CCINP Maths 1 PC 2008

 

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Les calculatrices sont interdites
****
N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance a la clarte, a la 
precision et a la
concision de la redaction.
Si un candidat est amene a reperer ce qui peut lui sembler etre une erreur 
d'enonce, il le
signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les 
raisons des initiatives
qu'il a ete amene a prendre.
****
Notations et objectifs
le -espace vectoriel des
Pour tout entier naturel superieur ou egal a 1, on note
le -espace vectoriel des matrices
matrices carrees d'ordre a coefficients dans et
colonnes a lignes a coefficients dans .
designe l'ensemble des matrices symetriques de
,
l'ensemble des matrices
orthogonales de
et la matrice identite d'ordre .
de
est identifie a un element de
tel que l'element
Tout vecteur
eme
de la
ligne de soit . Dans toute la suite, nous noterons indifferemment
un
aussi bien que le vecteur de
qui lui est associe.
element de
, soit encore la
Selon le contexte, designe soit le reel nul, soit la matrice nulle de
matrice nulle de
.
est muni de son produit scalaire canonique note
et de la norme associee notee
.
Une matrice carree reelle
sera dite positive si tous ses coefficients sont positifs ou nuls et
. De meme un vecteur de
sera dit positif si toutes ses compoon notera dans ce cas
santes sont positives ou nulles et on notera aussi
. L'ensemble des matrices carrees reelles
.
d'ordre , positives et symetriques est note
L'objectif de ce probleme est d'etudier des conditions pour lesquelles, etant 
donnes nombres
reels distincts ou non,
, il existe une matrice carree reelle d'ordre positive et
comptees avec multiplicite, c'est-a-dire
symetrique admettant pour valeurs propres
dont le polynome caracteristique est egal a

.

Dans la premiere partie on considerera quelques exemples simples.
Dans la seconde, on montrera que si est une matrice carree reelle positive et 
symetrique de
plus grande valeur propre , alors est positif, admet pour la valeur propre un 
vecteur propre
positif et toute valeur propre de verifie
.
1/4

La troisieme partie, assez technique, permettra de connaitre les valeurs 
propres d'une matrice
carree reelle positive et symetrique d'ordre
construite a partir de deux matrices et carrees
reelles positives et symetriques d'ordres respectifs et dont on connait les 
valeurs propres.
Enfin la derniere partie donnera des conditions suffisantes pour qu'il existe 
une matrice carree
reelle positive et symetrique d'ordre admettant pour valeurs propres comptees 
avec multiplicite,
reels donnes.
PARTIE I
I.1 Montrer que si
sont des reels positifs, distincts ou non, il existe une matrice
carree reelle positive et symetrique d'ordre et de valeurs propres
, comptees avec
multiplicite.
une matrice carree reelle d'ordre admettant
et pour valeurs propres.
I.2 a) Soit
Montrer que son polynome caracteristique est donne par
.
b) En deduire une matrice carree reelle positive et symetrique d'ordre 
admettant pour
et .
valeurs propres
I.3 Determiner une matrice carree reelle positive et symetrique d'ordre 
admettant pour
, et .
valeurs propres
I.4 Determiner une matrice carree reelle positive et symetrique d'ordre 
admettant pour
,
, et .
valeurs propres comptees avec multiplicite :
I.5 Montrer qu'il n'existe aucune matrice carree reelle positive et symetrique 
d'ordre ad,
et .
mettant pour valeurs propres comptees avec multiplicite :
I.6 a) Pour et reels, on note la matrice carree d'ordre dont les coefficients 
diagonaux
valent tous et les autres valent tous . Determiner les valeurs propres de .
b) Une matrice carree reelle symetrique d'ordre dont toutes les valeurs propres 
sont
positives ou nulles est-elle necessairement positive ?
PARTIE II
II.1 Soit
,
.
a)
b)
c)
.
et
II.2 Soit
definies par blocs sous la forme

et

. Etablir les egalites :

.
. On note

a) Montrer que
.
b) Montrer que si
sont orthogonaux dans
et
sont orthogonaux dans
.
c) La reciproque est-elle vraie ?
Dans la suite de cette partie designe une matrice de
matrice diagonale semblable a . On pose
.
II.3 a) Montrer que pour tout
b) En deduire que pour tout

,

et

les matrices de

orthogonaux dans

et

,

et

une
.

,

.

2/4

c) En utilisant une decomposition du vecteur
sur une base orthonormee de vecteurs
propres de , montrer que cette derniere inegalite est une egalite si et 
seulement si est vecteur
propre de associe a la valeur propre .
,
et
.
II.4 Soit
a) Montrer que est un ferme de
.
.
b) Montrer que est un ferme borne de
. Donner l'expression de
en
c) Soit
.
fonction des coefficients de et de ceux de ; en deduire que est continue sur
d) On pose
. Justifier l'existence de et montrer qu'il existe
appartenant
tel que
.
.
e) Montrer que
II.5 On suppose dans cette question
.
est un vecteur propre unitaire de associe a la valeur propre , on
a) Si
.
pose
i) Montrer que
est element de .
.
ii) Montrer que
iii) Montrer que
.
b) En deduire
, puis que la matrice admet un vecteur propre positif associe a la
valeur propre .
c) Montrer que pour tout
,
.

a

PARTIE III
Soit et deux elements de , , deux matrices symetriques reelles d'ordres 
respectifs et
,
une base orthonormee de
formee de vecteurs propres de ,
une base orthonormee de
formee de vecteurs propres de et
,
les
reels tels que :
et
Pour tout reel , on note

la matrice de

et on considere les vecteurs
de

de

definis par

III.1 Montrer que
valeurs propres correspondantes.
III.2 Pour reel, on note

donnee sous forme de blocs par :

definis par

, ainsi que les vecteurs

.
et

sont vecteurs propres de

et preciser les

le vecteur defini par

a) Montrer que
est unitaire dans
.
.
b) Determiner le spectre de
. On note
c) On suppose dans cette question
tel que :

l'unique reel de l'intervalle

3/4

et on pose
.
i) Montrer que est non nul.
.
ii) Evaluer le produit
iii) Montrer que et verifient l'equation :

iv) En deduire que
et
sont vecteurs propres de
propres correspondantes et en fonction de , et .
v) Montrer que les vecteurs
et donner l'ensemble des valeurs propres de
.
orthonormee de
vi) Montrer que les formules exprimant
et en fonction de
des valeurs propres de
lorsque
.

et exprimer les valeurs
forment une base
,

et donnent encore

PARTIE IV
Dans cette partie on se propose de demontrer par recurrence la propriete
est un element de
tel que :

suivante : si

et
alors il existe
tel que
soient les valeurs propres de comptees avec
multiplicite.
IV.1 Verifier que
est vraie.
tel que
soit vraie et soit
verifiant :
IV.2 Soit
et
On pose
.
tel que
soient valeurs propres de .
a) Montrer qu'il existe
Dans la suite de cette question IV.2, designera une telle matrice.
b) Montrer que admet un vecteur propre
unitaire et positif associe a la valeur propre .
c) Pour reel, soit
la matrice de
definie par :

i) Verifier que
est bien de la forme
: preciser , et
ii) En deduire les valeurs propres de
.
, les valeurs propres de
iii) Montrer que si
et conclure.
IV.3 Exemple

.
sont :

a) Determiner le spectre de la matrice
b) Determiner une matrice
valeurs propres
,
,

carree reelle positive et symetrique d'ordre , admettant pour
.
Fin de l'enonce
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