CCINP Maths 1 PC 2012

SESSION 2012

PCM1002

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PC
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MATHEMATIQUES 1
Durée : 4 heures
____________________
N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la 
précision et à la concision de
la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être 
une erreur d'énoncé, il le
signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les 
raisons des initiatives
qu'il a été amené à prendre.

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Les calculatrices sont interdites

L'objectif du probleme est de definir et d'etudier la notion de 
diagonalisabilite d'un couple
de matrices A, B dans plusieurs situations.
Les parties I et V traitent chacune un cas particulier, respectivement en 
dimension 3 et 4. La
partie II aborde le cas ou B est inversible et la partie IV etudie un critere 
de diagonalisabilite.
La partie III se reduit a l'etude du cas d'un couple de matrices symetriques 
reelles.
La partie I est independante des quatre autres parties. Les parties III, IV et 
V sont, pour une
grande part, independantes les unes des autres.
Il est demande, lorsqu'un raisonnement utilise un resultat obtenu precedemment
dans le probleme, d'indiquer precisement le numero de la question utilisee.

Notations et definitions
Soient n et p deux entiers naturels non nuls, K l'ensemble R ou C et H une 
partie de K.
Notons Mn,p K l'espace vectoriel des matrices a n lignes et p colonnes a 
coefficients dans K,
Mn K l'espace vectoriel des matrices carrees d'ordre n a coefficients dans K,
Sn K l'espace vectoriel des matrices de Mn K qui sont symetriques,
Dn H l'ensemble des matrices diagonales de Mn K a coefficients diagonaux dans H,
GLn K l'ensemble des matrices de Mn K qui sont inversibles,
On R l'ensemble des matrices de Mn R qui sont orthogonales,
In la matrice identite d'ordre n.
1/6

Tournez la page S.V.P.

Definitions 1 : Soient A, B

Mn K

2

et 

K.

On note E A, B l'ensemble des matrices-colonnes X Mn,1 K telles que AX BX.
On dit que  est valeur propre du couple A, B si E A, B n'est pas reduit a 0 ,
c'est-a-dire si A B n'est pas inversible.
On note  A,B la fonction definie sur K par  A,B 
det A B et Sp A, B l'ensemble
K tels que
des valeurs propres du couple A, B , c'est-a-dire l'ensemble des elements 
 A,B 
0.
Dans le cas particulier ou B In , on remarquera que ces definitions 
correspondent aux notions
de valeur propre, d'espace propre et de polynome caracteristique de A.
Ainsi, E A, In et  A,In sont notes plus simplement E A et A .

Partie I : DIAGONALISABILITE DANS UN CAS PARTICULIER

Soit A

3
2
0

1
1
0

On note aussi F

1
0 ,B
1

0
4
0

0
2
0

0
0 ,C
2

u1 , u2 , u3 pour u1

4
12
0

2
6
0

1
2 , u2
0

1
0
3

2
4
2

0
0
0

et D

0
2
0

0
0 .
2

0
1 .
1

et u3

I.1.
I.1.a. Montrer que B n'est pas inversible.
I.1.b. Montrer que A est inversible.
I.1.c. Verifier que C A 1 B.
I.2.
2 1 2 .
I.2.a. Montrer que  A,B 
I.2.b. En deduire Sp A, B .
I.2.c. Determiner une base de E1 2 A, B et en deduire que dim E1

2

A, B

2.

I.3.
I.3.a. Calculer 

B,A

 et en deduire que Sp B, A

0, 2 .

I.3.b. Etablir les identites suivantes :
E0 B, A

Vect u1

E0 C

et

I.3.c. En deduire que dim E0 B, A

E2 B, A

E1

2

dim E2 B, A

A, B

Vect u2 , u3

E2 C .

3.

I.4.
I.4.a. Montrer que F est une base de M3,1 R formee de vecteurs propres de C.
I.4.b. Determiner explicitement une matrice R GL3 R telle que C RDR 1 .
I.4.c. Montrer que B ARDR 1 .
I.4.d. Justifier qu'il existe P GL3 R et Q GL3 R telles que A P I3 Q et B P DQ.
2/6

Definitions 2 : Soit A, B, A , B

Mn K

4

.

