CCINP Maths PC 2018

SESSION 2018

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PCMA002

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ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE PC!
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MATHÉMATIQUES
Lundi 30 avril : 14 h - 18 h!
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N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la 
précision et à la concision de la
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a été amené à prendre.!

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Les calculatrices sont interdites
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! Le sujet est constitué d'un seul problème en six parties.
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! Lorsqu'un raisonnement utilise le résultat d'une question précédente, il est 
de! mandé au candidat d'indiquer précisément le numéro de la question utilisée.
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PROBLÈME

On rappelle que R[X] désigne le R-espace vectoriel des polynômes à coefficients 
réels. Pour n
entier naturel, Rn [X] désigne le sous-espace vectoriel de R[X] des polynômes 
de degré inférieur
ou égal à n. On précise que l'on pourra confondre polynôme et fonction 
polynomiale associée.
Soit P un polynôme de R[X]. On note P (n) sa dérivée n-ième.
On considère l'application  de R[X] dans lui-même définie par :
P  R[X], (P ) = (X 2 - 1)P  + 2XP  .
Pour n  N, on note Un = (X 2 -1)n et Ln =

1
2n n!

Un(n) . Les polynômes Ln sont appelés polynômes

de Legendre. Pour n entier naturel, an désigne le coefficient dominant de Ln .

Partie I - Quelques résultats généraux
Q1.

Déterminer L0 , L1 et vérifier que L2 =

1
(3X 2 - 1).
2

Dans la suite de cette partie, n désigne un entier naturel.
Q2.

Justifier que Ln est de degré n et préciser la valeur de an .

Q3.

Montrer que la famille (L0 , . . . , Ln ) est une base de Rn [X].

Q4. Pour n  N , déterminer les racines de Un , en précisant leur ordre de 
multiplicité, puis
justifier qu'il existe un réel  ] - 1, 1[ et un réel , que l'on ne cherchera 
pas à déterminer,
tels que :
Un = (X - 1)n-1 (X + 1)n-1 (X - ).
On pourra utiliser le théorème de Rolle.

