñ où m est la masse de l'électron actif. Nous allons maintenant nous intéresser à un état stationnaire "a" de cet atome (isolé), d'énergie FE, décrit par sa fonction d'onde @4. 11. Qu'appelle-t-on état stationnaire d'un système isolé ? Dans votre réponse à cette question, vous veillerez à aborder les points suivants : (i) Si l'atome est dans l'état stationnaire w,, comment s'écrit sa fonction d'onde Y(x:;t) ? Préciser la fonction caractérisant sa dépendance en t. (ii) Quelle est l'équation différentielle vérifiée par la fonction 4, ? (iii) De quelle(s) variable(s) dépend la fonction w, ? Dépend-elle du temps ? Quelle relation de normalisation lui est-elle imposée ? 12. Pour donner consistance à la notion d'état stationnaire, supposons que l'électron actif est confiné au voisinage du noyau (situé en x = 0) par le puits de potentiel infini défini par : L L V(x) -- l l (4) OO SiT E,) et dw est l'écart à la résonance, 
exprimé en pulsation. Si
on veut avoir quelque chance d'exciter une transition entre les états a et b, 
on choisira la pulsation
de l'onde lumineuse voisine de la pulsation de résonance wo, de sorte que [dwl 
& wo © w.

15. Écrire les équations différentielles vérifiées par a(t) et S(t), en 
veillant à développer cos (wt)
en exponentielles complexes, de façon à clairement mettre en évidence les 
termes contribuant
à des variations lentes ou rapides de at) et 5(t).

e Dans la mesure où nous nous intéressons à l'évolution de la fonction d'onde 
Y(x,t) aux temps longs

par rapport à la période T6 -- -- de l'onde électromagnétique, nous pouvons 
négliger les termes
oscillant à haute fréquence, de l'ordre de w, devant ceux à plus basse 
fréquence, qui décrivent les
variations lentes de a(t) et B(t). Cette approximation est appelée 
l'approximation séculaire. Dans

le cadre de cette approximation, les équations d'évolution de a(t) et B(t) 
deviennent :

da  .Qr dÿ .Qr
= i-- (E) et -- = idw Bt) +i 5 a(t) (12)

16. L'atome est dans une superposition d'états stationnaires d(x,t) = a(t)pa(x) 
+ b(t)pr(x).
16-a) Exprimer la densité de probabilité de présence en x de l'électron en 
fonction de Y(x,t)
En déduire la probabilité élémentaire dP que l'électron soit situé entre x et x 
+ dx.
Exprimer la valeur moyenne < D, > (sur toutes les valeurs possibles de x) du 
dipôle atomique
--ex.

16-b) Exprimer < D, > en fonction de a(t), b(t) et des intégrales Da, Do, Dia, 
Di intro-
duites par la relation (9).

Ce résultat montre l'intérêt des variables a* a, b*b et b* a et donc des 
variables a* «a, 5* 5
et 6" a pour représenter l'état de l'atome lorsqu'il est dans une superposition 
de deux états
stationnaires (ici Ga et vb).

16-c) Donner l'interprétation physique des variables réelles a* à et B* 6.
Montrer qu'il existe une relation simple entre ces deux variables.

Page 8
À contrario, la variable C = 6* à est une variable complexe, qu'on appelle 
usuellement cohé-
rence.

16-d) Exprimer < D, > en fonction de d = D, a(t) et b(t), puis en fonction de 
d, at), 5(4)
et wt. En déduire que < D,, > est uniquement relié à la cohérence C..