On dit que le couple A, B est regulier s'il existe 

K tel que 

A,B

0.

On dit que le couple A, B est equivalent au couple A , B et on note A, B
si :
P GLn K , Q GLn K
A P A Q et B P B Q.

A ,B

On dit que le couple A, B est diagonalisable si :
D

Dn K , D

A, B

Dn K

D, D .

Partie II : REGULARITE ET DIAGONALISABILITE
2

Mn K .
II.1. Soit A, B
K, exprimer
II.1.a. On suppose dans cette question que B est inversible. Pour 
 A,B  en fonction de B 1 A  et en deduire que  A,B est une fonction polynomiale
dont on precisera le degre.
2. Donner un exemple de couple
II.1.b. On suppose dans cette question que n
2
pour lequel  A,B est la fonction nulle alors que ni A ni B n'est
A, B
Mn K
la matrice nulle.
II.1.c. Montrer que  A,B est une fonction polynomiale de degre inferieur ou 
egal a n.
II.2.
II.2.a. Montrer que :
A, B
A ,B
P

GLn K , Q

GLn K

K, A

B

II.2.b. Etablir que si A, B est equivalent a A , B , alors il existe 
que  A,B
  A ,B , puis que Sp A, B
Sp A , B .

P A

B Q.

K, non nul, tel

II.3. On suppose dans cette question que A, B est regulier.
II.3.a. Montrer que :

K 0 , 

A,B

n

B,A

1

.

II.3.b. Montrer que B, A est regulier.
II.3.c. On suppose dans cette question que r et s sont deux entiers tels que 1 
r s n
et ar , ar 1 , . . . , as des elements de K tels que ar
0 et as
0. On suppose egalement
que  B,A s'ecrit sous la forme :
s

K, 

B,A

ak k .

k r

Montrer que 0 est racine de  B,A d'ordre de multiplicite r et que 
n r.
II.3.d. Montrer que les propositions suivantes sont equivalentes :
i) B est inversible ;
ii)  A,B est de degre n ;
iii) 0 Sp B, A .

A,B

est de degre

II.4. On suppose dans cette question que B est inversible. Montrer que si B
diagonalisable, alors A, B est diagonalisable.
3/6

1

A est

Tournez la page S.V.P.

Definitions 3 : Soit M Sn R , c'est-a-dire que M est une matrice symetrique 
reelle.
a de M1 R avec le reel a.
On confondra toute matrice A
On dit que M est positive si :

X

Mn,1 R , tXM X

0.

On dit que M est definie-positive si M est positive et inversible.

Partie III : DIAGONALISABILITE DANS LE CAS SYMETRIQUE
III.1.
III.1.a. Montrer que pour M
Y

yi

1 i n

mi,j

1 i,j n

Mn R , X

Mn,1 R , alors tXM Y

xi

1 i n

Mn,1 R et

mi,j xi yj .
1 i,j n

III.1.b. En deduire que pour X Mn,1 R non nul, tXX 0.
III.1.c. Montrer que, pour M Sn R , les propositions suivantes sont 
equivalentes :
i) M est definie-positive ;
ii) Sp M
R ;
iii) il existe P On R et D Dn R
iv) il existe L GLn R telle que M
Dans le cas ou M est definie-positive, on pose :

telles que M
t
LL.

X, Y

Mn,1 R

III.2. Montrer que si M est definie-positive, l'application X, Y
scalaire sur Mn,1 R .

P D tP ;

2

, X, Y
X, Y

M

M

t

XM Y.

est un produit

2

avec B definie-positive. On
Sn R
III.3. On suppose dans cette question que A, B
suppose alors que L est une matrice de GLn R telle que B tLL et on definit, par 
III.2, un
produit scalaire sur Mn,1 R , note , B .
III.3.a. Trouver une matrice C Sn R telle que, pour tout  R et X Mn,1 R ,
AX BX
CZ Z ou on a pose Z LX.
III.3.b. Montrer qu'il existe une base B
e1 , . . . , en de Mn,1 R qui soit orthonormale
1, n , il existe i R verifiant :
pour le produit scalaire , In et telle que, pour tout i
Cei i ei .
III.3.c. Montrer qu'il existe une base B
e1 , . . . , en de Mn,1 R qui soit orthonormale
1, n , Aei i Bei .
pour le produit scalaire , B et telle que, pour tout i
III.3.d. En deduire que le couple A, B est diagonalisable.
III.4. On suppose dans toute la fin de la partie III que le couple A, B est 
regulier et que A
et B sont toutes les deux symetriques reelles positives.
III.4.a. Montrer l'existence de 0 R tel que A 0 B soit une matrice symetrique
reelle definie-positive.
III.4.b. En deduire que le couple A, B est diagonalisable.

