CCINP Maths 1 PC 2014

SESSION 2014 PCM1002

.:==_ CONCOURS COMMUNS
-=- POLYTECHNIQUES

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PC

MATHEMATIQUES 1

Durée : 4 heures

N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance a la clarté, a la 
précision et a la concision de
la rédaction. Si un candidat est amené a repérer ce qui peut lui sembler être 
une erreur d 'e'nonce', il le

signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les 
raisons des initiatives
qu 'il a été amené a prendre.

Les calculatrices sont interdites

1/7

L'objectif du problème est de définir et d'étudier les notions de polynôme, de 
matrice et
de système différentiel stable.

La partie I traite le cas particulier de la dimension 2 et aborde un 
contre-exemple en dimension
3. La partie Il introduit les outils théoriques qui se spécialisent dans la 
partie III pour montrer
en partie IV le critère de Routh--Hurwitz pour la stabilité des polynômes 
unitaires de degré 3.

La partie V est une application de la partie IV a un systéme différentiel 
d'ordre 3 particulier.

La partie I est indépendante des quatre autres parties. Les parties II, III, IV 
et V sont, pour
une grande part, indépendantes les unes des autres.

Le résultat principal de la partie II et celui de la partie IV sont résumés 
clairement en fin de
partie.

Il est demandé, lorsqu'un raisonnement utilise un résultat obtenu précédemment
dans le problème, d'indiquer précisément le numéro de la question utilisée.

Notations et définitions

Notations :
Soient n et p deux entiers naturels non nuls, K l'ensemble R ou (C.

Notons K[X] l'espace vectoriel des polynômes à coefficients dans K,
M...,,(K) l'espace vectoriel des matrices a n lignes et p colonnes à 
coefficients dans K,
M,,(K) l'espace vectoriel des matrices carrées d'ordre n à coefficients dans K,

I,, la matrice identité d'ordre n.

Pour P E K[X], on note ZK(P) l'ensemble des racines de P qui sont dans K, 
c'est--à--dire
l'ensemble des éléments À E K qui sont tels que : P(À) = 0.

On dit que P est unitaire si P est non nul et si son coefficient dominant est 
égal à 1.
Pour A E M,,(K), on note Tr(A) la trace de A, 'A la matrice transposée de A, 
det(A) le
déterminant de A et XA le polynôme caractéristique de A, c'est--à--dire XA EUR 
K[X] tel que :

pour tout À E K, x (À) = det(A -- AL,).

A
L'ensemble ZK(XA) est noté SpK(A) et l'ensemble des matrices M EUR MAK) telles 
que :

MM = I,, est noté O,,(K).

Pour oe = (æ1, . . . ,æn) dans K", on définit Aæ comme étant l'élément y = (w, 
. . . ,yn) E K"
y1 OE1

tel que : 3 = A
yn 3777.

Pour tout 2 EUR (C, on note ÊRe(z) la partie réelle de z, |z| le module de z et 
? le complexe
conjugué de 2.

Définitions :
Pour P E K[X], on dit que P est stable si :

pour tout À EUR Z@(P), ÊRe(À) < 0. Pour A E M,,(K), on dit que A est stable si XA est stable. 2/7 Partie 1 : STABILITE DANS DES CAS PARTICULIERS Soient & et 19 deux réels. On note P(X) = X2 + aX + b et A = a2 -- 419. On note 21 et 22 deux nombres complexes tels que : P(X) = (X -- 21)(X -- 22). O 1 O SoitQ(X)=X3+XZ+X+1etB= --1 0 1 O O --1 1.1. Montrer que a = --(21 + 22) et b = 2122. 1.2. On suppose dans cette question que A > O.
1.2.a. Vérifier que si P est stable, alors a > 0 et 19 > O.
1.2.b. Montrer réciproquement que si a > 0 et 19 > 0, alors P est stable.

1.3. On suppose dans cette question que A = 0.

Montrer que P est stable si et seulement si a > 0 et 19 > 0.

1.4. On suppose dans cette question que A < 0. 1.4.a. Justifier que 22 = %. 1.4.b. Montrer que P est stable si et seulement si a > 0 et 19 > 0.

1.5. On suppose dans cette question que n = 2 et que A E M2(R).
1.5.a. Exprimer XA en fonction de Tr(A) et det(A).
1.5.b. Etablir que A est stable si et seulement si Tr(A) < 0 et (--1)"det(A) > 
0.

1.6. On suppose dans cette question que n = 3.
1.6.a. Trouver les racines complexes de Q.
1.6.b. Vérifier que Tr(B) < 0 et que (--1)"det(B) > O.

1.6.c. Montrer que ni Q ni B ne sont stables.

Partie 11 : NORME SUBORDONNEE ET MESURE DE LOZINSKII

Soit n un entier naturel non nul. Dans toute cette partie, on note H - H une 
certaine norme sur
le K--espace vectoriel K". On définit l'ensemble : B = {oe E K" tel que HoeH = 
1}.

Pour A E M.,,(K), on définit : H|AH\ = sup (HAOEH) (l'existence de cette borne 
supérieure sera
oeEB

établie dans la question 11.1.c.).

