CCINP Maths PC 2016

SESSION 2016

PCMA002

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EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PC!
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MATHEMATIQUES
Mardi 3 mai : 14 h - 18 h!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!"
N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la 
précision et à la concision de
la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être 
une erreur d'énoncé, il le
signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les 
raisons des initiatives
qu'il a été amené à prendre.!

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Les calculatrices sont interdites
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L'epreuve est constituee d'un probleme en cinq parties qui sont, dans une large 
mesure,
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independantes les unes des autres.
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! Lorsqu'un raisonnement utilise le resultat d'une question precedente, il est
! demande au candidat d'indiquer precisement le numero de la question utilisee.
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1/6

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PROBLEME  
n
X k (1 - X)n-k si bien que :
Pour n  N et k  [[0, n]], on note pk,n (X) le polynome
k
 
n k
n!
t (1 - t)n-k =
tk (1 - t)n-k .
t  R, pk,n (t) =
k
k!(n - k)!
On propose d'etudier quelques aspects geometriques, algebriques, probabilistes 
et analytiques
de cette famille de polynomes appeles "polynomes de Bernstein".
Dans la partie 1, on considere des exemples de courbes dont le parametrage fait 
intervenir
des polynomes de Bernstein dans des cas simples. Dans la partie 2, on 
s'interesse a deux
endomorphismes n et Bn de Rn [X] dont les proprietes sont liees au fait que la 
famille des
polynomes de Bernstein correspond a une base de Rn [X]. La loi binomiale permet 
de faire le
lien avec l'endomorphisme Bn dont on etudie en detail la restriction a R2 [X]. 
On etudie, dans la
partie 3, les aspects analytiques de Bn (f ) pour une fonction f definie sur 
[0, 1] avec Bn defini sur
le modele de la partie 2. Par l'usage des probabilites, on obtient une 
demonstration "naturelle"
de la convergence uniforme de Bn (f ) vers f sur [0, 1] sous l'hypothese forte 
que f est de classe
C 1 sur [0, 1]. La partie 4 complete la partie 3 par l'etude d'integrales 
impropres et d'integrales
a parametres. La partie 5 aborde la question des series de fonctions liees aux 
polynomes de
Bernstein.
Les parties 1 et 5 sont independantes des autres parties. La partie 3 depend 
seulement de la
partie 2 et cela uniquement par la question 5 faisant intervenir les 
probabilites. La partie 4
depend seulement de la partie 3 et uniquement par la question 11.d).
PARTIE 1. GEOMETRIE
On note A0 , A1 et A2 les trois elements de R2 definis par A0 = (0, 1), A1 = 
(1, 1) et A2 = (1, 0).
On note T l'ensemble defini par T = {(x, y)  [0, 1]2 | x + y  1}.
Pour t  [0, 1], on remarque que p0,1 (t) = 1 - t et p1,1 (t) = t. On note alors 
:
A(t) = p0,1 (t)A0 + p1,1 (t)A1 , B(t) = p0,1 (t)A1 + p1,1 (t)A2 et C(t) = p0,1 
(t)A(t) + p1,1 (t)B(t).
1. Soit t  [0, 1].
1.a) Determiner l'expression de p0,2 (t), p1,2 (t) et p2,2 (t) en fonction de t.
1.b) Determiner les coordonnees de A(t), B(t) et verifier que C(t) = (2t - t2 , 
1 - t2 ).
2

pk,2 (t)Ak .
1.c) Montrer que C(t) =
k=0

2. Montrer que T est une partie convexe de R2 .
3. Soit C l'arc parametre defini a partir de la fonction f :
3.a) Justifier que tous les points de C sont dans T .

t
  C(t)
-
[0, 1] - R2 .

3.b) Pour t  [0, 1], determiner un vecteur directeur de la tangente Dt a C en 
C(t).
3.c) Montrer que, pour tout t  [0, 1], le segment [A(t), B(t)] est inclus dans 
Dt .
3.d) Representer dans un meme repere orthonorme la courbe C , la partie T et 
les segments
[A(t), B(t)] pour t = 0, t = 1/2 et t = 1.
2/6

PARTIE 2. ALGEBRE LINEAIRE ET PROBABILITES
Soit n  N tel que n  2. On note Rn [X] l'espace vectoriel des polynomes reels 
de degre inferieur
ou egal a n. Pour P (X) un polynome reel, on note P  (X) le polynome derive.
On note F la famille de Rn [X] constituee des polynomes (p0,n (X), p1,n (X), . 
. . , pn,n (X)).
Pour tout P  Rn [X], on definit les polynomes n (P ) et Bn (P ) par :
n (P )(X) = nXP (X) + X(1 - X)P  (X)
et

