CCINP Maths PC 2017

SESSION 2017

PCMA002

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EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PC!
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MATHEMATIQUES
Mardi 2 mai : 14 h - 18 h!
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N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la 
précision et à la concision de
la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être 
une erreur d'énoncé, il le
signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les 
raisons des initiatives
qu'il a été amené à prendre.!

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Les calculatrices sont interdites
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L'epreuve est constituee d'un probleme en cinq parties largement independantes.
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! Lorsqu'un raisonnement utilise un resultat obtenu precedemment dans le 
probleme, il est
! demande au candidat d'indiquer precisement le numero de la question utilisee.
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1/7

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PROBLEME
Soit p  ]0, 1[. On pose q = 1 - p.
On considere un automate qui genere successivement les lettres C ou P jusqu'a 
obtenir une
certaine sequence predefinie.
On suppose que pour tout n  N , l'automate genere la n-ieme lettre a l'instant 
n de facon
independante de toutes les generations precedentes. On suppose egalement qu'a 
chaque generation,
les lettres P et C ont des probabilites p et q (respectivement) d'etre 
generees. Suivant les parties
considerees, on definit differents niveaux que l'automate peut atteindre.
On considere dans tous les cas que l'automate est initialement au niveau 0. On 
se propose
alors d'etudier essentiellement l'existence de l'esperance et de la variance de 
la variable aleatoire
correspondant au temps d'attente de la sequence predefinie a travers sa serie 
generatrice.
Pour cette etude probabiliste, on mobilise diverses proprietes analytiques 
(surtout sur les series
entieres) et quelques proprietes d'algebre lineaire.
Dans les parties I, II et V, on examine le temps d'attente pour les sequences C 
puis CC, puis
CPC et CCPPC. La partie II est independante de la partie I et traite de 
questions preliminaires
sur les series entieres qui seront investies dans les parties III et V. La 
partie IV est independante
des parties precedentes et traite les questions preliminaires d'algebre 
lineaire qui servent exclusivement dans la partie V. La partie III ne depend de 
la partie I que par la question Q4 et de
la partie II que par la question Q10. La partie V utilise seulement la question 
Q11 de la partie
II et la partie IV.
Pour n  N , on note Pn l'evenement  l'automate genere la lettre P a l'instant n
l'evenement  l'automate genere la lettre C a l'instant n .

et Cn

Partie I - Etude d'un cas simple
Dans cette partie, on dit que l'automate passe du niveau 0 au niveau 1 des 
qu'il genere la lettre
C. Si, en revanche, il genere la lettre P, alors il reste au niveau 0. 
L'experience s'arrete des que
l'automate a atteint le niveau 1. On resume l'experience par la figure 1 
suivante :

C

0

1

P
Figure 1
On note Y l'instant ou, pour la premiere fois, l'automate atteint le niveau 1. 
On admet que Y
est une variable aleatoire definie sur un espace probabilise (, A , P) telle 
que Y ()  N . On
note GY la serie generatrice de Y et RY son rayon de convergence.
On sait alors que RY  1 et que :
t  ] - RY , RY [,

Y

GY (t) = E(t ) =

+

n=1

2/7

P(Y = n)tn .

Q1. Reconnaitre la loi de Y et preciser en particulier P(Y = n) pour n  N .

1 1
1
qt
.
, GY (t) =
Q2. Montrer que RY = > 1 et que : t  - ,
p
p p
1 - pt
Q3. Montrer que GY est 2 fois derivable en 1 et que GY (1) =

1
2p
et GY (1) = 2 .
q
q

Q4. Donner les valeurs de E(Y ) et de V(Y ).

Partie II - Series entieres
Soit z  C et a  C . Pour n  N, on pose un (a) = -
Q5. Montrer que

1
an+1

.

