CCINP Maths 1 PC 2002

SESSION 2002 A PCM 1004

CONCOURS (OMMUNS POIYÏECHNIOUES

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PC

MATHEMATIQUES 1

Durée : 4 heures

Les calculatrices sont interdites

****

N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, & la 
précision et à la conci--
sion de la rédaction.

Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d 
'e'nonce', il la signa-
lera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons 
des initiatives qu 'il a
été amené à prendre.

****

Notations

Soit n et p des entiers supérieurs ou égaux à 1. K désignant le corps des réels 
ou celui des
complexes, on note M...,,(K) le K--espace vectoriel des matrices à coefficients 
dans K ayant n lignes
et p colonnes. Lorsque p = n, M,...(K) est noté plus simplement M,,(K) et est 
muni de sa structure
d'algèbre, I,, représentant la matrice identité.

OW désigne la matrice nulle de M n,p(K) et On la matrice nulle de M,,(K).

GL,,(K) désigne l'ensemble des matrices inversibles de M ,,(K) et 7Ç,(K) 
l'ensemble des ma--
trices carrées d'ordre n triangulaires supérieures à éléments dans K.

Tout vecteur a: == (:c,--)15i5n de K" est identifié à un élément X de M...(K) 
tel que l'élément
de la ième ligne de X soit an,--. Dans toute la suite, nous noterons 
indifféremment X : (oe,)15i5n un

élément de Mn,1(K) aussi bien que le vecteur de K" qui lui est associé.

Pour A : (Clij)15iSn dans M...,,(K) et X : (oe,)1' |

Conformément à l'usage, on note NOO la norme définie sur C" par :

ISiSn

Tournez la page S.V.P.

On qualifie de norme matricielle toute norme 


_ 1 01,71
(1) On pose R _-- (Una H

e) Calculer R'1 Q"1 M QR et en déduire que M est trigonalisable.
I.2 Déduire de la question précédente que pour tout n entier supérieur ou égal 
à 1, toute matrice
de MAC) est trigonalisable.

) . Montrer que R est inversible et exprimer R"1.

1 1 0
1.3 Soit la matrice G = 1 --1 l
2 ------5 3

a) La matrice G est-elle diagonalisable ?

b) On note B = (61, 62, 83) la base canonique de C3. Montrer que G admet un 
unique vecteur
propre u dont la première composante dans la base B est égale à l et vérifier 
que 81 = (u, 62, 83) est
une base de C3 .

c) On note Q la matrice de passage de B à B 1. Calculer Q"1GQ et en déduire, en 
s'inspirant
de la méthode décrite aux questions 1.1 et 1.2, P E GL3(C) et T E TAC) telles 
que P--1GP : T.

1.4 Soit A E MAC). Si T est une matrice triangulaire supérieure semblable à A, 
que représen-
tent les éléments diagonaux de T ?
1.5 Soit S : (s,--j) et T = (t,,--) deux matrices triangulaires supérieures de 
MAC).

3) Montrer que S T est une matrice triangulaire supérieure dont les 
coefficients diagonaux
sont 311t11, 322t22, . .. ,s...,t,....

b) Pour le EUR N*, quels sont les éléments diagonaux de T k ?

I.6 Montrer que pour toute matrice A de MAC), p(A'") : [p(/l)]'EUR .

1.7 Montrer que l'application z/2 : .Mn(C) --> K , A : (dij) --> 1£riaär ldijl 
est une norme sur
_z,_7_n

MJC), mais n'est pas en général une norme matricielle sur MAC).
1.8 En admettant l'existence de normes matricielles sur M..(C) (la suite du 
problème montrera
effectivement cette existence), montrer que pour toute norme N définie sur M 
n(@), il existe une

constante C réelle positive telle que :
v (A, B) EUR (M..(+oo

(1) Soit A EUR M2(C). Donner une condition nécessaire et suffisante sur p(A) 
pour que la
suite (Al");OEN converge vers la matrice nulle.

Partie 11

Soit A : (Gij) une matrice de MAC) et N une norme quelconque sur (C". On pose :

11.1 3) Montrer que pour tout X E C" : NOO(AX) £ MANoe(X).
b) Montrer qu'il existe une constante réelle C A telle que :

VX EUR «:" , N(AX) g CAN(X)

c) Montrer que l'ensemble {% | X E C" \ {O}} possède une borne supérieure dans 
R.

