CCINP Maths 1 PC 2013

SESSION 2013 PCM1002

.i- CONCOURS COMMUNS

-=- POLYTECHNIQUES

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PC

MATHEMATIQUES 1

Durée : 4 heures

N .B . : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, a la 
précision et a la concision de
la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être 
une erreur d 'e'nonce', il le

signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les 
raisons des initiatives
qu 'il a été amené à prendre.

Les calculatrices sont interdites

1/6

L'objectif du problème est d'étudier des conditions pour que deua: matrices 
admettent un
vecteur propre commun et d'en déduire une forme normale pour des vecteurs
propres.

Les parties ] et Il] traitent chacune de cas particuliers en dimension 3 et n. 
Elles sont
indépendantes l'une de l'autre. La partie Il aborde la situation générale en 
faisant apparaitre
une condition nécessaire et certaines autres conditions sufiisantes a l 
'eæistence d'un vecteur
propre commun.

Les parties H, H] et ] V sont, pour une grande part, indépendantes les unes des 
autres.

Il est demandé, lorsqu'un raisonnement utilise un résultat obtenu
précédemment dans le problème, d'indiquer précisément le numéro de la question
utilisée.

Notations et définitions

Soient n et p deux entiers naturels non nuls, K l'ensemble R ou (C.

Notons M...,,(K) l'espace vectoriel des matrices a n lignes et p colonnes à 
coefficients dans K,
M,,(K) l'espace vectoriel des matrices carrées d'ordre n à coefficients dans K,

On la matrice nulle d'ordre n

et L,, la matrice identité d'ordre n.
Pour M EUR M,,(K) et À E K, on note :

Ker(M) = {X EUR M...1(K) tel que MX = O},

Im(M) = {MX, X @ M...(K)h
Sp M) le spectre de M,

À(M) = Ker(M -- AL,)

et Im,\(M) = Im(M -- AL,).

Dj

Définitions :

. Soient (A,B) EUR (M,,(K))2 et e EUR M...(K);

on dit que e est un vecteur propre commun a A et B si :
i) e 75 0 ;
ii) il existe À E K tel que Ae = Àe ;
iii) il existe u E K tel que Be = ue.

On définit [A, B] E M,,(K) par la formule : [A, B] = AB -- BA.

0 Soient f et g, deux endomorphismes d'un K--espace vectoriel E et e E E ;
on dit de même que e est un vecteur propre commun a f et g si :

i) e 75 0 ;

ii) il existe À E K tel que f(e) = Àe ;

iii) il existe u E K tel que g(e) = ue.
On définit l'endomorphisme [ f, g] de E par la formule : [ f, g] = f o g -- g 0 
f.

2/6

Partie I : ETUDE DANS UN CAS PARTICULIER

On considère les matrices suivantes :

0 --1 --1 3 --3 --1 --5 3 --1 0 0 0
A= --1 0 --1,B= 0 2 0 ,C= --2 6 2 etD= 0 6 0
--1 --1 0 1 --3 1 --5 3 --1 0 0 --6
1 0 1
On note .7--" = (u1,u2,u3) où ul = 0 ,u2 = 1 et u3 = 1
--1 --1 1
1 1
On note aussi u4 = 0 et u5 = 1
1 --2

1.1.
I.1.a. Déterminer le spectre de A.
I.1.b. Vérifier que la famille .7--" est une base de M371(R) constituée de 
vecteurs propres

de A.
I.1.c. A est--elle diagonalisable ?

I.1.d. Montrer qu'aucun des éléments de .7--" n'est un vecteur propre commun a 
A et B.

I.2.
I.2.a. Déterminer le spectre de B.

I.2.b. Montrer que Im2(B) = Vect(u4) et que dIIÏI(E2(B)) = 2.
I.2.c. B est--elle diagonalisable ?

1.3.
I.3.a. Montrer que E1(A) n E2(B) = Vect(u5).

I.3.b. Déterminer tous les vecteurs propres communs a A et B.

1.4.
I.4.a. Vérifier que [A, B] = C.

I.4.b. Montrer que C est semblable a la matrice D et déterminer le rang de C .

Partie II : CONDITION NECESSAIRE ET CONDITIONS SUFFISANTES

Soit n E N* et soit (A, B) E (Mn(K))2.
II.1. Dans cette question, on suppose que e est un vecteur propre commun a A et 
B.

