CCINP Maths 1 PC 2010

SESSION 20 1 0 PCM 1 002

A

CONCOURS COMMUN!) POLYTECHNIOUES

EPREUVE SPECIFIQUE FILIERE PC

MATHEMATIQUES 1

Durée : 4 heures

Les calculatrices sont interdites

>l<>l<>l<>l< N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance a la clarté, a la précision et a la concision de la rédaction. Si un candidat est amené a repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énonce', il le signalera sur sa copie et deura poursuiure sa composition en eoepliquant les raisons des initiatiues qu'il a été amené a prendre. >l< >l< >l<>l< Notations et objectifs Dans tout ce problème n est un entier naturel supérieur ou égal à 2 et E est un espace vectoriel de dimension finie n sur le corps R des nombres réels. £(E) désigne l'algèbre des endomorphismes de E et GL(E) l'ensemble des endomor-- phismes de E qui sont bijectifs. On note () l'endomorphisme nul et id l'application identité. Pour tout endomorphisme f, Ker ( f ) et Im ( f ) désigneront respectivement le noyau et l'image de f. L'ensemble des valeurs propres de f sera noté Sp( f ) et on notera : 73(f) = {h EUR £(E) \ W = f} R[X] désigne l'espace des polynômes à coefficients réels. £ Étant donné f E £(E) et P E R[X] donné par P(X) : ZakX'", on définit P( f) EUR £(E) par : '=0 EUR P(f)=Zakfk k=O 1/5 SESSION 20 1 0 PCM 1 002 A CONCOURS COMMUN!) POLYTECHNIOUES EPREUVE SPECIFIQUE FILIERE PC MATHEMATIQUES 1 Durée : 4 heures Les calculatrices sont interdites >l<>l<>l<>l< N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance a la clarté, a la précision et a la concision de la rédaction. Si un candidat est amené a repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énonce', il le signalera sur sa copie et deura poursuiure sa composition en eoepliquant les raisons des initiatiues qu'il a été amené a prendre. >l< >l< >l<>l< Notations et objectifs Dans tout ce problème n est un entier naturel supérieur ou égal à 2 et E est un espace vectoriel de dimension finie n sur le corps R des nombres réels. £(E) désigne l'algèbre des endomorphismes de E et GL(E) l'ensemble des endomor-- phismes de E qui sont bijectifs. On note () l'endomorphisme nul et id l'application identité. Pour tout endomorphisme f, Ker ( f ) et Im ( f ) désigneront respectivement le noyau et l'image de f. L'ensemble des valeurs propres de f sera noté Sp( f ) et on notera : 73(f) = {h EUR £(E) \ W = f} R[X] désigne l'espace des polynômes à coefficients réels. £ Étant donné f E £(E) et P E R[X] donné par P(X) : ZakX'", on définit P( f) EUR £(E) par : '=0 EUR P(f)=Zakfk k=O 1/5 oùf°=idetpourkEURN*,f""=fo....of. \_\,_z k fois Si f1, . . . , fq désignent (] endomorphismes de E (C] E N*) alors H f,- désignera l'endo-- 1 1. Sans calculer l'inverse de P, exprimer A'" en fonction de D, P et P_1.

4) Calculer P_1, puis déterminer la matrice de fm dans la base canonique.

5) Déterminer toutes les matrices de Mç,(R) qui commutent avec la matrice D 
trouvée
a la question 2).

6) Montrer que si H E M3(R) vérifie H 2 = D, alors H et D commutent.

7) Déduire de ce qui précède toutes les matrices H de M3(R) vérifiant H 2 = D, 
puis
déterminer tous les endomorphismes h de R3 vérifiant h2 = f en donnant leur 
matrice dans
la base canonique.

B) Soient f et j les endomorphismes de R3 dont les matrices respectives A et J 
dans la
base canonique sont données par :

2 1 1 1 1
A = 1 2 et J = 1 1 1
1 1 1 1 1
1.
1
2) En déduire que pour tout m E N*, fm : id + ä(4m -- 1)j. Cette relation 
est--elle

encore valable pour m = 0 ?
3) Montrer que f admet deux valeurs propres distinctes A et ,u telles que A < ,a. 1 1 2 >

1) Calculer J'" pour tout entier m

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4) Montrer qu'il existe un unique couple (p, q) d'endomorphismes de R3 tel que 
pour
tout entier m > O, fm : Àmp + ,umq et montrer que ces endomorphismes p et (] 
sont
linéairement indépendants.

5) Après avoir calculé 192, (127 p 0 q et q 0 p, trouver tous les 
endomorphismes h, combi--
naisons linéaires de p et (] qui vérifient h2 = f.

6) Montrer que f est diagonalisable et trouver une base de vecteurs propres de 
f. Écrire
la matrice D de f, puis la matrice de p et de (] dans cette nouvelle base.

7) Déterminer une matrice K de M2(R) non diagonale telle que K2 = 12, puis une
matrice Y de M3(R) non diagonale telle que Y2 = D.

8) En déduire qu'il existe un endomorphisme h de R3 vérifiant h2 = f qui n'est 
pas
combinaison linéaire de p et q.

9) Montrer que tous les endomorphismes h de R3 vérifiant h2 = f sont 
diagonalisables.