16-e) On introduit les variables réelles u et v telles que : C'= B* a = E(u 
+iv).
Montrer que :

< D; >= d{u cos (wt) -- vsin (wt)| (13)

e Il apparaît clairement que les variables p,, », et C sont bien adaptées à la 
description de l'état
quantique de l'atome et de son dipôle électrique. Les équations différentielles 
décrivant leurs évo-
lutions au cours du temps se déduisent sans difficulté de (12) ; on obtient :

dPa EL dpy EL .QRr dc .QRr

nr = D (CC) et = --iôwC --i "(pa -- D) (14)

On pose M = Pa -- Pb.

e Nous venons de déterminer l'évolution de l'état quantique de l'atome sous 
l'effet de l'interaction
avec le rayonnement, en l'occurrence ici le champ E(2,t) = dE cos(kz -- wt + 
wo). Mais cet
atome est soumis à d'autres effets qui affectent aussi l'évolution de son état 
quantique : ce sont
l'émission spontanée de rayonnement *" par cet atome et l'effet des 
interactions de cet atome avec
son environnement (collisions dans un gaz, interactions avec son environnement, 
liquide ou solide,
à l'échelle microscopique) que nous désignons ici sous le terme générique de 
"collisions".

L'émission spontanée a tendance à faire décroître la probabilité », de trouver 
l'atome dans l'état

dp
b selon la loi exponentielle

= --7ph OÙ Ty -- F est la durée de vie de l'état b par émission

spontanée. Il en est de même pour l'état a qu'on suppose ici être un état 
excité, de durée de vie
radiative Ty = Je. Enfin la cohérence C = 5* a entre les états a et b décroît 
aussi selon une loi
a

exponentielle de = --1pC , AVEC Vab = 2 (a + 7).
e SD

Les collisions ont un effet similaire ; par conséquent les constantes 
d'amortissement p, Va; Yab en sont
augmentées (et donc les durées de vie correspondantes sont diminuées). mais les 
collisions affectent
beaucoup plus la cohérence C' que les probabilités ps et pa, et av devient 
notablement plus grand

que 4 Où Y. Pour simplifier, nous admettrons ici que, en présence de 
collisions, 4 © 5 © 1 = --

et QUE Vab = Y2 = = est significativement plus grand que 1.

e On retiendra que la prise en compte conjointe de l'émission spontanée et des 
collisions conduit à
des termes de relaxation des grandeurs p4,», et © donnés par :

dc

-- --Y1Pa : = --wC (15)

dpr der
dt |R

dpa
dt !R
OÙ T1] -- (1)! r 10 ns et RP -- (42) 7! EUR T1.

e De plus, on ne pourra pas obtenir de milieu amplificateur sans lui apporter 
en permanence des

7 / N d
atomes excités dans l'état b, d'où un terme source

7 +Ay (avec À, > 0). Par souci de symé-

. . . / - d
trie, on introduira dans les équations un terme source ra

5 -- +A, dans l'état a.

L'évolution de l'état quantique de l'atome (décrit par les variables p4, pr, 
EUR) s'obtient en som-
mant les différents processus, soit :

9. Jusqu'à maintenant, nous avons pris en compte la capacité de l'atome à 
émettre un rayonnement par le processus
d'émission induite (induite par le rayonnement dans lequel baigne l'atome), 
mais nous n'avons pas pris en compte
l'émission spontanée de rayonnement par l'atome, qui se produit pour tout atome 
porté dans un niveau excité,
indépendamment de la présence de l'onde électromagnétique de champ ÊË (z,t), 
comme on peut aisément le vérifier en
annulant le champ Eo, et par conséquence la pulsation de Rabi (r -- = d fu cos (wt) -- vsin 
(wt)|.

17-d) Le milieu amplificateur est constitué de n "atomes" par unité de volume. 
La polarisation
P de ce milieu est son moment dipolaire par unité de volume : P=n < D, >.

Déterminer la polarisation P du milieu amplificateur en régime stationnaire et 
montrer qu'elle
oscille à la pulsation w.

