CCINP Maths 1 PC 2007

 

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, '

Les calculatrices sont interdites

****

N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, a la 
précision et a la
concision de la rédaction.

Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d 
'e'nonce', il le
signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les 
raisons des initiatives
qu'il a été amené à prendre.

****

Notations et objectifs

Soit il un entier supérieur ou égal à 1. On note :

.M...1(Ë.) le Ë.-espace vectoriel des matrices réelles à " lignes et 1 colonne.
JHH(IË.) le Ë.-espace vectoriel des matrices carrées réelles à " lignes et " 
colonnes.
GL... (IR) l'ensemble des matrices inversibles de .MH (IR).

ÊM la matrice transposée d'une matrice M".

L...... la matrice unité de JHfl(IË).

Sfl(Ë.) l'ensemble des matrices symétriques de .MH (IR).

SQ" (È) l'ensemble des matrices symétriques positives de ;MH(Ë.), c'est-à-dire 
l'ensemble des
matrices S' de Sfl(IË.) vérifiant :

VX & M...1(IR), fxsx ;: 0

SQ"" (IR) l'ensemble des matrices symétriques définies positives de .Mfl(Ë.), 
c'est-à-dire l'en-
semble des matrices S de S...... (IR) vérifiant :

VX & M..,...1æ.)\{ü} , fXSX :» 0

Le but du problème est d'introduire et d'étudier la notion de racine carrée 
d'une matrice de
;Hfl(IË.) : si A est une matrice de JHfl(IË.), on dit que R est une racine 
carrée de A si R2 = A.

1/4

La première partie propose de montrer qu'une matrice donnée peut admettre une 
infinité de
racines carrées ou n'en n'avoir aucune. La seconde partie montre l'existence et 
l'unicité d'une
racine carrée symétrique positive de A lorsque A est symétrique positive et 
introduit la notion de
valeur absolue d'une matrice symétrique réelle. Enfin la dernière partie est 
consacrée à l'étude d'un
algorithme de calcul de la racine carrée d'une matrice symétrique définie 
positive.

PARTIE 1

Pour @ réel, soit M} la matrice de .Mg(lË.) donnée par :

1 1--4a --1--|--4u
Mà= --3u --1--|--2a 2--l--a
--3a --2--a 3--l--4a

et f,, l'endomorphisme de Ë.3 dont la matrice dans la base canonique de Ë.3 est 
M}.
1.1 Déterminer suivant les valeurs de a, le rang de la matrice M} -- (1 + 
3a)Ï;,. Quelle valeur
propre de 11513 a-t-on ainsi mise en évidence ? Préciser la dimension du 
sous-espace propre associé.
1
1.2 Montrer que V = 1 est vecteur propre de M"... puis déterminer les valeurs 
propres de
1
M,,.
1.3 a) Montrer que pour tout & réel, M',,_ est trigonalisable.
b) Déterminer l'ensemble des valeurs de a pour lesquelles M} est diagonalisable.
1.4 Dans cette question, on suppose @ = 1.
a) Déterminer P inversible et D diagonale dans .Mg(lË.) telles que P"1MrlP = B, 
puis
déterminer une racine carrée de ME.
& Ü
Ü &
En déduire que 1511 admet une infinité de racines carrées dans .M 3(1Ë.).
1.5 Dans cette question, on suppose & = Ü et on pose N = M} -- IE,. Calculer NE 
et en déduire
l'existence de a: et {? réels tels que ü:Ïg + HN soit une racine carrée de 
11513 dans .Mg,(lË.).

b) Montrer que la matrice m = admet une infinité de racines carrées dans .M 2 
(IR).

. 1
1.6 Dans cette question, on suppose a = -- -- et on note a = f_Ë_ .
E': &: Ü
a) Déterminer tous les éléments X = y de .M 3,1(1Ë.) tels que i1--'ÎÏ_; y = 1
3
3 3 1

b) Déterminer une base B de Ë.3 telle que la matrice de n dans cette base soit

U=

DDC:

1 Ü
Ü Ü
Ü 1

c) Déterminer les matrices commutant avec U . En déduire que U ne possède pas 
de racine
carrée dans .M;,(IË.).
d) La matrice M'_ % possède-t-elle une racine carrée dans .M 3(1Ë.) ?

2/4

PARTIE II

II.] Soit al., ag, . . . ,a" n réels distincts deux a deux et Ep l'application 
de lË.fl_1[X| dans lË."
définie par :

cp : @ n--}-- (Q(OE1LQ(OE2L--- ,Q(%))

a) Montrer que Ep est une application linéaire injective.
b) En déduire que quels que soient les réels 51,52, . . . ,b... il existe un 
unique polynôme @
de Ë.fl_1[X] vérifiant :
Q(Ü'l) : 515 Q(Ü'Ë) : 525 ' ' ' 5Q(Ü'fl) : 511

11.2 Soit f et 9 deux endomorphismes de lË." diagonalisables et vérifiant f 13 
g = 9 13 f .

a) Démontrer, sans se contenter d'énoncer le résultat du cours, que tout 
sous-espace propre
de f est stable par 9.

b) Soit À1,Àg, ... ,la... les valeurs propres distinctes de f et E:... E:... . 
.. ,EÀF les sous-
espaces propres de f respectivement associés. Pour tout £ & {1,2, . .. , 33}, 
on note 9.- l'endomor-
phisme de EJ". induit par 9. Montrer que pour tout £ & {1 ., 2, . . . , 33]-- 
il existe une base B.- de E}...-
formée de vecteurs propres de 9. En déduire qu'il existe une base B de Ë." 
telle que les matrices de
f et 9 dans cette base soient toutes deux diagonales.