4.

n

k
pk,n (X).
P
Bn (P )(X) =
n
k=0
4.a) Montrer que n et Bn sont des endomorphismes de Rn [X].
4.b) Verifier que, pour tout k  [[0, n]], n (pk,n )(X) = k pk,n (X).
4.c) En deduire que F est une base de Rn [X] et que n est diagonalisable.
4.d) Montrer que n n'est pas bijectif et que Bn est bijectif.

5. Soit r  N et t  [0, 1]. On considere un espace probabilise (, A , P) et Tr 
une variable
aleatoire sur (, A , P) qui suit la loi binomiale B(r, t). On note T r = Tr /r.
Pour Y une variable aleatoire discrete sur (, A , P), on note, sous reserve 
d'existence, E(Y )
l'esperance de Y et V(Y ) la variance de Y .
On rappelle que si Y ()  [[0, r]] et h est une fonction a valeurs reelles 
definie sur [[0, r]], alors
r

h(Y ) admet une esperance et E(h(Y )) =
h(k)P(Y = k).
k=0

5.a) Donner un exemple de situation probabiliste qui peut etre decrite par une 
variable
aleatoire qui suit la loi binomiale B(r, t).
5.b) Donner Tr () et justifier que, pour tout k  [[0, r]], on a : P(Tr = k) = 
pk,r (t).
5.c) Donner l'expression simplifiee des quantites suivantes :
E(Tr ), E(T r ), V(Tr ), V(T r ), E(Tr2 ) et E((T r )2 ) ;
t t2
verifier en particulier que E((T r )2 ) = + (r - 1).
r
r
5.d) En deduire que les egalites suivantes sont valables pour tout t  [0, 1] :

r
r
r  2

k
1 2 1
k
t + t.
pk,r (t) = t
pk,r (t) = 1,
et
pk,r (t) = 1 -
r
r
r
r
k=0
k=0
k=0
5.e) Montrer que les trois egalites precedentes sont encore valables pour tout 
t  R.
6. Montrer que R2 [X] est un sous-espace vectoriel de Rn [X] qui est stable par 
Bn .
On note Bn l'endomorphisme de R2 [X] induit par Bn ; on rappelle que dans ce 
cas, pour tout
P  R2 [X], Bn (P ) = Bn (P ). On note An la matrice de Bn dans la base 
canonique de R2 [X].
3/6

On note M3 (R) l'espace
vectoriel
matrices 
carrees reelles
d'ordre
 3.

 des

1 0 0
1 0 0
1 0
0
1 0 0
0 .
On note aussi I3 = 0 1 0, H = 0 1 1, D = 0 1 0 et Dn = 0 1
0 0 0
0 0 0
0 0 1 - n1
0 0 1

1 0
0
1
1
1 

7. Montrer que An = 0 1
= 1-
I3 + H.
n
n
n
0 0 1 - n1
8.
8.a) La matrice H est-elle diagonalisable
? 

1 0 a

8.b) Soit a et b deux reels et Q = 0 1 b . Justifier que Q est inversible.
0 0 1
8.c) Determiner (sans chercher a calculer Q-1 ) deux reels a et b tels que H = 
QDQ-1 .
9. On suppose dans toute lafin de cette
 partie que les reels a et b ont ete choisis de telle sorte
1 0 a
que H = QDQ-1 pour Q = 0 1 b .
0 0 1
On munit M3 (R) d'une norme quelconque. Si une suite de matrices de M3 (R), 
notee (M ),
converge vers une matrice M , on note lim (M ) = M . On admet alors que lim (M 
) = M si
+

+

et seulement si pour tout (i, j)  [[1, 3]]2 , on a :

lim (M )i,j = Mi,j .