Écrire la représentation complexe P de P (avec la représentation complexe 
définie par la re-
lation (2)), et montrer qu'on peut l'écrire sous la forme P = EUR x E(z = 0,t), 
où x = x' +ix"
est la susceptibilité complexe du milieu amplificateur. On rappelle que Qr = 
LEo.
Calculer les parties réelle x' et imaginaire x" de x en fonction de ôw.

e En toute rigueur, parce que nous avons supposé que l'atome étudié est situé 
dans le plan z = 0,
nous venons de montrer que, dans ce plan, la représentation complexe de la 
polarisation P(z = 0,t)
est reliée au champ électrique complexe E(z = 0,t) dans le même plan par la 
relation P(2 = 0,t) --
EURoXE(z = 0,t). Mais parce que la relation obtenue est locale, il est bien 
évident qu'on obtient la
même relation dans n'importe quel plan z (en remplaçant ÆEg par E(2)).

18. Nous considérons maintenant un milieu amplificateur occupant un volume 
cylindrique, d'axe
Oz, de longueur £, et de section $ qui est traversé par un faisceau lumineux se 
propageant
dans le sens de l'axe OZ (voir fig. 1-b).

En présence d'une polarisation P(z,t), de représentation complexe P(z,t), 
l'équation de pro-
pagation selon Oz du champ électrique E(z,t) de l'onde électromagnétique plane, 
devient, en
notation complexe :

OE(:,t) h 1 ®E(z,t) __ ©P(z,t)
02 2 ot. F0 9

18-a) En déduire l'équation différentielle vérifiée par EUR(z), amplitude 
complexe du champ

(16)

électrique dans le plan z (on négligera ici l'éventuelle dépendance de x en 2).

Page 10
19.

18-b) On recherche une solution de cette équation de la forme £(z) = EpetÆ où k 
= k'+ik"
est une grandeur complexe (avec k',k"7 EUR R).
Ecrire l'équation vérifiée par la variable complexe k.

On pourra éventuellement introduire un indice (optique) complexe n -- n' +in" 
(avec
n',n' ER) défini par n° = 1 + y.

18-c) On considère ici que le milieu amplificateur est dilué, au sens où les 
"atomes" actifs y
ont une faible densité volumique n. Puisque y est proportionnel à n, on 
supposera ici que la
densité volumique des atomes actifs est suffisamment faible pour que [x| & 1.

Dans cette hypothèse, déterminer les valeurs de k/ et de k&/ en fonction de y/ 
et y.