On admet que l'application A l--> H|AH| définit ainsi une norme Hl - ... sur 
l'espace vectoriel
MAK) qui s'appelle la norme subordonnée a H - H : en effet, elle dépend du 
choix de la norme
H ' H-
11.1.

11.1.a. Rappeler la définition d'une norme sur K".

11.1.b. Vérifier que l'application oe l--> HAæH est continue sur K".

11.1.c. Montrer l'existence de % E 13 tel que : Væ E B, HAæH S HAOEQH. Cela 
justifie
donc la définition de H|AH| = sup (HAOEH) et on a alors H|AH\ = HAOEQH.
30613

3/7

II.1.d. Montrer que ...]"... = 1.
II.1.e. Etablir que pour tout oe E K" et A E M.,/(K), on a : HAoeH $ ...AH| - 
HoeH.
II.1.f. Montrer que, pour tout A E M.,,(K) et B E M.,,(K), on a :

...ÆH -- HIBHI S HIA -- B... et H|ABHI S HM... - MB...-

II.2. Montrer que, pour tout À EUR (C, on a : ÊRe(À) = lim (

u-->O+

|1+uÀ| --1)

u

II.3. Soit A E M.,,(K). On se propose dans cette question de montrer 
l'existence du réel :

M(A) = lim (

u-->O+

wn+w4--a)_

u

Ce réel est appelé mesure de Lozinskiî de A (il dépend du choix de la norme 
initiale).

In A -- 1
Pour u > 0, on note u(A,u) = ... + u ... .

u

II.3.a. Montrer que pour tout u et ?) éléments de Kî :
#(A» u) -- #(Aa @) = H|u_lfn + A... -- ...U_1In + A... -- (TF1 -- 0--1)-

II.3.b. En déduire que si 0 < u S @, alors : u(A, u) -- u(A, @) S O. II.3.C. Vérifier que pour tout u > 0, on a : --H|AH| $ u(A,u) EUR ...A....
II.3.d. En déduire l'existence du réel u(A) = lim+ (u(A, u)) .

u-->O

II.4. On suppose dans cette question que K = (C. Soit À EUR SpC(A).

II.4.a. Montrer qu'il existe oe E (C" tel que Aæ = Àæ, HæH = 1 et puis que, 
pour tout
réel u strictement positif, on a : H(In + uA)oeH = |1 + uÀ|.

II.4.b. En déduire que : ÊRe(À) S u(A).

II.4.c. Donner une condition suffisante sur u(A) pour que A soit stable.

Le résultat principal de cette partie II est que :

pour tout À EUR SpC(A), ÊRe(À) EUR u(A)

où

M(A) = lim (

u-->O+

wn+w4--4)_

u

4/7

Partie III : NORMES ET MESURES DE LOZINSKII ASSOCIEES

Dans cette partie, a tout élément oe = (æ1, . . . ,æn) de (C", on associe la 
matrice--colonne
OE1 OE1 OE_1

X = 3 EUR Mn,1(CC). De plus, si X = 3 EUR Mn,1(CC), on note X = ; EUR Mn,1(CC)
OEn OEn @

et ÊXV = (5171, . . . ,Çlîn) EUR M1...(C).

On munit (C" du produit scalaire canonique et de sa norme associée définis par 
les formules :

V(OEay) EUR (cn)  : tÎY : Z Î?Âyi et HoeH2 : \/ <ÇIÎ,ÇC> :

73=1

On remarque que ce produit scalaire et cette norme sur (C" donnent par 
restriction le produit
scalaire canonique et sa norme associée sur R" définis par :

n n
V(oe,y) E R",  = ÉXY = 2 oe,y, et HoeH2 = VO+ u
Dans toute cette partie, on désigne par A un élément de M,,(R).

III.1. Montrer que pour tout oe E R" et pour tout u > 0 :
...%+uÆMË=WX+uOEOEÆ+ÆX+uÆWÆMZ

III.2. Montrer qu'il existe M EUR O,,(R) et des réels 041, . . . ,ozn tels que 
ozl ? - - - 2 o... et
% ...)
%+A=M 2_ m1
(0) o... y1
III.3. On suppose dans toute cette question que oe E R" et HoeH2 = 1. On pose ; 
= ÊMX.

" %
III.3.a. Montrer que 2 y,? = 1.

z"=1 n
III.3.b. Vérifier que H(In + uA)æHâ = 1 + u 2 oz,y,--2 + u2'ÎXË4AX.
z"=1
III.3.C. Montrer l'existence de deux réels v et 5 tels que, pour tout X EUR 
Mn,1(R)
vérifiant tXX = 1, on ait : v S 7ÎXË4AX $ 5.
III.3.d. Montrer que pour y et 5 choisis comme en III.3.c, on a, pour tout u > 
0 :