11.1.a. Montrer que e E Ker([A, B]).
11.1.b. Vérifier que rg([A, B]) < n. Dans toute la suite de cette partie II, on suppose que K = (C. 3/6 On dit que A et B vérifient la propriété % s'il existe À EUR Sp(A) tel que : E,\(A) c Ker([A, B]). II.2. Montrer que si [A, B] = 0... alors A et B vérifient la propriété 7--[. 11.3. Dans cette question, on suppose que A et B vérifient la propriété %. II.3.a. Pour tout X EUR E,\(A), on pose 1MX) = BX. Montrer que w définit un endomorphisme de E,\(A). II.3.b. En déduire l'existence d'un vecteur propre commun a A et B. Pour [EUR E N*, on note Pk la propriété suivante : pour tout (C--espace vectoriel E de dimension k et pour tout couple d'endomorphismes (ga, %) de E tels que rg([g0, à]) S 1, il existe un vecteur propre commun a go et w. II.4. Vérifier la propriété Pl. II.5. Dans cette question, on suppose que Pk est vérifiée pour tout entier [EUR EUR [[1, n -- 1]] et que A et B ne vérifient pas la propriété 7--[. On note C = [A, B], on suppose que rg(C) = 1 et on considère À EUR (C une valeur propre de A. II.5.a. Justifier l'existence de u EUR Mn,1(CC) tel que Au = Àu et Cu # O. II.5.b. Vérifier que Im(C) = Vect(v) où v = Cu. II.5.C. Montrer que lm(C) c Im,\(A). II.5.d. Etablir les inégalités suivantes : 1 $ dim(lmflA)) $ n -- 1. Pour tout X EUR Im,\(A), on pose g0(X) = AX et 1MX) = BX. II.5.e. Montrer que [A,/l -- ÀIn] = O,, et [B,/l -- ÀIn] = --C. En déduire que go et w définissent des endomorphismes de Im,\(A). II.5.f. Montrer l'existence d'un vecteur propre commun a go et $; en déduire qu'il en est de même pour A et B. II.6. Montrer que pour tout n E N*, P,, est vraie. Partie III : ETUDE D'UN AUTRE CAS PARTICULIER Soit n E N*. On note E = @2an] le (C--espace vectoriel des polynômes a coefficients complexes de degré inférieur ou égal a 271. Pour P E E, on désigne par P' le polynôme dérivé de P. Pour tout polynôme P de E, on pose f(P) = P' et g(P) = X2"P (%). 277. 277. 111.1. Soient (a0,a1, . . . , a2n) EUR (C2n+1 et P = 2 aka. Montrer que g(P) = 2 a2n_ka. k=0 k=0 III.2. Montrer que f et g définissent des endomorphismes de E. 4/6 III.3. III.3.a. Vérifier que si P est un vecteur propre de g, alors deg(P) ? n. III.3.b. Montrer que X "' est vecteur propre de g. Soit 75 EUR [[1, 271]. f' correspond a la composée f 0 f o - - - 0 f où f est prise 75 fois. III.4. III.4.a. Vérifier que Ker(f') = (Ci_1[X]. III.4.b. Montrer que Sp(f') = {0}. 111.5. Montrer que f' et g possèdent un vecteur propre commun si et seulement si 75 2 n + 1. BC désigne la base canonique de E définie par : BC = (1, X , . . . ,X2"). On note An la matrice de f dans la base BC et En celle de g dans la même base. III.6. Déterminer An et B... III.7. Dans cette question, on suppose que n = 1. O 1 O O O 1 III.7.a. Montrer que A1 = 0 0 2 et B1 = 0 1 0 O O O 1 O O et en déduire l'expression de (A1)2 et (A1)3. III.7.b. Déterminer le rang de [(A1)', Bl] pour 75 = 1 et 75 = 2. III.7.C. En déduire que la condition nécessaire de la question II.1.b n'est pas suffisante et que la condition suffisante de la question II.6 n'est pas nécessaire. Partie IV : FORME NORMALE POUR UN VECTEUR PROPRE OE1 Soit n E N avec n 2 2. On note N = } EUR Mn,1(CC) Eli EUR [[1,n]] tel que w.; = 0 fin Soient A E Mn(CC) et X un vecteur propre de A. On dit que X est sous forme normale si : 0 X E N ou . il existe A' E Sp(A) et il existe U E N tel que X = (A -- À'In)U. IV.1. Dans cette question, on suppose que A possède une valeur propre À telle que dim(EÀ(A)) ) 2. Montrer que A admet un vecteur propre sous forme normale associé a la valeur propre À. On note AMC) le (C--espace vectoriel des matrices M EUR MMC) antisymétriques, c'est--à-- dire telles que "M = --M . 5/6 Pour tout M EUR An(CC), on pose : ga(M) = AM + M 'A et Ê(M) = AM 'A. IV.2. IV.2.a. Montrer que An(CC) # {On}. IV.2.b. Montrer que les colonnes d'une matrice M EUR A,,(C) sont des éléments de N . IV.2.C. Montrer que go et w définissent des endomorphismes de AAC). IV.2.d. Vérifier que go 0 w = 1p 0 go. IV.3. Dans cette question, on suppose que A possède au moins deux valeurs propres distinctes, notées À1 et À2. On considère X1 un vecteur propre de A associé a la valeur propre À1 et X 2 un vecteur propre de A associé a la valeur propre À2. OH IlOtEUR B = X1 tX2 -- X2 tX1. IV.3.a. Montrer que B vérifie chacune des propriétés suivantes : i) B E AAC) ; ii) B # On ; iii) AB + B 'A = (À1 + À2)B; iv) AB 'A = (À1À2)B. IV.3.b. En déduire que (A -- À1]n)(A -- À21n)B = On. IV.3.C. Dans cette question, on suppose que (A -- À21n)B = On. Montrer qu'au moins l'une des colonnes de B est un vecteur propre de A sous forme normale. IV.3.d. Dans cette question, on suppose que (A -- À21n)B # On. Montrer que A possède un vecteur propre sous forme normale. IV.4. Dans cette question, on suppose que A ne possède qu'une seule valeur propre À. IV.4.a. Montrer l'existence d'une matrice B E A,,(C) non nulle vérifiant chacune des propriétés suivantes : i) il existeaEUR@tel que : AB+B'A=dB; ii) il existe 5 EUR CC tel que : AB 1'A = BB. IV.4.b. Vérifier que (A2 -- ozA + fiIn)B = On. IV.4.C. Montrer qu'il existe (v, 5) E (C2 tel que (A -- vIn)(A -- (SL,)B = On. IV.4.d. Dans cette question, on suppose que (A -- (SL,)B = On. Montrer que A possède un vecteur propre sous forme normale. IV.4.e. Dans cette question, on suppose que (A -- (SL,)B # On et 5 = À. Montrer que A possède un vecteur propre sous forme normale. IV.4.f. Dans cette question, on suppose que (A -- (SL,)B # O,, et 5 # À. Montrer que A -- (SI,, est une matrice inversible et en déduire que (A -- vIn)B = O. IV.4.g. Que conclure ? Fin de l'énoncé 6/6