Puis montrer qu'amplifier l'onde électromagnétique qui traverse le milieu 
suppose que x" < 0. Que se passe t'il si cette égalité n'est pas satisfaite ? 18-d) Montrer que, pour satisfaire cette inégalité, il faut réaliser l'inversion des populations des états a et b. Définir précisement ce qu'on appelle ici les populations des états a et b. Expliquer pourquoi une vapeur constituée d'atomes actifs, même chauffée à haute tempéra- ture, ne constituera jamais un milieu amplificateur. 18-e) Désormais on suppose réalisée l'inversion de populations nécessaire à l'amplification de l'onde lumineuse. On appelle respectivement & et EUR. les amplitudes complexes £(z) de l'onde à son entrée et à sa sortie du milieu amplificateur, en z = 0 et en z = {, (voir fig. 1-b). T5 EUR EUR que la susceptibilité x ne dépende pas de l'intensité de l'onde qui traverse le milieu. Déterminer la fonction de transfert H -- --- en fonction de x", X", & et k = #, en supposant En déduire le coefficient d'amplification de l'intensité Gr = =. Le 19-a) L'inversion des populations étant réalisée, représenter les variations de x" et de Y'/ en fonction de ôw. En déduire que le système est résonnant à la pulsation wo. 19-b) Calculer la largeur à mi-hauteur (en pulsation) Aws de cette résonance et montrer qu'elle dépend en général de l'intensité 7(z) de l'onde électromagnétique en z. À quelle condition (portant sur QR(z)) en dépend-elle effectivement ? On parle alors d'élar- gissement de la résonance par le rayonnement, ou de saturation (d'où l'indice $ de la largeur Aws). Calculer la largeur à mi-hauteur Awns en l'absence de saturation, c'est-à-dire à faible intensité 1(z). 19-c) Ainsi la susceptibilité x (et l'indice optique n = n'+in") du milieu amplificateur dépend de l'intensité I de l'onde se propageant dans le milieu amplificateur. Montrer que : 1 I l+7 X=X, où 1$ est l'intensité de saturation du milieu et x e St la valeur de x pour les faibles valeurs de I (1 Is), soit en régime linéaire (où la polarisation complexe P(z) -- ox, E(z) du milieu amplificateur dépend linéairement du champ EUR(2) de l'onde qui le polarise). Déterminer x , ©t Îs en fonction de ôdw et des autres paramètres du système à deux niveaux a.,b. 19-d) Si on néglige les variations de l'intensité 7(z) de l'onde à l'échelle de la longueur d'onde, l'équation de propagation devient : d? nn À w 2 7 = dz Mir UT C (17) Intégrer cette équation différentielle entre z = 0 et z = 4,,. Montrer que si l'intensité 1(z) reste partout très en deçà de l'intensité de saturation, on retrouve le régime où /(4,) varie exponentiellement avec 4,. Page 11 Si au contraire l'intensité J(2) est partout très supérieure à Zs, montrer que l'intensité 7(4,) varie linéairement avec 4,. e. e. e. ' S e. e. ' e. Le gain en intensité G&7 -- ï. varie alors linéairement avec /,. EUR 1.3 Oscillateur dans le domaine optique Pour obtenir un laser, on insère l'amplificateur optique que nous venons d'étudier dans une cavité en anneau, de longueur développée L = 1,5 m, et équipée des mêmes miroirs que ceux décrits dans la partie 1.1, de sorte que toutes les caractéristiques de cette cavité sont identiques à celle de la cavité linéaire de même longueur étudiée dans la partie 1.1. Beaucoup de lasers fonctionnent dans un régime où la saturation est atteinte. Nous allons donc étudier le fonctionnement de notre laser dans des conditions où l'intensité 7(z = 0) du faisceau lumineux entrant dans le milieu amplificateur dépasse très significativement l'intensité de saturation Is (on suppose donc : 71(0) > Is). De plus nous allons supposer que ce milieu 
amplificateur est
mince, d'épaisseur /, faible (telle que (---kx")£, 1). On peut alors considérer 
que tout le milieu
amplificateur (de z = 0 à z = 4,) est soumis aux mêmes conditions de saturation 
(c'est-à-dire que
I({a) & I(0)) et peut être décrit par une susceptibilité complexe x. uniforme, 
telle que :

1
Xs Xp. jt)
Ainsi les amplitudes complexes EUR, et EUR, de l'onde à son entrée et à sa 
sortie du milieu amplificateur
sont reliées par :

E, --_ E e HA(IHSE )La ok la (18)

À sa sortie du milieu amplificateur, cette onde se propage dans l'air (d'indice 
optique nuir = 1)
jusqu'au miroir de couplage M., qui la réfléchit partiellement (1 = 4 x 107?, 
d'où Ræ1-Tet
r = --VR), et après trois réflexions supplémentaires sur des miroirs M' (4' + 2 
x 1074, d'où R! + 1)
revient sur la face d'entrée de l'amplificateur (en z = 0). Son amplitude 
complexe en z = 0 est
notée EUR.

20. 20-a) Exprimer EUR? en fonction de &,, T, L et 44.
Identifier dans votre réponse la fonction de transfert de chacun des blocs que 
vous auriez pu
mentionner dans la boucle de retour du laser en anneau modélisé dans la 
question 1.

/
20-b) En déduire le rapport ° qui peut s'interpréter comme la fonction de 
transfert H(w)

EUR
de l'amplitude complexe du champ électrique dans la cavité, en un tour de 
cavité.
Montrer que ce rapport s'écrit sous la forme À e*!?, où À et w sont deux réels 
qu'on exprimera
en fonction des paramètres caractéristiques du laser.

20-c) En régime stationnaire, on a EUR? = EUR; . Montrer qu'on obtient ainsi 
deux équations qui
permettent de déterminer le "point de fonctionnement" du laser, c'est-à-dire sa 
pulsation w
et l'intensité 7(0) de l'onde lumineuse circulant dans la cavité (et par 
conséquent le niveau
de saturation du milieu amplificateur).

