CCINP Maths 1 PC 2006

SESSION 2006 PCM 1004

A

Concours cohnuus rouncuumu:s

EPREUVE SPECIFIQUE -- FILIERE PC

MATHEMATIQUES 1

Durée : 4 heures

Les calculatrices sont interdites

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N.B. : Le candidat attaChera la plus grande importance à la clarté, à la 
précision et à la

concision de la rédaction. ' '
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur 
d'énoncé, il le

signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les 
raisons des initiatives
qu 'il a été amené à prendre.

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Notations et objectifs

Dans tout le problème, E et F désignent deux espaces vectoriels euclidien's de 
dimensions au
moins égales à 2. Pour chacun de ces espaces, le produit scalaire de deux 
vecteurs a: et y et la norme

d'un vecteur se sont respectivement notés (a: | y) et | |æ||.
£(E, F) désigne l'ensemble des applications linéaires de E dans F.

La matrice transposée d'une matrice A est notée %.
Les candidats pourront utiliser sans le redémontrer qu'un projecteur d'un 
espace eucli-

dien est un projecteur orthogonal si et seulement si il est symétrique.

L'objet de la première partie est de caractériser la composée de deux 
projections orthogo--
nales qui commutent. La seconde partie propose une résolution approchée d'une 
équation linéaire
n'ayant pas de solution en introduisant la notion de pseudo-solution et la 
troisième partie généralise
la notion d'inverse d'une matrice carrée à une matricerectangulaire en 
introduisant la notion de

pseudo-inverse.