un (a)z n est une serie entiere de rayon de convergence egal a |a|.
+

1
Q6. Montrer que si |z| < |a|, on a : = un (a)z n . z - a n=0 Soit a, b et  des nombres complexes non nuls. Dans les questions Q7 a Q10, on suppose que n uk (a)un-k (b) et pour tout reel t tel que |a| < |b|. On definit alors, pour tout n  N, vn = k=0 t2 . |t| < |a|, f (t) = (t - a)(t - b) Q7. Montrer que l'on a : n  k 1 1  b 1 1 . vn = n+1 = - ab a b - a an+1 bn+1 k=0 Q8. Trouver un equivalent simple de vn quand n tend vers +. Q9. En deduire que le rayon de convergence de vn z n est egal a |a| et que si |z| < |a|, alors + 1 = vn z n . (z - a)(z - b) n=0 Q10. Justifier que f est developpable en serie entiere au voisinage de 0 et que la serie entiere qui lui est associee possede un rayon de convergence Rf tel que Rf = |a|. Soit a, b, c et  des nombres complexes non nuls. On suppose que : |a|  |b|  |c|. Pour tout reel t tel que |t| < |a|, on pose : g(t) = t3 . (t - a)(t - b)(t - c) Q11. Justifier que g est developpable en serie entiere au voisinage de 0 et que la serie entiere qui lui est associee possede un rayon de convergence Rg tel que Rg  |a|. 3/7 Partie III - Etude d'un cas intermediaire Dans cette partie, on suppose que l'automate passe du niveau 0 au niveau 1 en generant la lettre C. De meme, l'automate passe du niveau 1 au niveau 2 en generant la lettre C. Si, en revanche, il genere la lettre P, alors qu'il est au niveau 0 ou 1, il retombe au niveau 0. L'experience s'arrete des que l'automate a atteint le niveau 2, c'est-a-dire des que l'automate aura genere la sequence CC. On resume l'experience par la figure 2 suivante : C 0 P 1 C 2 P Figure 2 On note Z l'instant ou, pour la premiere fois, l'automate atteint le niveau 2. Ainsi Z est le temps d'attente de la sequence CC. On admet que Z est une variable aleatoire definie sur un espace probabilise (, A , P) telle que Z()  N . Pour tout n  N , on note pn = P(Z = n). On note GZ la serie generatrice de Z et RZ son rayon de convergence. On rappelle que RZ  1. Q12. Calculer p1 , p2 et p3 . Q13. Justifier que (P1 , C1  P2 , C1  C2 ) est un systeme complet d'evenements. Q14. En deduire que pour tout n  3, on a : pn = ppn-1 + pqpn-2 . Q15. En deduire que pour tout t  [-1, 1], on a : GZ (t)(1 - pt - pqt2 ) = q 2 t2 . - -p -p 2 2 Pour t  R, on note Q(t) = 1 - pt - pqt ,  = p + 4pq > 0, a =
et b =
.
2pq
2pq
Q16. Montrer que Q(-1) = 1 + p2 > 0 et que Q(1) = q 2 > 0.
Q17. Montrer que, pour tout t  R, Q(t) = -pq(t - a)(t - b).
Q18. Montrer que 1 < |a| < |b|. Pour tout reel t tel que |t| < |a|, on definit f (t) = q 2 t2 . 1 - pt - pqt2 Q19. Montrer a l'aide de la question Q10 que f est developpable en serie entiere au voisinage de 0, que sa serie entiere associee est GZ et que RZ = |a|. Q20. Montrer que, pour tout t  ]-|a|, |a|[, on a : GZ (t) = q 2 t2 . 1 - pt - pqt2 Q21. Montrer que Z admet une esperance et une variance puis que E(Z) = q -1 + q -2 . Q22. Verifier, a l'aide des questions Q4 et Q21, que E(Z)  E(Y ) + 1 ou Y est la variable aleatoire definie en partie I. Q23. Pouvait-on prevoir ce resultat ? 4/7 Partie IV - Algebre lineaire 1 0 On considere les matrices I4 = 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 p 0 q 0 , A = 0 0 0 1 0 q p 0 p 0 0 q 1 0 0 0 et L =  . 0 0 0 0 Soit t  R. On note A le polynome caracteristique de A, si bien que A (t) est le determinant de A - tI4 . Q24. Montrer que 0 est valeur propre de A et donner un vecteur propre de A associe a la valeur propre 0. Q25. Trouver les reels ,  et  tels que, pour tout t  R, A (t) = t4 - t3 + t2 + t + . S0 S1 On dit que la matrice colonne S = S2  est solution de (Et ) lorsque S = tAS + L. S3 Q26. Montrer que, pour tout t  R, S est solution de (Et ) si et seulement si (I4 - tA)S = L. Pour tout t  R, on note A (t) le determinant de la matrice I4 - tA. Q27. Montrer que pour tout t  R , A (t) = t4 A (1/t). Q28. Verifier que pour tout t  R, A (t) = -p2 qt3 + pqt2 - t + 1. Q29. En deduire que, pour t au voisinage de 0, l'equation (Et ) possede une unique solution S. Pour tout k  [[1, 4]], on note Uk la k-ieme colonne de - tA. On note B la base canonique de I4 S0 S1 M4,1 (C) et on suppose que la matrice colonne S = S2  est solution de (Et ). S3 Q30. Verifier que L = U1 S0 + U2 S1 + U3 S2 + U4 S3 . Q31. En deduire que detB (U1 , U2 , U3 , L) = S3 · detB (U1 , U2 , U3 , U4 ) = S3 · A (t). Q32. Montrer que, pour t au voisinage de 0, on a l'egalite : S3 = pq 2 t3 . -p2 qt3 + pqt2 - t + 1 On se propose de determiner certaines proprietes des valeurs propres de A. On note  une valeur propre complexe non nulle de A. Q33. Montrer que  est valeur propre de la matrice transposee de A. 5/7 Q34. En deduire qu'il existe trois complexes non tous nuls x1 , x2 et x3 tels que : px1 + qx2 = x1 qx2 + px3 = x2 . (H ) px1 = x3 On considere desormais trois complexes non tous nuls x1 , x2 et x3 qui verifient le systeme (H ). On note alors M = max(|x1 |, |x2 |, |x3 |) et on remarque que l'on peut toujours se placer dans l'un des trois cas suivants : i) M = |x3 | ; ii) M = |x2 | avec M > |x3 | ;