20-d) À partir de ces deux équations, montrer que :

(i) la pulsation w du laser est toujours très proche de la pulsation wn du mode 
N de la cavité
en anneau quand cette cavité est vide, c'est-à-dire sans amplificateur optique. 
Interpréter
l'origine physique de la différence entre w et wxn.

(ii) la seconde équation exprime qu'en régime stationnaire, la variation 
d'intensité 1(4,)-- 1(0)
créée par l'amplificateur compense les pertes de la cavité, c'est-à-dire ici 
l'intensité du faisceau
de sortie du laser. Interpréter ce résultat en termes de bilan d'énergie.

Page 12
e Dans cette étude, nous avons implicitement considéré que le milieu 
amplificateur est homogène
et que tous ses "atomes" contribuent à un fonctionnement du laser à la même 
pulsation wn voi-
sine de wp. En réalité, le milieu amplificateur n'est jamais homogène, et il va 
pouvoir émettre un
rayonnement dans une plage de fréquences Ay;, appelée largeur inhomogène de la 
transition obser-
vée 10, Az; représente le domaine spectral où le laser peut fonctionner. Si Av; 
> vgr,, le laser peut
fonctionner simultanément sur plusieurs modes de la cavité, de N différents. En 
fait beaucoup de
lasers ont une tendance naturelle à fonctionner en régime multimode 1.

e La seule façon d'obtenir un laser de faible largeur spectrale (inférieure à 
l'intervalle spectral libre
vis, de la cavité laser) est de rendre ce laser monomode, c'est-à-dire de 
l'obliger à ne fonctionner
que sur un seul mode. On y parvient en instaurant des pertes supplémentaires 
pour tous les modes,
excepté celui qu'on veut conserver. Pour cela on introduit dans la cavité du 
laser plusieurs éléments
sélectifs, tous accordés à la fréquence vN du mode à conserver, donc sans perte 
à la fréquence vx,
mais qui introduisent des pertes importantes pour tous les autres modes d'ordre 
N' Z N. Il faut en
général plusieurs éléments sélectifs (voir fig. (3)). On obtient alors un laser 
monomode, fonctionnant
uniquement sur le mode d'ordre N, donc à une fréquence très proche de vn. On 
peut alors espérer
que sa largeur spectrale soit inférieure ou de l'ordre de Av, avant tout 
asservissement en fréquence.

Pump Lenses Mi Ti:S Crystal \
| | mme ---- |. Tr
Photodiodes

Optical Diode Birefringent Filter

f _ © ©
hs a | / NV \ Lee

f
Piezo-mountedo Etalon Brewster Plates Output Coupler Beamsplitter
irror

Mirror

EUR Mirror

| Ml: 1] '

FIGURE 3 -- Laser titane saphir en anneau monomode : deux éléments sélectifs y 
ont été introduits :
une lame mince (etalon) qui est une cavité de grand intervalle spectral libre 
et un filtre de Lyot
(birefringent filter) dont le rôle est d'empêcher les modes lointains de laser. 
La cavité (reference
cavity) est utilisée avec les photodiodes pour contrôler la fréquence du 
faisceau de sortie du laser,
mais n'a aucun rapport avec un éventuel asservissement de la fréquence de ce 
laser.

2 Asservissement de la fréquence d'un laser continu monomode

21. Représenter la structure élémentaire d'un système asservi à une consigne 
Co(p) par un
schéma-bloc composé de trois blocs :

(a) le système à asservir, de fonction de transfert H(p):

(b) un bloc capteur (ou détecteur), de fonction de transfert K(p), qui 
constitue la boucle de
retour ;

(c) un bloc correcteur, de fonction de transfert C(p) :

et d'un comparateur entre une consigne Co(p) et le signal délivré par le 
capteur (parfois
appelé signal de mesure).

Indiquer comment est formé le signal d'erreur. Décrire sommairement le rôle du 
capteur et
celui du correcteur.

