CCINP Maths 1 PC 2001

SESSION 2001 PCOO4

A

CONCOURS (OMMUNS POlYTECHNIOUES

ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE PC

MATHÉMATIQUES 1

DURÉE : 4 heures

Les calculatrices ne sont pas autorisées

Notations

Soit n et p des entiers supérieurs ou égaux à 1. Mn,p(R) désigne le R--espace 
vectoriel des
matrices à coefficients réels ayant n lignes et p colonnes. On identifiera 
Mn,1(R) et M p,1(R) res-
pectivement à R" et R7", que l'on supposera munis de leurs produits scalaires 
canoniques notés
respectivement < - | - >,. et < - | - >p. Les normes associées à ces produits 
scalaires seront notées

respectivement || - ||n et || - ||p.
On notera (Ei)lsi5p la base canonique de Mp,1(R) et (FJ--)1Sjsn celle de 
M...(R).
Lorsque }) = n, M.... (R) est noté plus simplement MAR) et est muni de sa 
structure d'algèbre,

In représentant la matrice identité.
On,p désigne la matrice nulle de M MUR) et On la matrice nulle de MAR).
Pour A appartenant à Mn,p(R), 'A désigne la matrice transposée de A : c'est un 
élément de

Mp,n(R).
Ker A est le noyau de A défini par

KerA : {X EUR Mp,1(R) | AX : O}
Im A est l'image de A définie par
ImA = {AX | X EUR Mp,l(R)}

Enfin, on adopte la notation FJ-- pour désigner l'orthogonal d'un sous-espace 
vectoriel F d'un
espace euclidien. '

Partie 1

Soit A EUR Mn,p(R).

I.1 Montrer que 'AA est nulle si et seulement si A est nulle.

Dans toute la suite du problème A sera supposée non nulle.

I.2 Montrer que les matrices ltAA et A'A sont diagonalisables au moyen de 
matrices orthogonales.

1.3 a) X, Y désignant deux éléments de M... (R), exprimer le produit scalaire < X | Y >n sous
la forme d'un produit matriciel.

Tournez la page S.V.P.

b) Si W est un vecteur propre de tAA associé à la valeur propre À, exprimer 
||AW|IÏ, en
fonction de A et ||W||,,.
c) En déduire que les valeurs propres de tAA sont réelles, positives ou nulles.
1.4 a) Pour 3: réel, calculer les produits matriciels par blocs suivants :

221" A --I,, O...,, et fil,, A --L, A
tA.- I,, 1*A Ip % Ip Op,n --a:I,,

b) En déduire que les matrices tAA et AtA ont les mêmes valeurs propres non 
nulles avec le
même ordre de multiplicité.
c) En déduire également que les matrices 1*AA et AtA ont même rang.
15 Montrer que si n > p, 0 est valeur propre de AM et que si n < p, 0 est valeur propre de 1MA. 1.6 On note À1,À2, . . . , A,, les valeurs propres de tAA, chaque valeur propre apparaissant dans cette liste un nombre de fois égal à son ordre de multiplicité et on pose ,a,-- = \/Î,- pour tout z' élément de {1,2,.... ,p}. Les réels 11,-- sont appelés valeurs singulières de A. On suppose les réels À,-- ordonnés tels que Al 2 & 2 . . . 2 À,, 2 0. 3) Montrer que À1 est non nul. On définit alors un unique entier naturel r appartenant à {1,2, . . . ,p} comme suit : si toutes les valeurs propres de tAA sont non nulles, r = p, sinon r est tel que pour tout i 5 r, À,-- > 0 et pour
tOllti > ?",À,' =().

Soit (V1, V2, . . . , V,,) une base orthonormale de vecteurs propres de tAA 
respectivement associés
aux valeurs propres /\1, &, . . . ,À,, ; V1, V2, . . . ,V,. désignent les 
vecteurs propres associés aux va--
leurs propres non nulles et lorsque r est strictement inférieur à p, V,.+I, . . 
. , V,, désignent les vecteurs
propres associés à la valeur propre 0.

b) Montrer que T 5 n et que la dimension de Ker AtA est égale à n -- r.

. 1 . , .
Pour toutz EUR {1,2, . .. ,r}, on pose U,-- : -----AV,-- et Si n > r, on 
des1gne par (Ur+1, . .. ,Un) une
#z'

base orthonormale de Ker AtA.

0) Montrer que pour touti EUR {1, 2, . . . ,r}, AV,-- : u,--U,-- et que si T 
est strictement inférieur
àp,p0urt0uti EUR {r+1,.... ,p},AV,-- : 0.

(1) Montrer que pour toutz' EUR {1,2, . .. ,r}, tAU,-- : ,u,--V,--.

e) Montrer que si n > r, pour toutz' EUR {T + l,. . . ,n}, tAU, : 0.

f) En déduire que le système de vecteurs (U 1, U 2, . . . , Un) constitue une 
base orthonormale
de vecteurs propres de AM et préciser la valeur propre associée à chaque 
vecteur U,.