+

9.a) Montrer que lim (An ) = I3 .
n+

9.b) Montrer que l'application  definie sur M3 (R) par (M ) = QM Q-1 est 
lineaire.
9.c) En deduire que si lim (M ) = M , alors lim (QM Q-1 ) = QM Q-1 .
+

+

9.d) Montrer que An = QDn Q-1 .
9.e) Determiner explicitement, pour n  2, lim (An ).
+

9.f ) Determiner explicitement lim (Ann ).
n+

PARTIE 3. ANALYSE ET PROBABILITES
Soit n  N . Pour f une fonction definie sur [0, 1] a valeurs dans R, pour tout 
x  R, on note :
 
n

k
Bn (f )(x) =
f
pk,n (x).
n
k=0
On reprend les notations de la question 5 avec r = n. On remarque que dans ce 
cas, pour tout
t  [0, 1], on a :
f (t) - Bn (f )(t) = E(f (t) - f (T n )) =

n

(f (t) - f (k/n))pk,n (t).

k=0

On pourra utiliser sans demonstration les resultats de cette question 5.
4/6

10.
10.a) Montrer que pour toute
 variable aleatoire discrete Y admettant une variance, on a
l'inegalite suivante : E(Y )  E(Y 2 ).

t(1 - t)
.
10.b) En deduire que, pour tout t  [0, 1], E(|t - T n |) 
n
11. On suppose dans toute cette question que f est une fonction de classe C 1 
sur [0, 1].
11.a) Justifier l'existence d'un reel Mf tel que : (a, b)  [0, 1]2 , |f (a) - f 
(b)|  Mf |a - b|.
Dans toute la suite de cette question, on suppose que Mf est un reel choisi de 
telle sorte que :
(a, b)  [0, 1]2 ,

|f (a) - f (b)|  Mf |a - b|.

t(1 - t)
11.b) Montrer que, pour tout t  [0, 1], E(|f (t) - f (T n )|)  Mf
.
n
Mf
11.c) En deduire que, pour tout t  [0, 1], |f (t) - Bn (f )(t)|   .
2 n
11.d) Montrer que (Bn (f ))nN converge uniformement vers f sur [0, 1].

PARTIE 4. INTEGRALES
Soit f une fonction de classe C 1 sur [0, 1].
On reprend les notations de la partie 3 pour Bn (f ). On pourra utiliser sans 
demonstration le
resultat de la question 11.d).

12. Montrer que lim

n+

1
0

Bn (f )(x) dx =
n

1 
f
13. On note Sn (f ) =
n + 1 k=0

1

f (x) dx.
0

k
.
n

 1
a
x (1-x) dx =
xa-1 (1-x)b+1 dx.
13.a) Montrer que, pour tout a  N et b  N,
b+1 0
0
 1
pk,n (x) dx est independant
13.b) En deduire que, pour tout n  N et tout k  [[0, n]], le reel
0
 1
1
.
pk,n (x) dx =
de l'entier k et que
(n + 1)
0
 1
f (x) dx.
13.c) En deduire que lim Sn (f ) =

n+

0

5/6

1

a

b

14. Montrer que le resultat de la question 13.c) reste vrai pour la seule 
hypothese que f est
continue sur [0, 1].
15. Soit (a, b, c)  N3 tels que a + b  c - 2.
15.a) Montrer que, pour tout x  [0, 1], l'integrale

15.b) Montrer que, pour b  1, la fonction F : x 

+
0

0

[0, 1].
15.c) Montrer que la fonction h :

ua (1 + xu)b
du est convergente.
(1 + u)c

+

ua (1 + xu)b
du est de classe C 1 sur
(1 + u)c

t
est une fonction de classe C 1 qui est
1-t
[0, 1[ - [0, +[
t

-

strictement croissante et bijective.
15.d) En utilisant le changement de variable u =
F (1).

t
, calculer F (0); en deduire la valeur de
1-t

PARTIE 5. SERIES DE FONCTIONS
Soit k  N . Pour n  N et t  [0, 1], on note :
fn (t) =

pk,n (t) si n  k,
0
si n < k, si bien que n tk (1 - t)n-k k fn (t) = 0 si n  k, si n < k. nk n 16. Montrer que quand n tend vers + et en deduire, pour tout t  ]0, 1[, un k k! equivalent de fn (t) quand n tend vers +. 17. Etablir que fn converge simplement sur [0, 1]. Pour t  [0, 1], on note S(t) = + fn (t). n=0 18. Determiner S(t) pour t = 0 et pour t = 1. 19. 19.a) Donner le developpement en serie entiere au voisinage de 0 de la fonction u 19.b) En deduire que, pour tout u  [0, 1[, + n(n - 1) · · · (n - k + 1)un-k = n=k 1 19.c) Montrer que, pour tout t  ]0, 1], S(t) = . t 19.d) La serie fn converge-t-elle normalement sur [0, 1] ? Fin de l'enonce 6/6 1 . 1-u k! . (1 - u)k+1