10. Le mécanisme de cet élargissement diffère selon la nature du milieu 
amplificateur : dans un milieu solide
ou liquide, l'atome actif est perturbé par son environnement microscopique, et 
tous les atomes actifs n'ont pas
rigoureusement le même environnement, d'où une dispersion des valeurs possibles 
de wo. Dans un milieu gazeux,
l'hétérogénéité vient de la dispersion des vitesses des atomes mesurées dans le 
référentiel (fixe) de la cavité, ce qui se
traduit par un élargissement Doppler de la raie de transition b -- a.

11. Sauf les diodes laser intégrées, dont la cavité est le milieu 
amplificateur, et a une longueur développée millimé-
trique.

Page 13
Déterminer les fonctions de transfert en boucle ouverte F6(p) et en boucle 
fermée F(p) du
système asservi.

Nous allons maintenant adapter ce schéma-bloc à l'asservissement de la 
fréquence d'un laser. Dans
cette perspective, nous allons nous intéresser successivement à chacun des 
trois blocs mentionnés
dans la question précédente et déterminer leur fonction de transfert. 
Commençons par le système
à asservir, le laser monomode.

22. Nous n'avons pas effectué une étude dynamique du comportement du laser, 
mais nous avons
identifié un certain nombre de temps caractéristiques de son fonctionnement, 
qui sont soit
des périodes d'oscillation, soit des temps de relaxation : il s'agit, pour la 
partie optique, de
la période Ty d'oscillation du champ électrique de l'onde, du temps 7 = (zs1,) 
! et du temps
d'amortissement de l'énergie électromagnétique dans la cavité rw © 100 ns, et 
pour l''atome",
le temps de relaxation 7 des populations d'atomes dans les états a et b, de 
l'ordre de 10 ns,
et celui de la cohérence C' entre ces deux états, plus court (r2 < T1). Enfin vous connaissez l'ordre de grandeur Av. de la largeur spectrale du laser monomode avant asservissement. Quand on ne dispose que de ce type d'informations sur la dynamique temporelle d'un système, on modélise souvent le système comme un système d'ordre 1, passe-bas, dont la fréquence de coupure est obtenue par le principe du pôle dominant, c'est-à-dire le pôle dont la fréquence caractéristique est la plus basse. Proposez une valeur de la fréquence de coupure du laser considéré comme un filtre passe bas et écrire la fonction de transfert correspondante H(p). 23. Pour asservir la fréquence v du laser monomode à une référence extérieure fixe 20, il faut pouvoir agir en temps réel sur la fréquence du laser en réponse à la différence v -- 10. Sur quel paramètre physique du laser faut-il agir ? Stabiliser la fréquence du laser monomode nécessite plusieurs éléments : e D'abord il faut disposer d'une référence de fréquence 1. Le plus simple est d'utiliser une nouvelle cavité optique, de longueur développée Lo, dont les fréquences de résonance 2 0 = No7e four- nissent autant de références de fréquence que l'on veut (il suffit de choisir No). Cette fréquence de référence 1% est fixe et doit être définie avec une excellente précision. On choisit une cavité linéaire (fig. 1-a) et on apporte une attention toute particulière à sa construction, pour éviter les vibrations, la dilatation thermique de la cavité et les fluctuations de pression !*. Les deux miroirs (dont l'un au moins est semi-réfléchissant) sont au moins de même qualité que ceux de la cavité laser, de sorte que la finesse de la cavité de référence est supérieure ou égale à celle de la cavité laser. e Ensuite il faut comparer la fréquence v du laser à la fréquence de référence 70. On utilise là une méthode interférométrique, illustrée par la figure (4). Elle consiste à envoyer une partie du faisceau de sortie du laser dans la cavité de référence. Si on prend au préalable la précaution de pouvoir balayer "lentement" la fréquence v du laser (on verra plus loin comment), de sorte qu'elle varie linéairement au cours du temps (soit v(t) = v4+at avec a > 0 et v4 < v9), en mesurant l'intensité de la lumière transmise par la cavité de référence, on obtient la courbe de transmission de cette cavité, avec un maximum de transmission pour = 10, puis un autre maximum à la fréquence du mode d'ordre No + 1 de la cavité de référence (voir le signal obtenu en transmission dans l'encadré transmise de droite de la figure). Ce signal représentant le rapport sera désigné par 0 = O(v -- 1») | Le. Vu, Lincidente dans la suite. On a ainsi le moyen de comparer précisément v à 10. Pour obtenir une meilleure précision sur la position des extrémums d'une courbe, il est souvent préférable de déterminer la position des zéros de sa dérivée : c'est ce qui est fait ici en ajoutant à V4 + at un terme Üyn COS(2T fm t) Où On est l'amplitude de la modulation et fn la fréquence de la modulation {#. Pour dériver effectivement la fonction 0(v --1%), l'amplitude de cette modulation doit être faible devant la largeur du pic de la résonance de la courbe 4( -- 10), largeur qui est dominée 12. En se plaçant dans le même cadre d'approximations que dans la partie 1-1. 13. En général, cette cavité est construite dans un matériau (céramique) à très faible coefficient de dilatation thermique, sa température est régulée avec une grande précision (+ 0,01 °C) et elle est placée sous vide. 14. Elle est notée f,, parce qu'elle a vocation à être d'origine électronique, et donc à être très faible devant les fréquences optiques, notées 1. Page 14 C/Lo <-------->