II.3 Soit A et B deux matrices de ;M..(IË.) diagonalisables et vérifiant AB = 
BA. Montrer
qu'il existe P E GLH (&) telle que P"1AP et P"1BP soient toutes deux diagonales.
II.4 Soit 5 E S..,(lË).

a) Montrer que S est positive si et seulement si toutes ses valeurs propres 
sont positives.

b) Montrer de même que S est définie positive si et seulement si toutes ses 
valeurs propres
sont strictement positives.

II.5 Soit 5 E Sï(lË.). On note À1,Àg,. .. 5)'-.Ï3., ;: EUR {1, 2, . .. ,a}, les 
valeurs propres deux a
deux distinctes de S .
a) Montrer qu'il existe un unique polynôme @ de degré inférieur ou égal à p -- 
1 vérifiant :

Vke{1,2,....p},otàu=\/Ë

b) Montrer que Q(S ) est symétrique positive.
0) Montrer que (Q(S))Ë = 5.
d) On souhaite montrer l'unicité d'une matrice symétrique positive qui soit une 
racine
carrée de 5. Soit donc T & SJ(Ë.) telle que T2 = 5.
Montrer que T commute avec 5 puis avec Q(S ) et conclure.
L'unique matrice symétrique positive racine carrée de S est alors notée «/Ê .
e) Dans cette question, on suppose que S admet seulement deux valeurs propres 
distinctes

211 et JLE. Montrer que:
1
«/Ê= _ S af}. }. L.,
|_Â1--l-- Î2| + 1 2 |

11.6 Soit 5 E S..,(IË).
a) Montrer que 52 E SQ" (È). On note alors |S | = @ et cette matrice est 
appelée valeur
absolue de la matrice S .
b) Montrer que les matrices |S | + S et |S | -- S sont dans S; (IR).

EUR) Soit 51 = (à Î) et 52 = (_à _Î). Calculer |51| et |Së|.

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PARTIE III

Soit & un réel strictement positif. On considère les deux suites réelles (& k) 
kg,; et (Em) ;OEN définies
par leurs premiers termes au = &, bü = 1 et les relations de récurrence :

1 1 1 1
VkENJÜÈ+1=_(ÜÈ+_)gbk+1=--(EÏÈ+--)
2 En; 2 CM;

III.1 Montrer que pour tout È- G N, ak :=-- Ü et En, :=-- Ü.
Ük

III.2 On définit les suites (uk)kefi et (ÜÈ)HEËT en posant pour tout È- G N, uk 
= akbk et U;, = [T)--'
:=
a) Etudier la suite (ÜÈ)ÈEË.

b) Etablir une relation de récurrence vérifiée par les termes de la suite (uk) 
kett-
c) Montrer que pour tout entier k supérieur ou égal à 1, H:; à 1.
d) Etudier la convergence de la suite (fik) kett-
III.3 Déduire des questions précédentes que les suites (Ük)keN et (bk)kefi 
convergent et préciser
leurs limites respectives.
III.4 a) Montrer que toute matrice symétrique définie positive est inversible.
b) Montrer que l'inverse d'une matrice symétrique définie positive est 
symétrique et
définie positive.
c) Montrer que la somme de deux matrices symétriques définies positives est 
symétrique
définie positive.
1115 Soit A une matrice symétrique définie positive d'ordre n. On considère les 
deux suites de
matrices (Ak)kefi]' et (BÈ)È.ÈN définies par leurs premiers termes A... = A, En 
= L, et les relations
de récurrence :

1
Vk EN, Ak+1 = ä(Ak+BJÏI) : Bk+l : (BÈ+AEI)

bailli--'-

Montrer que pour tout È- G N, A;, et B;, sont symétriques définies positives.
III.6 Soit D diagonale et P orthogonale telle que A = PDP--1.
a) Montrer que B est symétrique définie positive.
b) On pose pour tout k & N, D:, = P_1AÈP et $;, = P_IBÈP. Montrer que les 
matrices
D:, et $;, sont des matrices diagonales inversibles vérifiant :

(fil; + D,?)

bailli--'-

1
DÜ=D5 Âü=Ïn,Dk+1=ä(Dk--FÂEI) ,«5k+1=

c) Montrer que les suites (DÈ)ÈÈH et (Ak)kefi]' sont toutes deux convergentes 
dans .M,,(Ë.)
vers une même limite L que l'on précisera.
III.7 a) Montrer que l'application de .M,,(Ë.) dans lui-même qui a 111 associe 
PM'P"1 est
continue.
b) En déduire que les suites (AÈ)ÈEË et (BÈ);OEN sont aussi convergentes dans 
.M,,(IË.) et
préciser leur limite.

Fin de l'énoncé

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