PARTIE II

Soit f un endomorphisme de E. On suppose qu'il existe (À, ,a) E R2 et deux 
endomor--
phismes non nuls p et (] de E tels que :

m : p+q
À7ÉM et f = Àp+uq
f ' = A'}? + #26}
1) Calculer (f -- Aid) @ (f -- nid). En déduire que f est diagonalisable.
2) Montrer que A et ,a sont valeurs propres de f et qu'il n'y en a pas d'autres.
3) Déduire de la relation trouvée dans la question 1) que p 0 q = q 0 p = 0 
puis montrer
quep2 =pet 612 =q-
4) On suppose jusqu'à la fin de cette partie que À,u # 0.
Montrer que f est un isomorphisme et écrire f_1 comme combinaison linéaire de p 
et q.
5) Montrer que pour tout m EUR Z :

f "' = Àmp + WC]

6) Soit F le sous--espace de £(E) engendré par p et (1. Déterminer la dimension 
de F.

7) On suppose dans la suite de cette partie que A et ,a sont strictement 
positifs.
Déterminer R(f) () F.

8) Soit k un entier supérieur ou égal a 2. Déterminer une matrice K de MAR) non
diagonale et vérifiant K 2 : Ik.

9) Montrer que si l'ordre de multiplicité de la valeur propre A est supérieur 
ou égal a
2, alors il existe un endomorphisme p' EUR £(E) \ F tel que p'2 = p et p' 0 q = 
q 0 p' = O.

10) En déduire que si dim(E) ; 3, alors R(f) 1 F.

3/5

PARTIE III

Soient @, . . . ,p..., m endomorphismes non nuls de E et Al, . . . ,À..., m 
nombres réels
distincts. Soit f un endomorphisme de E vérifiant pour tout entier [EUR E N :

fk : îÀÏPi
i=1

1) Montrer que pour tout P E R[X], on a :

P... = z P(Àz)pz
i=1
2) En déduire que H(f -- À,-id) : 0, puis que f est diagonalisable.
i=1

3) Pour tout entier EUR tel que 1 EUR EUR { m, on considère le polynôme :

(X _ À,-)
L X = _
É( ) 1<1;£m (ÀÉ _ Ài) i7££ Montrer que pour tout entier EUR, tel que 1 EUR EUR { m, on a pg : Lg(f). En déduire que Im (pg) C Ker (f -- Mid), puis que le spectre de f est : Sp(f) : {)'17-n7Àm} 4) Vérifier que pour tout couple d'entiers (i,j) tels que 1 { i,j { m, on a : _O __ Osii;£j pz p'7_ pi SlZ=j 5) Justifier le fait que la somme î: Ker (f -- À,-id) est directe et égale a E et que les projecteurs associés a cette décomposition de E sont les p,. 6) Soit F le sous--espace vectoriel de £(E) engendré par {p1, . . . , p...}. Déterminer la dimension de F. 7) Déterminer R( f ) D F dans le cas où À1, . . . , À... sont des réels positifs ou nuls. 8) Dans cette question, on suppose de plus que m = n. 8.1) Préciser alors la dimension des sous-espaces propres de f. 8.2) Montrer que si h E R( f ), tout vecteur propre de f est également vecteur propre de h. 8.3) En déduire que R( f ) C F et donner une condition nécessaire et suffisante sur les À,- pour que R( f ) soit non vide. 9) Montrer que si m < 71 et si tous les À,- sont positifs ou nuls, alors R( f ) 1 F. 4/5 PARTIE IV A) Soit f un endomorphisme non nul de E tel qu'il existe un entier p > 1 tel 
que fp : 0
et fp_1 # O.

1) Montrer qu'il existe a: E E non nul tel que la famille (a:, f(æ), f2(a:), . 
. . , fp_1(a:)) est
libre. En déduire que p { n et que f" = O.

2) Montrer que si R(f) # (Ô alors 219 -- 1 { n.

n--1
3) Déterminer les réels &... . . . ,an_1 tels que V1 + a: : Zakaîk + O(a:") au 
voisinage
k--0

n--1

de 0. Dans la suite, Pn désigne le polynôme défini par Pn(X ) : Z ale'".
k=0
4) Montrer qu'il existe une fonction 77 bornée au voisinage de () telle que 
l'on ait

Pâ(a:) -- a: -- 1 : a:"n(a:). En déduire que X" divise P,,Î -- X -- 1.
5) Montrer alors que R(f + id) # (Ô. Plus généralement, montrer que pour tout 
oz réel,
R(OEf + id) # (Ô, puis que pour tout fi réel strictement positif, R(f + fiid) # 
(Ô.

B) 1) Soit T : (OEij)1gz',jgn une matrice triangulaire supérieure de MAR) dont 
tous les
coefficients diagonaux sont égaux a un réel À.

Montrer que (T -- ÀIn)" : O.

2) On suppose dans toute la suite que f est un endomorphisme de E dont le 
polynôme
caractéristique est scindé et qui n'admet qu'une seule valeur propre À. Déduire 
de la
question précédente que E : Ker (f -- Aid)".

3) Montrer que si A > 0 alors R(f) # (Ô.

Fin de l'énoncé

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