On notera dans la suite : N(AX)
[V A' = sup
( ) Xe@n\{0} N(X)

(1) Montrer que: Ê(A) 5 MA.
e) On reprend dans cette question la matrice G introduite en I.3£éterminer un 
vecteur X0
de (Y tel que Noe(XO) == 1 et Noe(GXO) : 10. En déduire la valeur de Noe(G).

11.2 Soit io un entier compris entre 1 et n tel que 2 la...--| : M A. En 
considérant le vecteur Y

j=1
de CC" de composantes yj définies par :

Tournez la page S.V.P.

Clin

1%" Si ai0j#0etyj=lsiaioj=0

laiojl
montrer que MA 5 Ê(A) et en déduire Ê(A) : MA.
II.3 Montrer :
a) N(A)=0<=>A=O...
b) VA EUR @, MM) 5 |À|JÎÎ(A).
c) En déduire : VÀ EUR @, Ü(ÀA) : |À|1Y(A).
d) VB @ Mn( < ...) II.5 Montrer que si lim Ak = 0... alors p(A) < 1. k-->+oo
Dans toute la suite du problème, on admettra que, réciproquement, si p(A) < 1, alors lim A'" = on. k-->+oo

1
F

11.6 3) Montrer que pour tout k entier naturel non nul : p(A) _<_ {]Y(A"")l b) Montrer que pour tout & EUR @, p(aA) : |a|p(A). A ---{--À--)--Î--. Vérifier que p(AE) < 1 et en déduire l'existence d'un p 5 c) Soit5 > OetAEUR :

entier naturel kEUR tel que :

Vk EUR N° (k 2 ks : Ï\7(Ak) S (p(A)+e)k)

d) En déduire lim lñ(A'")l 5 = p(A).

k-->+oo

Partie 111

Une matrice A de Mn,p(R) est dite positive (resp. strictement positive) et on 
note A 2 0 (resp.
A > 0) si et seulement si tous ses coefficients sont positifs ou nuls (resp. 
strictement positifs). Si A
et B sont deux matrices de Mn,p(R), on note A 2 B (resp. A S B, A > B, A < B) si et seulement siA--BZO(resp.B--AZO,A--B>O,B--A>O)

Notons que grâce à l'identification de R" et Mn,1(R), on pourra parler de 
vecteur de R" positif
ou strictement positif.

III.] Donner un exemple de matrice A montrant que les conditions A 2 () et A # 
0 n'impliquent

pas nécessairement A > 0.
111.2 A, B, A' , B' désignent des matrices de M,,(R).

a) Montrer que si 0 5 A _<_ B et0 5 A' S B', alors 0 5 AA' 5 BB'. b) Montrer que si () 5 A S B, alors pour tout le E N'", 0 5 Al" 5 BI". c) Montrer que si 0 S A S B, alors Ê(A) 5 Ê(B). (1) Montrer que si 0 5 A _<_ B, alors p(A) £ p(B). e) Montrer que si 0 5 A < B, il existe 6 EUR]0, 1[ tel que A S cB et en déduire p(A) < p(B). III.3 Soit A une matrice positive de JM,,(R) telle que la somme des termes de chaque ligne soit constante égale à &. Montrer que a est valeur propre de A et que : III.4 Soit A une matrice positive de M,,(R). Pour tout i EUR {l, . . . ,n}, on note oz,-- la somme des termes de la ième ligne de A et oz : rpin Oz,. On définit la matrice B : (b,--j) par B = 0... si a = 0 et 1_iSn Oz , , , . . . . . (),--J-- = --a,--,, s1 Oz > 0. Montrer al a1de de la matr1ce B ams1 constru1te 
que :
05 '

' .. < < --. .. 1Iâl£flfl (Z a") "" 'O(A) _ 1ÊZËî (Z a") j=1 j=1 1115 Soit A une matrice positive de M,,(R) et X = (ca--) un vecteur strictement positif de R". On note D,. la matrice diagonale de M,,(R) ayant pour termes diagonaux 331, 332, . . . ,æ,,. Calculer les éléments de la matrice D;1ADOE et en déduire : min --(--AÀ)i _<_ p{A) _<_ max (AÀ)i 1£iSn oei 1£iSn OEi III.6 Soit A une matrice positive de M,,(R). Montrer que si A admet un vecteur propre stricte-- ment positif, alors la valeur propre associée est p( A) et : P(A) = sup (min (AX),) : inf (max (AX)i) X>0 152571 a:,-- X>O 1959 $,-

Fin de l'énoncé