\/1 + oz1u + vu2 «un. + uA)...2 < \/1 + a... + 5u2. % A III.3.e. En déduire que u2(A) = % = max {À E R tel que À EUR SpR ( ; )} . 5/7 III.4. Soit H une matrice de M,,(R) inversible. Pour oe E (C", on pose HæHH = HHæH2. On admet que l'on définit ainsi des normes sur (C" comme sur K" qui donnent sur M,,(R) une même norme subordonnée notée ... - ... H et une même mesure de Lozinskii notée MH- III.4.a. Montrer que, pour tout A E M,,(R), ...A...H = ...HAH_1...2. III.4.b. En déduire que, pour tout A E M,,(R), on a : uH(A) = u2(HAH_1). Partie IV : UN CRITERE DE STABILITE EN DEGRE 3 Soient &, b et 0 trois réels. On considère le polynôme réel P unitaire de degré 3 écrit sous la forme : P(X) = X3 + aX2 + bX + 0. On dit que P vérifie la propriété % si : a>O, b>O, c>O et ab--c>O.

Par le théorème de D'Alembert--Gauss, on note 21, 22 et 23 trois nombres 
complexes tels que :

P(X) = (X _ Zl)(X _ ZZ)(X _ 23).

IV.1. Montrer que: a = --(21 + 22 + 23), b = 2122 + 2223 + 2123, c = --212223 et
ab -- C = --2Î22 -- 2Î23 -- 2321 -- 2â23 -- 2â21 -- 2â22 -- 2212223.

IV.2. Montrer que l'une des racines de P est un nombre réel.

On suppose dans toute la suite de cette partie que 21 est un réel qui sera noté 
oz1 et que 22
et 23 s'écrivent sous la forme 22 = dg + 7552 et 23 = 043 + 7553 avec des réels 
dg, 043, 52 et 53.

IV.3. On suppose dans cette question que fig = O.
IV.3.a. Montrer que 53 = O.
IV.3.b. Montrer que si P est stable, alors P vérifie la propriété %.

IV.4. On suppose dans cette question que 52 = O.
IV.4.a. Justifier que dg = 042 et que 53 = --52.
IV.4.b. Vérifier que : a = --(d1 + 2042), b = 2041on + 04% +fiâ, c = --ozl(ozâ 
+fiâ) et

ab -- c = --2042(04Î + ozâ + 5%) -- 4ozlozâ.
IV.4.C. Montrer que si P est stable, alors P vérifie la propriété %.

IV.5. Montrer que si P vérifie la propriété 7--[, alors ÊRe(zl), ÊRe(22) et 
ÊRe(z;,) sont non nuls.

IV.6. On suppose dans cette question que P vérifie la pr0priété 7--L

O 1 O
ab -- c 0
On pose alors A' = --c' 0 1 avec a' = a, b' = et c' = -- si bien que a' , b' et
0 --b' --a' a a

c' sont trois réels strictement positifs.

\/d'b'0' 0 0
0 a'b' 0
0 0 @

On note H la matrice diagonale inversible suivante : H =

On pose B' = HA'H_1.

6/7

IV.6.a. Montrer que XA' (X) = --P(X).

'ÏB' _|_ B' O O O
IV.6.b. Calculer explicitement B' et vérifier que : ? = 0 0 0
0 0 --a

IV.6.C. En déduire que ,uH(A') = O.
IV.6.d. En conclure que P est stable.

Le résultat principal de cette partie IV est que :

un polynôme a coefficients réels, unitaire de degré 3 est stable si et 
seulement si ce polynôme
vérifie la propriété 7--[.

Partie V : EXEMPLE DE SYSTEME DIFFERENTIEL STABLE

--2 O --1
Soit C' = 2 1 --1
2 2 --1

On considère le système différentiel (8) suivant, d'inconnue t l--> X (t), une 
fonction de classe
C1 de R+ dans M3)...R) :
Vt EUR R+, X'(t) = CX(t).

On dit que ce système différentiel (S) est stable si, quelle que soit la 
solution X de (S), on a :

lim (X(t)) = O.

t-->+oo

V.1. Vérifier que, pour tout À E R, --XC(À) = À3 + 2)\2 + 3À + 4.
V.2. En déduire que C est stable.

V.3. Montrer l'existence d'une matrice U E Mg(CC) inversible et de trois réels 
oz1 < 0, 042 < 0 CY1 O O et 52 # 0, tels que : C = UDU_1 avec D = 0 042 + fig 0 O O CY2 -- 252 On ne cherchera pas à trouver explicitement U ni les réels ozl, dg et 52. VA. On note, pour tout t E R+, Y(t) = U_1X(t). V.4.a. Montrer que X est solution de (8) si et seulement si Y est de classe C1 sur R+ et pour tout t E R+, on a : Y'(t) = DY(t). V.4.b. En déduire l'expression de Y(t) en fonction de t E R+ dans ce cas. V.4.c. Montrer qu'il existe X1, X2 et X3 dans M371(R) tels que, pour tout t E R+ : X(t) = e°'"'X1 + 6%" cos(figt)Xg + 6%" sin(figt)Xg. On ne cherchera pas à trouver explicitement les matrices X1, X2 et X3. V.4.d. Vérifier que le système différentiel (S) est stable. Fin de l'énoncé 7/7