Laser Cavité de référence

l l
| |
| |
D" D D l D" D

| |
| |
| |

!

|
|
l
|
|
l

+ L

Y
CO
un

Vi = Vin COS(2T fint)

A
V, 0 V0 >

FIGURE 4 -- Principe de l'asservissement en fréquence d'un laser monomode. Une 
partie du faisceau
de sortie du laser est envoyé dans une cavité de référence, de longueur 
développée Lo. La lumière
transmise par la cavité de référence est détectée par une photodiode D, qui 
produit le signal présenté
dans l'encart de droite. Si on module la fréquence du laser à la fréquence ff, 
la détection synchrone
DS permet de détecter la composante modulée du signal de la photodiode D, dont 
l'amplitude est
représentée en fonction de la fréquence du laser dans l'encart relié à DS.

par la largeur spectrale du laser. En détectant par la détection synchrone la 
composante à la fré-

dO(r -- v
quence fn de l'intensité !° de la lumière transmise, on obtient un signal 
proportionnel à um)
V
Ce signal, qui s'annule en particulier en v = 0, est adapté pour servir de 
signal d'erreur e(v -- 0
8 8 au
VU -- 1/65

dans l'asservissement de la fréquence du laser monomode. On adopte : ef -- 19) =

e Reste à savoir comment utiliser ce signal d'erreur. Certes, la fréquence 
centrale du laser mono-
mode, mais non asservi, est directement reliée à la longueur développée L de la 
cavité constituant
le laser : cette fréquence z est très proche de la fréquence vN = N7 du mode N 
de la cavité dans
lequel le laser monomode fonctionne. Pour faire varier L, la méthode la plus 
simple consiste à
déplacer un des miroirs de la cavité avec une cale piézoélectrique d'une 
quantité proportionnelle à
la différence de potentiel qui lui est appliquée.

Matériau

LT Électrode métallique
piézoélectrique

au potentiel V(e)

Faisceau incident

Support fixe | Fiscemmimeident
0 2 7
F

aisceau réfléchi

U

| NQ Miroir mobile

FIGURE 5 --- Montage d'un miroir sur une cale piézoélectrique : la cale est 
constituée d'un matériau
piézoélectrique d'épaisseur e placé entre deux électrodes métalliques situées 
respectivement en z = 0
et en z = e, et portées aux potentiels électriques V(0) et V(e). La tension 
appliquée sur le matériau
piézoélectrique est définie par U = V(e) -- V(0). Le matériau piézoélectrique a 
la propriété d'être
sensible au champ électrique et son épaisseur e varie en fonction de la tension 
ÜU appliquée.