4/6

Definitions 4 : Soit A, B
Pour 
 A,B .

Mn K

2

un couple regulier.

Sp A, B , on note m A, B l'ordre de multiplicite de  en tant que racine de

Si B est inversible, on note Sp A, B
Sp A, B , m A, B
0 et E A, B
0 .
Si B n'est pas inversible, on note Sp A, B
Sp A, B
, m A, B
m0 B, A
l'ordre de multiplicite de 0 en tant que racine de  B,A et E A, B
E0 B, A .
On cherche un critere de diagonalisabilite de A, B faisant intervenir dim E A, 
B .
On dit que A, B verifie la propriete H si :

A, B , dim E A, B

Sp

m A, B .

Partie IV : UN CRITERE DE DIAGONALISABILITE
Dans toute cette partie, on suppose que K C. Soit A, B
Il existe donc 0 C tel que A 0 B soit inversible.

Mn C

2

un couple regulier.

Dans toute la suite de la partie IV, on suppose pour simplifier les notations 
que 0
si bien que A est inversible.
On note d le degre de 

A,B

et C

A

1

0

B.

Dans les questions suivantes, on pourra etre amene a distinguer le cas ou B est 
inversible du
cas ou B n'est pas inversible.
IV.1.
IV.1.a. Montrer que E0 C
E0 B, A
E A, B .
E1  A, B .
IV.1.b. Montrer que si  C , alors E C
IV.1.c. Soient 1 , . . . , k des elements dinstincts de C. Justifier que si
1
1
Sp C
1 , . . . , k , alors Sp A, B
ou on a pose
1 , . . . , k
IV.2. Verifier que m

A, B

n

d, puis que :

m A, B
 Sp

1
0

.

n.

A,B

IV.3. On suppose dans toute la suite de la partie que A, B verifie la propriete 
H.
dim E A, B

IV.3.a. Montrer que
 Sp

n.

A,B

IV.3.b. Montrer que C est diagonalisable.
IV.3.c. Etablir que le couple A, B est diagonalisable.

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Tournez la page S.V.P.

Dans toute la suite du probleme, on admettra que si A, B est regulier et que K
est diagonalisable si et seulement si A, B verifie la propriete H.

Partie V : EXEMPLE DE NON-DIAGONALISABILITE
Soit n N et soit B
e1 , . . . , en la base canonique de Rn .
On considere l'endomorphisme f de Rn tel que :
f e1

0

si n

et

i

2,

2, n ,

f ei

ei

1.

On note An la matrice de f dans la base B et Bn tAn .
On note g l'endomorphisme de Rn dont la matrice dans la base B est Bn .
1.
Pour  R,  An ,Bn  sera note cn  . On definit de plus c0 

V.1. Donner la forme explicite des matrices An et Bn .
V.2. Verifier que la matrice de f

g dans B est :
0

1
0
..
.

1
..
.
..
.

0
..
..

.

.

0

.

..

.
0

1
0

V.3.
V.3.a. Calculer c1  , c2  , c3  et c4  .
 cn 2  .
V.3.b. Montrer que pour n 2, cn 
V.3.c. En deduire, pour k N, les expressions de c2k  et de c2k 1  .
V.3.d. Donner une condition sur n N pour que An , Bn soit regulier.
V.4.
V.4.a. Determiner dim E0 A4 , B4 et dim E A4 , B4 .
V.4.b. Calculer m0 A4 , B4 et m A4 , B4 .
V.4.c. Le couple A4 , B4 est-il diagonalisable ?

Fin de l'enonce
6/6

C, A, B