CCINP Maths PC 2015

SESSION 2015 PCMA002

.i- CONCOURS COMMUNS

-=- POLYTECHNIQUES

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PC

MATHEMATIQUES

Durée : 4 heures

N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, & la 
précision et à la concision de
la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être 
une erreur d 'énoncé, il le

signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les 
raisons des initiatives
qu 'il a été amené à prendre.

'Les calculatrices sont interditesi

L'épreuve est constituée de deux problèmes indépendants.

Lorsqu'un raisonnement utilise un résultat obtenu précédemment dans le
problème, il est demandé au candidat d'indiquer précisément le numéro de la
question utilisée.

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PROBLEME 1 : ANALYSE ET PROBABILITE

On propose d'étudier dans ce premier problème le comportement d'une certaine 
suite de fonctions

( fn)nEUR]N sous différents points de vue. Dans la partie 1, on étudie les 
aspects analytiques de

( fn)nEUR]N : convergence uniforme de la suite ( fn)nEUR]N, propriétés 
d'intégrales associées a fn et

modes de convergence de la serie 2 fn. % n n'" _ 1
EUR î_% ? _ ?

Cette formule, en lien avec la suite de fonctions introduites dans la partie 1, 
peut être avan--

tageusement interprétée en terme de suite de variables aléatoires indépendantes 
qui suivent une

loi de Poisson. Le point de vue probabiliste permet alors d'éclairer le lien 
avec une intégrale in--
k

" n
tervenant en partie 1 et l'existence d'une limite EUR pour e_" 2 Ü. Cela permet 
aussi d'approcher

La partie 2 correspond a l'étude de la formule de Bernstein : lim
TI,--) 00

la valeur de EUR par différentes méthodes. k=0
Les parties 1 et 2 peuvent être traitées, en grande partie, indépendamment 
l'une de l'autre.

PARTIE 1 : ANALYSE
On considère la fonction f et, pour 71 E ]N, la fonction f... définies sur lR+ 
par :
e_ttn

pour tout t E R+, f(t) = 0 et fn(t) : |
n.

&; |Figure 1 : famille de courbes|

0.38-- (ga,

0.37--'
0.36--'
0.35--'
0.34--'
0.33--'
0.32--'
0.31--'

0.3--'
0.29--'
028---
0.27--'
026---
0.25--'
0.24--'
0.23--'
0.22--'
o.21-'

0.2--'
0.19--'
0.18--'

%
%

o.17-'

0.16% (gd
0.15--

0.14--'

0.13--'

o.12-'

o.11-'

0.1--'

0.09--'

0.08--' fie

0.07--'
0.06--'
0.05--'
0.04--'
0.03--'
0.02--'
0.01%

n n
1. On rappelle qu'un équivalent de n! est \/ 27m (--) quand n tend vers +00.
EUR

La. Etudier, pour tout 71 E ]N*, les variations de la fonction fn sur lR+ et en 
déduire son
maximum.

1 l
1.b. Montrer que fn(n) ... ---- quand n tend vers +00.

Æn1/2

1.C. Etablir que la suite de fonctions ( fn)nEUR]N converge uniformément vers f 
sur lR+.

2.
+00
2.21. Déterminer l'ensemble D des valeurs de a: E R pour lesquelles l'intégrale 
/ e_ttoe dt
0

est convergente et vérifier que lR+ C D.

+00
2.b. Montrer que, pour a: E lR+, l'intégrale / (ln t)e_ttoe dt est convergente.
0

+00
2.0. Montrer que la fonction a: |--> / e_ttoe dt est de classe 'Ë' sur lR+.
0

+00
2.d. Montrer que, pour tout 71 E ]N, l'intégrale fn(t) dt est convergente.

0
+00

2.e. Montrer que, pour tout 71 E ]N, fn(t) dt : 1.
0

1 +00
3. Pour a: E lR+ et 71 E ]N, on pose Hn(a:) : --'/ e_ttn dt.
n. 33

3.21. Montrer que, pour tout a: E lR+ et tout 71 E ]N, Hn(a:) : 1 -- / fn(t) dt.
0

3.b. Etablir que, pour tout 71 E ]N, Hn est de classe fil sur lR+ et donner 
l'expression de Hg.
3.0. Calculer, pour tout 71 E ]N, lim (Hn(a:)) et lim (Hn(a:)).
oe-->O oe-->+00

3.d. Calculer, pour tout a: E R+, lim (Hn(a:)).

n-->+00
4. Dans la figure 1 de la page 2, on peut visualiser certaines des 
représentations graphiques des
fonctions de la suite ( fn)nEUR]N dont celle de f1 et 1%.

4.21. Lesquelles des courbes %... (Æ), %... 'Ëd ou %e de la figure 1 
correspondent respectivement
aux représentations graphiques de f1 et de 1%, ?

4.b. Pouvez--vous faire le lien entre cette figure et certaines propriétés 
analysées dans les
questions précédentes ?

