CCINP Maths 1 PC 2009

 

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SESSIONZOO9 CONCOURS COMMUNS POlYTECHNIOUES PCM1002

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PC

MATHEMATIQUES 1

Durée : 4 heures

Les calculatrices sont interdites
* * * *

N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, & la 
précision et à la concision

de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d 
'e'noncé, il la signalera

sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des 
initiatives qu'il a été

amené à prendre.
****

Notations et objectifs

n est un entier naturel supérieur ou égal à 1. On note M... (R) le R-espace 
vectoriel des matrices
colonnes à n lignes à coefficients réels, MAR) le R-espace vectoriel des 
matrices carrées réelles
d'ordre n, GLAR) l'ensemble des matrices inversibles de MAR), (QAR) l'ensemble 
des matrices
orthogonales de MAR) et SAR) l'ensemble des matrices symétriques de MAR). In 
désigne la
matrice identité d'ordre n et pour toute matrice A, 'A désigne la transposée de 
A.

Selon le contexte, 0 désigne Soit le réel nul, soit la matrice nulle de MAR), 
soit encore la matrice
nulle de M...(R). '

On rappelle que pour toute matrice symétrique réelle d'ordre n, il existe P 
appartenant à (DAR)
et D diagonale réelle d'ordre n telles que S : PDP--1.

R" est muni de son produit scalaire canonique noté ( | ) et de la norme 
associée notée || - ||.

Une matrice S de SAR) est dite positive si :

VX EUR M...(R) , tXSX ; 0
et définie positive si :
VX EUR Mn,1(R)\{O} , "XSX > 0

On note Sf{ (R) l'ensemble des matrices de SAR) positives et SË+(R) l'ensemble 
des matrices
de SAR) définies positives.

Soit A une application d'un intervalle [ de R dans MAR) qui à t associe la 
matrice A(i) de
coefficient d'indices i, j , aij (t). Si pour tout (i, j ) de ||1, n]|2, 
l'application t +------> adj--(t) est intégrable

sur I , on note A(t)dt la matrice de MAR) de coefficient d'indices i, j, / 
aij(t)dt.

1 , 1
L'objectif de ce problème est d'étudier la notion de fonction matriciellement 
croissante.

1/5

Dans la première partie on étudiera les notions de matrices symétriques réelles 
positives et
définies positives, puis on définira sur l'ensemble des matrices symétriques 
réelles une relation
d'ordre. Diverses propriétés de cette relation seront utilisées dans les deux 
parties suivantes.

Dans la seconde partie, on définira ce qu'est une fonction matriciellement 
croissante (ou décrois-

sante) et on étudiera des exemples de fonctions homographiques et puissances.
La troisième et dernière partie fera appel a une représentation intégrale et 
permettra de montrer

que la fonction logarithme népérien et la fonction a: +------> :1:"' pour & 
EUR]O, 1[ sont matriciellement
croissantes.

Dans tout le problème, S désigne une matrice symétrique réelle d'ordre n.

PARTIE I

1.1 Montrer que si S appartient à 83 (R), alors pour toute matrice M de M,,(R), 
tM SM appar-
tient aussi à S; (R).

1.2 Montrer que S appartient à 8,3" (R) (respectivement SË+(R)) si et seulement 
si toutes ses
valeurs propres sont positives (respectivement strictement positives).

I.3 Montrer que la matrice A : <_Î "i) est symétrique positive. Est--elle symétrique définie positive ? ----1 0 0 1.4 Soit la matrice B = 0 2 --1 . Est--elle symétrique définie positive ? O --1 1 15 Montrer que si S appartient à $;," (R) et si T est une matrice symétrique réelle semblable à S, alors T appartient aussi à S,?f (R). 1.6 a) Soit M EUR GL,,(R). Montrer que si /\ est valeur propre de M, alors A est non nul et À"1 est valeur propre de M "1. En déduire le spectre de M "1 en fonction du spectre de M. b) Montrer que si S appartient à S.,Ï+ (R), alors S est inversible et S _1 appartient à S;Ï+(R). I.7 Montrer que si pour tout X EUR M...1(R) , tX SX : 0, alors toute valeur pr0pre de S est nulle et S = 0. 1.8 On munit S,,(R) des relations notées < et <, définies respectivement par : V(S1,S2) EUR (S,,(lR))2 , (S1 < S2 «==> S2 -- S1 EUR 8,Ï(R))