iii) M = |x1 | avec M > |x2 | et M > |x3 |.

Q35. Montrer, en distinguant ces trois cas, que || < 1. Q36. Montrer l'existence de nombres complexes 1 , 2 et 3 tels que : 0 < |1 |  |2 |  |3 | < 1 et t  R, A (t) = t(t - 1 )(t - 2 )(t - 3 ). Q37. Montrer l'existence de nombres complexes µ, a, b et c tels que : µ = 0, 1 < |a|  |b|  |c| et A (t) = µ(t - a)(t - b)(t - c). t  R, Partie V - Etude d'un dernier cas Dans cette partie, on suppose que : · l'automate passe du niveau 0 au niveau 1 en generant la lettre C ; · l'automate passe du niveau 1 au niveau 2 en generant la lettre P ; · l'automate passe du niveau 2 au niveau 3 en generant la lettre C ; · si l'automate est au niveau 0 ou 2 et qu'il genere la lettre P, alors il retombe au niveau 0 ; · si l'automate est au niveau 1 et qu'il genere la lettre C, alors il reste au niveau 1. L'experience s'arrete des que l'automate a atteint le niveau 3, c'est-a-dire des que l'automate aura genere la sequence CPC. Q38. Reproduire, sur votre copie, la figure 3 suivante en la completant pour resumer l'experience de cette partie V. 0 1 2 3 Figure 3 Pour i  [[0, 3]] et n  N , on note En,i l'evenement l'automate se trouve au niveau i  et E0,i l'evenement niveau i . On pose pn,i apres avoir genere la n-ieme lettre, l'automate se trouve initialement au + = P(En,i ) et pour tout t  [-1, 1], on definit Si (t) = pn,i tn . 6/7 n=0 On note T l'instant ou, pour la premiere fois, l'automate atteint le niveau 3. On admet que T est une variable aleatoire definie sur un espace probabilise (, A , P) telle que T ()  N . On remarque que la serie generatrice de T (notee GT ) est alors S3 et on note RT son rayon de convergence. On rappelle que RT  1. Q39. Determiner p0,0 , p0,1 , p0,2 et p0,3 . pn,0 p n,1 Q40. Montrer que pour tout n  N , on a : p n,2 pn,3 = = = = p · pn-1,0 + p · pn-1,2 q · pn-1,0 + q · pn-1,1 . p · pn-1,1 q · pn-1,2 S0 (t) S1 (t) Soit t  [-1, 1]. On note S(t) la matrice colonne suivante : S(t) = S2 (t). S3 (t) S0 (t) = tp · S0 (t) + tp · S2 (t) +1 S1 (t) = tq · S0 (t) + tq · S1 (t) . Q41. Montrer que S2 (t) = tp · S1 (t) S3 (t) = tq · S2 (t) Q42. Montrer que la matrice colonne S(t) est solution de l'equation (Et ) definie en partie IV. Q43. Montrer que t  ] - RT , RT [, GT (t) = pq 2 t3 et montrer que RT > 1.
-p2 qt3 + pqt2 - t + 1

Q44. Montrer que T admet une esperance et une variance.
Q45. Donner l'expression de E(T ) en fonction de q seulement.
Q46. Proposer une methode permettant de determiner le temps d'attente moyen de 
la premiere
realisation par l'automate de la sequence CCPPC : on precisera notamment le 
schema des six
niveaux correspondants et la matrice analogue a A que l'on peut faire 
intervenir dans ce probleme.

FIN

7/7