15. Mesurée par un circuit de détection à photodiode de bande passante 
supérieure à la fréquence de modulation.

Page 15
24. La figure (5) détaille le montage d'un miroir M' de la cavité laser sur une 
cale piézoélectrique.
24-a) Quelle est la valeur de l'amplitude de déplacement du miroir mobile M' 
nécessaire pour
balayer un intervalle spectral libre sr, de la cavité laser ?

On supposera que le faisceau intra-cavité réfléchi par ce miroir est à 
incidence normale au
miroir.

24-b) Nous supposerons que l'épaisseur e de l'échantillon piézoélectrique 
décroft lorsqu'on
augmente la tension appliquée U telle qu'elle est définie dans la légende de la 
figure (5).

La correction OU: apportée à la tension U par le signal d'erreur EUR est : OU: 
= Ke(rv -- 1%).
En utilisant la figure (4), déterminer le signe de la constante K pour assurer 
le bon fonction-
nement de l'asservissement de z à la valeur #0. En déduire l'expression de OU.

e On notera qu'en choisissant de transmettre directement le signal d'erreur à 
la cale piézolectrique,
on s'est privé de toute correction dynamique à ce signal d'erreur. Le montage 
décrit par la figure
4 est utile pour comprendre la nature du signal d'erreur statique transmis au 
système, mais il ne
permet évidemment pas de conclure quant au choix du correcteur.

e Il apparaît dans ce qui précède que l'asservissement en fréquence d'un laser 
monomode relève par
essence de l'analyse fréquentielle des signaux, et que la variable privilégiée 
est non pas la variable
p de Laplace, mais la différence de fréquences v -- 19 qui correspond à la 
pulsation Q = 27(v -- 1)
(soit p = 70).

On sait que les composantes basses fréquences {© du bruit de fréquence jouent 
un rôle déterminant
dans la largeur des raies laser.

Nous allons maintenant asservir le laser sur un signal de même fréquence (donc 
7 © 1%), pour
rechercher l'effet de l'asservissement sur le bruit en fréquence du laser. Pour 
rendre compte du
bruit de fréquence, nous le simulons par une perturbation harmonique à la 
pulsation wn + Q,
Et par conséquent, nous traitons tout le système asservi en analyse harmonique. 
En première
approximation, on peut assimiler cette perturbation à un bruit à la pulsation 
(. La composante
harmonique du signal Q(jQ) peut représenter une composante du bruit en 
fréquence du laser
monomode non asservi ou un bruit créé par un évènement exceptionnel. Nous 
insérons ce bruit
entre le correcteur et le système (voir fig. (6)).

Co(0) +4 EG)

SGA).

C(jQ) H(jQ)

Consigne %-
statique

K(jQ)

A

FIGURE 6 - Perturbation harmonique dans un système asservi.

25. Dans ce contexte, le signal d'entrée du système devient maintenant Q(jQ), 
et le signal de
sortie reste S(j0).
Déterminer les fonctions de transfert en boucle ouverte F6(jQ) et en boucle 
fermée F(j0Q)
de ce modèle.
Comment choisir le gain de la fonction de transfert de la boucle de retour pour 
amortir
suffisamment une perturbation à la pulsation (.

26. Quand on régule la fréquence d'un laser monomode sur une fréquence de 
référence 9 très
stable, on souhaite d'abord que le système asservi ait une excellente 
précision. Le second
critère est évidemment que l'asservissement soit stable.

Quel(s) correcteur(s) proposez vous d'utiliser dans ce cas ? Vous pouvez 
mentionner plusieurs
types de correcteurs en comparant leurs mérites au regard des exigences 
formulées ci-dessus.

16. Ces composantes de bruit sont principalement dues à des bruits d'origine 
thermique (très basse fréquence) ou
mécanique (vibrations) à plus haute fréquence (jusqu'à 1 MHz dans certains 
lasers).

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