et

V(Sl, S2) 6 (S,,(R))2 , (31 < 52 «=> S2 ---- S1 EUR S,Ï+(R))

a) Si S1 et S2 sont deux matrices de S,,(R) telles que S1 < S2 et S2 < S1, montrer que S1 : S2. b) Si (S1, S2) EUR (Sn(R))2, montrer que l'on n'a pas nécessairement S1 < S2 ou S2 < S1. c) Si S1 et S2 sont deux matrices de S,,(R) telles que S1 { S2, S1 # S2, a-t-on S1 < SZ ? (1) Si S1 et S2 sont deux matrices de «S,,(R) telles que S1 < S2 et a un réel, comparer les matrices aS1 et ozS2 pour la relation <. e) Si S, S1 et S2 sont trois matrices de S,,(R) telles que S1 { S2, comparer les matrices S + S1 et S + S2 pour la relation <. 1.9 Soit (S1, S2) EUR (S,,(R))2 avec S1 < S2. Montrer que pour toute matrice M de M,,(R), 'MS1M < tMS2M. 1.10 On suppose I,, { S. a) Que peut-on dire des valeurs propres de S ? En déduire que S est inversible. b) Que peut--on dire des valeurs propres de S "1 ? En déduire : 0 < S "1 < In. 2/5 1.11 a) Montrer que s'il existe M EUR GL,,(R) telle que S = ltM M , alors S est symétrique définie positive. b) Montrer que si S est diagonale définie positive, alors il existe M EUR GL,,(R) telle que S : 1KM M . c) Montrer que ce résultat subsiste si S est symétrique définie positive non diagonale. I.12 Soit (S1, S2) EUR (S,,(R))2 tel que 0 < S1 { S2 et M1 EUR GL,,(R) telle que S1 = tM1M1. Montrer que I,, { t(Mf 1)S2M1-- 1, en déduire que S2 est inversible et S2"]L < Sf1. PARTIE II II.] Dans cette question seulement, on suppose d'une part que n est supérieur ou égal à 2 et d'autre part que S possède exactement deux valeurs propres À1 et À2 de multiplicités respectives nl EURt 712. a) Montrer qu'il existe un unique couple (P1, P2) de matrices de M,,(R) tel que : In=P1+P2 S=À1P1+À2P2 Expliciter les deux matrices P1, P2 en fonction de S, ]... Al, /\2 et montrer qu'elles sont symétriques. b) Si P est une matrice orthogonale telle que P"1SP : diag()... . . . , /\1, À2, . . . , /\2) (où À1 est répété nl fois et À2 @ fois), exprimer P1 (respectivement P2) en fonction de P, de P_1 et d'une matrice diagonale. En déduire que P? : P1, P22 : P2, P1P2 : P2P1 : 0 et donner les rangs de P1 et P2 en fonction de nl et m. « c) Montrer que pour tout k E N , S '" : À'ÏP1--l-ÀËP2 et en déduire pour Q EUR R[X ] l'expression de Q(S) en fonction de P1, P2, Q(À1) et Q(À2). (1) Soit SO la matrice de S,,(R) dont tous les coefficients valent 1 sauf les coefficients diago- naux qui valent 2. Vérifier que SO admet exactement deux valeurs propres et déterminer les matrices P1 et P2 associées. II.2 Soit u l'endomorphisme de IR" dont S est la matrice dans la base canonique de IR". On note À1, À2, . . . , A,, les valeurs propres distinctes de u et E1,E2, . . . ,EP les sous-espaces propres de u respectivement associés. &) Montrer que : V(a:,y) EUR IR" >< IR" , (u(æ) | y) = (a: | u(y)). b) Montrer que pour tout (i, j ) EUR [[1, p]]2 tel que z' # j , les sous--espaces propres E, et E, sont _ p orthogonaux. Que vaut la somme d1recte EURB-- E, '? i=1 c) Si 71 EUR [[1, p]] et :1: E R'", on note p,(cc) la projection orthogonale de a: sur E,. La matrice de p, dans la base canonique de R" est notée P,. i) Montrer que la matrice P, est symétrique. ii) Si a:, est élément de E,, évaluer p,(æ,) et en déduire que pour tout (i, j ) EUR |Il, p]]2 tel que i# ,, P.P, = o. p p d) Montrer que 2 P, = I,, et z À,P, : S. i=l i=1 P La décomposition S = z À,P, est dite décomposition spectrale de S. 7Ç=1 3/5 II.3 Soit ] un intervalle de IR et f une application de I dans R. Si À1, À2, . . . , A,, sont dans I , on définit la matrice f (S ) par f(S) : Zf(À,-)P, a) Montrer que Sf(S) = f(S)S : z A,f(A,)P,. i--1 b) Si X est vecteur propre de S pour la valeur propre Àk, montrer que X est aussi vecteur propre de f (S) et préciser la valeur propre correspondante. c) Calculer cos(7rSo) où SO est la matrice introduite en 11.1 (1). L'application f sera dite matriciellement croissante (respectivement matriciellement décrois- sante) sur 1 si pour tout n > 1 et tout couple (A, B) de matrices de S,,(R) 
dont les valeurs propres
sont dans I :