5.
5.51. Montrer que la série de fonctions 2 fn converge simplement sur lR+.

5.b. Montrer que, pour tout a E lRï, la série de fonctions 2 fn converge 
normalement sur
le segment [D, a].

5.0. Montrer que la série de fonctions Ë fn ne converge pas normalement sur lR+.

3/7

PARTIE 2 : PROBABILITE

Soit (Xn)nEUR]N* une suite de variables aléatoires définies sur un même espace 
probabilisé (Q, %, P)
et mutuellement indépendantes. On admet que dans ce cas, pour tout n > 2, X1 + 
- - - + Xn et
Xn+1 sont indépendantes.

On suppose de plus que, pour tout 71 E ]N*, Xn suit la loi de Poisson de 
paramètre 1.

On rappelle que si X est une variable aléatoire définie sur (Q, %, P) et qui 
suit une loi de Poisson
Àk
--À

de paramètre À, alors X(Q) : ]N et pour tout entier k E ]N, P(Xn : k) : Ü'

" Sn --n
On pose, pour tout 71 E ]N*, Sn : ZXk et S* = .

n
1... \Æ

La. Montrer que Sn suit une loi de Poisson de paramètre n et en déduire son 
espérance et
sa variance.

1.b. Déterminer l'espérance et la variance de S.,Îî.

" n
1.c. Montrer que, pour tout 71 E ]N*, P(SË { O) = e_" 2 Ü'

2. Soit 7° E ]N, ] un intervalle de R et (a, 19) EUR 12. On rappelle que si f 
est une fonction de classe
'ËT+1 sur ], alors on a :

=ZfW --a)k+/f<(bffl> --),"td.

Montrer que, pour tout 71 E ]N*, on a :

n R n n--t n
n n e -t

n!
:o 0

??

1 +00

3.21. Montrer que : P(Sä { O) = --' / e_ttn dt : Hn(n) où Hn est définie dans 
la partie 1.
n. "

3.b. Etablir que, pour tout 71 E ]N*,

n--l--1 t tn--l--l nn--l--1
P(S*--l--oo

PROBLEME 2 : ALGEBRE

On propose d'étudier, dans ce second problême, différents aspects des matrices 
a coefficients dans
{--1,1} (matrices binaires) : inversibilité, orthogonalité des colonnes 
(matrices de Hadamard)
et propriétés du spectre.

Dans tout le problème, 71 désigne un entier naturel tel que n > 2.

On débute l'étude par des exemples en petite dimension. En dimension n, on 
aboutit notamment
a trois résultats sur de telles matrices :

o une matrice de Hadamard ne peut exister que si n = 2 ou si n est un multiple 
de 4 ;
0 on peut construire une matrice binaire 1nvers1ble a n importe quel ordre n ,

o les valeurs propres des matrices binaires sont de module inférieur ou égal a 
n.

Notons %,,(IR) l'espace vectoriel des matrices réelles carrées d'ordre n,
Æn,1(lR) l'espace vectoriel des matrices réelles a 71 lignes et 1 colonne,
AT la matrice transposée d'une matrice A,
I,, la matrice identité d'ordre n,

Sp(A) l'ensemble des valeurs propres d'une matrice carrée A.

Dans tout le problème, on munit Æn,1(lR) du produit scalaire canonique défini 
de la façon
suivante :

v< Æ...(IR),  3.

Montrer que \ det(A)l : nn/2 et en déduire que n est un multiple de 4.

7. Soient 71 E ]N tel que n > 4 et 7° : n -- 1. On définit la fonction T.,. : 
lR" % lR"° par :
pour tout (331, . . . ,a:.) E R', 7}(OE1, . . . ,a:.) = (332, 331, 333, . . . 
,a:.).
7 .a. Montrer que T.,. définit un automorphisme de R'.

7 .b. Déterminer la matrice, notée T ... associée a T.,. dans la base canonique 
de R'.

On pose alors A :
ZT.

On transforme A en A' par les opérations sur les lignes de A suivantes : W EUR 
[[2, n], L.- + L1 -- L.-

Sl bien que Li (A') : L1(A) -- Li(A).

7 .c. Montrer que A' est un élément de %...
8. Donner un exemple explicite de matrice A qui soit dans {% mais pas dans 33%.

9. Soit A E .%'n et soit À EUR @ tel que A soit une valeur propre de A.

9.21. Montrer qu'il existe (331, . . . ,a:n) EUR @" tel que :

i) pour tout @ EUR [[1, n], ZAi,jæj = ÀfL'.-,
j=1

ii) il existe [EUR EUR [[l,nfl tel que : a:k # 0 et pour tout j EUR [[l,nfl, 
lag--l { l33kl-

9.b. Montrer que ... { n.

9.0. Montrer que : sup {... tel que À EUR Sp(A) et A E 95'n}) : n.

Fin de l'énoncé

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