I. 7 On note V la matrice carrée réelle d'ordre p dont le ième vecteur colonne 
est le vecteur V,, U
la matrice carrée réelle d'ordre n dont le jèmô vecteur colonne est le vecteur 
U et (UAV),,-- l'élément
de la ième ligne, jème colonne de la matrice tU AV

a) Montrer que:

1 si z'=j

V(Zaj) EUR {1727°°° an} X {1727°°° ap} 7 (tUAV)Ü =Njôij Où (Sii: {0 Si Zî£j

b) On note A la matrice appartenant à Mn,p(R) dont tous les éléments AÜ sont 
nuls sauf

A... A22, . . . , A...... respectivement égaux à ..., ,u2, . . . ,,u,.... 
Montrer que A : MAV.
La factorisation de A ainsi obtenue est dite décomposition de A en valeurs 
singulières.
c) Trouver une décomposition en valeurs singulières de chacune des matrices :

1 --1 ' 1
AO : 1 1 et Bo : (_1>
0 2

1.8 Montrer que le rang de A est égal à r.
P
1.9 3) Montrer que V = z VÏE..
i=1
b) En déduire :

A = ÊHiUitÏ/z' , tAA = Î /\z'VltVi , AtA [= Ë ÀiUiWi
i=1 i=1 i=1

c) Déterminer les sous--espaces vectoriels suivants : Ker A, Ker 1'A, Im A, Im 
%.
(1) Montrer que Ker tAA : Ker A et Ker AtA : Ker tA

Partie II

Avec les notations de la partie I, pour A E Mn,p(R) admettant une décomposition 
en valeurs

singulières A = U AW, on appelle A+ la matrice de Mp,n(R) dont tous les 
éléments A;Ë- sont nuls

1 1 1
sauf AÎ1,A'{2, . . . ,Aj; respectivement égaux à --------, -----, . . . , ---- 
et on pose A+ : V(A+)tU
#1 H2 /--Lr
A+ (resp. A+ ) est appelée pseudo--inverse de A (resp. de A). A priori, la 
matrice A+ ainsi

définie dépend de la décomposition en valeurs singulières choisie pour la 
matrice A, mais il sera
montré à la question II.9 qu'il n 'en est rien et que A+ est uniquement 
déterminée à partir de A.
11.1 Déterminer les matrices A3 , A0Ag,+ , A3 A0, A0A3"AO et A5" A0A3L .
II.2 Déterminer (Aä )+ .
II.3 Evaluer A+A et AA+.
11.4 Montrer que si A est une matrice carrée inversible (n = p = r), alors A+ : 
A"1.
II.5 Montrer que :

7' 1 ?" ?"
A+ : Z--WU. , AA+ = YU.iU. , A+A= EV.'V.
M '.--" «< . z=1 z=1 z=1 11.6 a) Evaluer AA+ U j pour tout J' E {l, 2, . . . , n} et en déduire que AA+ est la matrice dans la base canonique de R'" de la projection orthogonale de R" sur Im A. ' b) Montrer de même que A+A est la matrice dans la base canonique de RP de la projection orthogonale de RP sur (Ker A)l. Tournez la pageS.V.P. 11.7 Etablir les identités suivantes : AA+ : '(AA+) , A+A : '(A+A) , AA+A = A, A+AA+ : A+ (1) 11.8 Etablir les résultats suivants : i) ImA : ImAA+ , Ker A+ : KerAA+ , ImA+ : ImA+A , Ker/i : KerA+A. ii) R" : ImA EB Ker/l+ , R" : ImA+ EB KerA. II.9 Soit B une matrice de M MUR) vérifiant : AB='(AB), BA='(BA), ABA=A, BAB= B a) Montrer que B vérifie les identités suivantes : i) B : B'B'A : 'A'BB ii) A : A'A'B : 'B'AA iii) 'A : 'AAB : BA'A b) En déduire que B : A+ , autrement dit que A+ est l'unique matrice de M MUR) vérifiant les relations (1). 11.10 Montrer que (A+)+ : A et '(A+) : ('A)+. 11.11 Evaluer (AOBO)+ et BäASr . A--t-on l'égalité ? » 11.12 Soit H EUR M,...(R) et H = A+H . On note d(H,Im A) la distance de H au sous--espace vectoriel Im A. 3) Montrer que pour tout X EUR Mp,1(R), AX ---- AA+H et H -- AA+H sont orthogonaux et en déduire: __ VX EUR Mp,1(R),HAH-- HHn < ||AX -- Hlln Que vaut alors d(H , Im A) ? ... b) Montrer que s'il existe H EUR Mp,1(R) tel que ||AH ---- H||n : ||AH-- HHn avec H # H, alors llHllp < HHIIP-- 1 c) Si H = 1 ,déterminer inf HAOX ----- H||3. 1 X @@ Fin de l'énoncé