PARTIE I

1.1 Soit 513 et y deux vecteurs de E, B une base orthonormale de E, X et Y les 
matrices respec-

tives de a: et y dans la base B. Montrer que : (a: | y) : 1tX Y : tYX .
1.2 Soit H un sous-espace vectoriel de F tel que 1 < dim H < dim F. Soit (81, 62, . . . ,ek) une base orthonormale de H et p le projecteur orthogonal de F sur H. _ a) Pour tout 2 EUR F, exprimer (sans justification) p(z) dans la base (61, 62, . . . ,6k)-- b) Soit C une base orthonormale de F. Relativement à cette base C, on note Z la matrice d'un vecteur z de F, M ( ) la matrice de p et pour tout i E {1, 2,. k,} E,-- la matrice de e,. i) Montrer que pour tout 2 EUR F, M (p )=Z îî: E, "E, Z. ii) En déduire M(p =Z E, 1'E,. c) Montrer que pour toutz E F, ||p(z )" < ||zH. I.3 Exemple: On note M la matrice définie par 1 0 --_1 0 1 0 1 0 --1 M"ä '---1 0 1 0 0 --1 0 1 3) Montrer que M est la matrice dans la base canonique de R4, muni du produit scalaire usuel, d'un projecteur orthogonal de R4. _ b) Donner une base orthonormale du noyau et une base orthonormale de l'image de ce projecteur. I. 4 Soit K un second sous- espace vectoriel de F, r le projecteur orthogonal de F sur It, À une valeur propre non nulle de p o r et u un vecteur propre associé. . a) Montærque u est élément de H etque r(u) ---- Àu est élément de H '. b) Établir l'égalité: À||u||2 : Hr(u)ll2. EUR) En déduire que toutes les Valeurs propres de p o r sont dans le segment [O, 1]. 1.5 On suppose dans cette question que pet r commutent. ' 3) Montrer que p o r est un projecteur orthogonal. b) Dans le cas où p o r est n0n nul, déterminer son spectre. c) Montrer que: Ker (p 0 T): Kerp + Kerr et Im (p 0 T'): Impñ Im r. 1.6 On pose m : dim F et on ch0isit une base orthonormale de F telle que les matrices de p et r dans cette base soient respectivement les matrices décomposées en blocs : '_1,,0. . _AB P--(O O) et. R--(C D) où Ik est la matrice unité d'ordre k, A une matrice carrée d'ordre !: et D une matrice carrée d'ordre m -- k. ' a) Montrer que les matrices A, B, C , D vérifient les relations : A2+BC=A,AB+BD=B, CB+D2=D,tA=A,tB=AC,*D=D b) Montrer que les quatre conditions suivantes sont équivalentes : i) Le spectre de p o 7' est inclus dans {0,1}. " ii) ltCC= 0. iii) C-- -- O. iv) p et r commutent. ' PARTIE II ' Dans cette partie, sont donnés un élément f de £( E , F) et un élément v de F. 11.1 En considérant la projection orthogonale de 1) sur l'image de f, montrer qu'il existe un élément mo de E tel que : Ilf(--"Eo) -- vll = Ilfèinl|f(æ) -- vll Dans la suite 5170 sera appelée une pseudo-Solution de l'équation : f(x) = v . » (*) II.2 Montrer que si f est injective, alors l'équation (*) admet une pseudo-solution unique. II.3 Montrer que 330 est pseudo- solution de l'équation (*) si et seulement si pour tout :z: appar-- tenantàE: (f (a: )|f(oeo)-- v)=_.0 11.4 Soit B et C deux bases orthonormales de E et F respectivement. On appelle A la matrice de f dans les bases B et C , V la matrice de U dans C et X0 celle de 5130 dans 8. Ecrire sous forme matricielle l'équation ( f (oe) | f (330) -- v) = 0 et en déduire que 5130 est pseudo--solution de l'équation (*) si et seulement si : . . ' ' 'AAXO = 'AV' 115 Exemple : Dans cette question, on prend E = F = R3 munis du produit scalaire usuel. Relativement àla base canonique de R3, les matrices de f et 1) sont respectivement : 1 1-1 1 A: 1 1--1 etV= 0 --1_2 1 1 Déterminer les pseudo-solutions de l'équation f (a:) = v. [1.6 Application : n désignant un entier supérieur ou égal à deux, on considère trois éléments a : (a1,a2, . . .,an), 1) : (b1,b2, . .. ,b,,), c = (61,02, . .. ,c,,) de R" et on souhaite trouver deux TL . . réels A et ,u tels que la somme Z( (Àak + ,ubk -- ck)2 soit minimale. k: 1 _ a) M0ntrer que ce problème équivaut à la recherche des pseudo-- solutions d'une équation (*) : f (:r) _ 1) où f est un élément de £(R2, R"). Préciser le vecteur v et donner la matrice de f dans les bases canoniques de R2 et IR". b) Comment doit-- on choisir a et b pour que l'application f soit injective ? * c) Lorsque cette dernière condition est réalisée, donner la solution du problème posé en exprimant À et ,a à l'aide de produits Scalaires dans R'". PARTIE III Dans cette partie, f désigne toujours un élément de £(E, F). III.1 a) Soit y un élément de F. Montrer qu'il existe deux vecteurs a: et y' tels que :_ y "= f(x) + y'. <æ.y') <--: (Kerf)* >< (Imf)l b) Montrer qu'un tel couple (sc, y' ) est unique. On peut alors définir l'application g de F ' vers E qui à y fait correspondre a:. < . c) Montrer que l'application g est linéaire. g sera appelée l'application pseudo inverse de f. III. 2 Déterminer le noyau et 1 image de g. 111 .3 a) Montrer que g 0 f est le projecteur orthogonal de E sur (Ker f). h) Montrer que f o g est le projecteur orthogonal de F sur Im f. 111.4 Premier exemple : On prend E = R3, F = R2 munis de leur produit scalaire usuel. La matrice de f relativement aux bases canoniques est V 110 A"(011) Déterminer la matrice de g relativement aux bases canoniques. [ILS Dans cette question, on suppose que E = F et que f est un endomorphisme'symétrique. 3) Montrer que Kerf : (Imf)'L et Imf : (Ker f)l. b) Montrer que tout vecteur propre de f est vecteur propre de g. (On pourra discuter suivant que la valeur propre associée est nulle ou non). c) En déduire que g est aussi un endomorphisme symétrique de E. III.6 Deuxième exemple : On prend E ' = F = R3 muni du produit scalaire usuel. La matrice de f relativement àla base canonique est A_=V _ mmoo Grow 4>ow

Déterminer la matrice de 'g relativement à la base canonique.

Fin de l'énoncé