A < B => f(A) < f(B) (respectivement f(B) { f(A)) 1 11.4 a) Soit 9 :]O, +oo[----> R , oe »----> --. A quelle condition sur la 
matrice S peut-on définir
a:
g(S ) '? Montrer qu'alors g(S ) = S "1 et en déduire que g est matriciellement 
décroissante sur
]0, +oo[.
b) Soit h :] -- 1, +oo[---> R , a: +------+ OE . A quelle condition sur la 
matrice S peut-on

33 +
définir h(S ) ? Montrer qu'alors h(S) : I,, ---- (S + [n)--1 et en déduire que 
h est matriciellement

croissante sur] -- 1, +oo[.
a:" si :D > 0

. et our tout cc réel, soit A sc
0 s1 :1: = 0 p ( )

II.5 Pour & > 0, soit pa : [O, +oo[----> R , oe r------> {

et B(æ) les matrices définies par :

A<æ>= (::: :::) .. B= (Z ? )

c_hʣ

3) Montrer que pour tout a: réel, B(æ) < A(æ). b) Pour a: # O, déterminer explicitement la décomposition spectrale de A(oe). c) En déduire que pour tout 516 E R, pa(A(oe)) : A(ozæ). 0 0 (1) Montrer que pa(B(æ)) = 0 1 (ch oe)" e) Calculer det [ a(A(oe)) 4-- pà(B(æ))]. En donner un équivalent simple au voisinage de a: = 0 et en déduire que pour a > 1, % n'est pas matriciellement croissante sur 
]0, +oo[.

PARTIE 111

On suppose désormais que S est définie positive.

III.1 a) Soit ] un intervalle de R et A : I ----> MAR) , t +----+ A(t) : 
(aw--(t)) une application

telle que pour tout (i, j ) de [[1, MP, t r----> CLü(É) est intégrable sur I . 
Montrer que pour toute matrice
colonne X de M...MR), t n--------> 'XA(t)X est intégrable sur I et :

/ItXA(t)th : "X ([A(t)dt) X

4/5

b) Soit f une application de I dans R intégrable sur I et M EUR M,,(R). 
Justifier l'existence

de / f (t)M dt et montrer que:
[
/f(t)Mdt= (/f(t)dt) M
1 1
+00 513

111.28 't 01 tF1 f t d ' F : -----------------dt.
01 05 EUR] , [e a onc1on onnee par (oe) /0 (1+æt)t°'

3) Montrer que pour tout a: > 0, F (a:) existe.
b) Montrer, en utilisant par exemple le changement de variable u : oet, qu'il 
existe une
constante C strictement positive telle que pour tout a: > 0, F (35) : Ca:°'.
p
,\.
c Montrer ue our toutt > O, S "1 +1ËIn est inversible et S _1 + tI,, --1 = ?"
) q p ( ) Z 1 + M

z=1

P,.

(1) En déduire F (S ) = /

ta
()
EUR) Soit A et B deux matrices de 8,Ï+(R) telles que A { B. Montrer que :

VX EUR M...1(R) , w > 0 , tX(A--1 +t1,,)--1X < tX(B"1 + tI,,)"1X En déduire que F est matriciellement croissante sur ]0, +oo[, puis que pour & EUR]O, 1[, la fonction pa introduite en 115 est matriciellement croissante sur ]0, +oo[. +°° t 1 111.3 a) Montrer que pour tout a: > O, / ( ) dt : ln a:.
0

1--l--t2 a:+t

+OO t
h E d'd' 1S= ' I,,---- S t], --1 dt.
) n eu1ren /Û (1+t2 (+ ) )

c) Montrer que la fonction ln est matriciellement croissante sur ]0, +00 [.

Fin de l'énoncé

5/5