2/7

Q5. Dans cette question seulement, n  2. Soit k  1, n - 1. On suppose qu'il 
existe des
réels 1 , . . . , k deux à deux distincts dans ] - 1, 1[ et un réel µ tels que :
Un(k) = µ(X - 1)n-k (X + 1)n-k (X - 1 ) · · · (X - k ).
Justifier qu'il existe des réels 1 , . . . , k+1 deux à deux distincts dans ] - 
1, 1[ et un réel  tels
que :
Un(k+1) = (X - 1)n-k-1 (X + 1)n-k-1 (X - 1 ) · · · (X - k+1 ).
Q6. En déduire que, pour n  N , Ln admet n racines réelles simples, toutes dans 
[-1, 1].
On les note x1 , . . . , xn , en convenant que x1 < · · · < xn . On note An = n (X - xk ). k=1 En convenant que A0 = 1, on a donc : n  N, Ln = an An . Partie II - Étude des éléments propres de l'endomorphisme Q7. Prouver que  est un endomorphisme de R[X]. Dans les questions Q8 à Q13, n désigne un entier naturel. Q8. Justifier que Rn [X] est stable par . On note n l'endomorphisme de Rn [X] induit par . Cet endomorphisme n est donc défini par : P  Rn [X], n (P ) = (P ). Q9. On note M = (mi, j )0i, jn la matrice de n dans la base canonique de Rn [X]. Montrer que M est triangulaire supérieure et que : k  0, n, mk,k = k(k + 1). Q10. Montrer que n est diagonalisable. On pourra utiliser la question Q9. Q11. Vérifier que : k  0, n, (X 2 - 1)Uk - 2kXUk = 0. Q12. Soit k  0, n. En dérivant (k + 1) fois la relation de la question Q11, montrer grâce à la formule de dérivation de Leibniz que : (X 2 - 1)Uk(k+2) + 2XUk(k+1) - k(k + 1)Uk(k) = 0. Q13. Montrer que, pour k  0, n, le polynôme Lk est un vecteur propre de n , en précisant la valeur propre associée. On pourra utiliser la question Q12. Q14. Déduire de ce qui précède les valeurs propres et les sous-espaces propres associés de . 3/7 Dans la suite du problème, pour P et Q éléments de R[X], on définit : P, Q = 1 P (t)Q(t) dt. -1 Partie III - Distance au sous-espace vectoriel Rn [X] Q15. Justifier que ., . est un produit scalaire sur R[X]. On note . la norme associée, qui est donc définie par : f  = 1 f (t)2 dt -1 Q16. Établir que : (P, Q)  R[X]2 , (P ), Q = - 1 1 2 . (t 2 - 1)P  (t)Q (t) dt, puis que : -1 (P, Q)  R[X]2 , (P ), Q = P, (Q). Q17. Montrer que la famille (Ln )nN de polynômes de R[X] est orthogonale pour le produit scalaire ., .. On pourra utiliser la question Q13. Q18. Montrer que : n  N , P  Rn-1 [X], P, Ln  = 0. 2n + 1 2 . Pour n  N, on pose Qn = Ln . Que peut-on Q19. On admet que Ln 2 = 2n + 1 2 dire de la famille (Qn )nN de polynômes de R[X] pour le produit scalaire ., . ? Dans la suite de cette partie, P désigne un polynôme de R[X]. Pour n  N, on note d (P, Rn [X]) = inf P - Q la distance de P au sous-espace Rn [X]. QRn [X] Q20. Soit n  N. En utilisant un résultat de votre cours, justifier qu'il existe un unique polynôme Tn de Rn [X] tel que : d (P, Rn [X]) = P - Tn , puis justifier l'égalité : 2 2 d (P, Rn [X]) = P  - n k=0 Q21. Prouver que la série ck (P ) 2 2 ck (P ) , où ck (P ) = P, Qk . converge et que : + k=0 4/7 ck (P ) 2 P 2 . Partie IV - Fonction génératrice On admet dans la suite du problème que n  N , (n + 1)Ln+1 - (2n + 1)XLn + nLn-1 = 0 et on considère la série entière de la variable t : Ln (x)t n . On note r la racine positive du polynôme X 2 - 2X - 1. Q22. Montrer que : x  [-1, 1], n  N, |Ln (x)|  r n . On pourra raisonner par récurrence et utiliser la relation admise au début de cette partie. Pour x  [-1, 1], on note R(x) le rayon de convergence de la série entière 1 Montrer que : R(x)  . r Q23. Ln (x)t n . + 1 1 Ln (x)t n . Montrer que Sx est , on pose Sx (t) = Q24. Pour x  [-1, 1] et t  - , r r n=0 1 1 de l'équation différentielle linéaire du premier ordre : solution sur - , r r (1 - 2tx + t 2 )y  + (t - x)y = 0. Q25. 1 1 1 + Ln (x)t n =  2 , En déduire que : x  [-1, 1], t  - , . r r n=0 t - 2xt + 1 Q26. Indiquer une méthode permettant, à partir du seul résultat de la question Q25, de retrouver l'expression des polynômes L0 , L1 et L2 . Partie V - Expression intégrale des polynômes de Legendre Pour   [0, ] et n  N, on pose : wn () = 1 (cos  + i sin  cos u)n du. 2 - Q27. Soit t ] - 1, 1[. Pour n  N, on considère la fonction vn de [-, ] dans C définie par : n n vn converge normalement sur [-, ]. vn (u) = t (cos  + i sin  cos u) . Montrer que Q28. + du 1 Justifier l'égalité : t ] - 1, 1[, wn ()t = . 2 - 1 - t cos  - i t sin  cos u n=0 n Dans les questions Q29 et Q30, a désigne un réel strictement positif. Q29. Montrer que défini par v =  - u. 0 cos u du = 0. On pourra utiliser le changement de variable 1 + a2 cos2 u 5/7 2 du 1 . On pourra utiliser le changement de = 2 2 2 1 + a2 0 1 + a cos u variable défini par u = arctan v . Q30. Montrer que : Q31. En déduire que : t ] - 1, 1[,   [0, ], - du 2 =  2 . 1 - t cos  - i t sin  cos u t - 2t cos  + 1 Q32. Déduire de ce qui précède que : n  N,   [0, ], Ln (cos ) = wn (). Q33. Justifier que : x  [-1, 1], t ] - 1, 1[, Q34. + n=0 Ln (x)t n = t2 1 . - 2xt + 1 Prouver que : x  [-1, 1], R(x) = 1. On pourra raisonner par l'absurde et montrer qu'alors, pour tout z de C tel que |z| < R(x), on a : (z 2 - 2xz + 1) + Ln (x)z n n=0 2 = 1. Partie VI - Application à l'approximation d'intégrales Dans les questions Q35 à Q43, n désigne un entier naturel non nul. Q35. Soit h une application de R dans R de classe C 2n-1 sur R telle qu'il existe 2n réels t1 < · · · < t2n vérifiant : i  1, 2n, h(ti ) = 0. Montrer qu'il existe un réel c tel que : h(2n-1) (c) = 0. Q36. Pour i  1, n, on note i l'application linéaire définie sur Rn-1 [X], à valeurs dans R, par : P  Rn-1 [X], i (P ) = P (xi ) (on rappelle que x1 , . . . , xn désignent les racines de Ln et qu'elles sont deux à deux distinctes). Montrer que (1 , . . . , n ) est libre dans L(Rn-1 [X], R). Q37. En déduire que pour toute application linéaire  de Rn-1 [X] dans R, il existe un unique n-uplet (1 , . . . , n ) de réels tel que :  = n k k . k=1 Q38. Montrer qu'il existe un unique n-uplet (1 , . . . , n ) de réels tel que : P  Rn-1 [X], 1 -1 P (t) dt = 1 P (x1 ) + · · · + n P (xn ). Q39. Montrer que la relation de la question Q38 reste vérifiée pour tout P de R2n-1 [X]. On pourra, pour P  R2n-1 [X], utiliser la division euclidienne de P par Ln et la question Q18. 6/7 Dans la suite du problème, f désigne une application de [-1, 1] dans R, de classe C 2n sur [-1, 1]. H n (xi ) = f (xi ) . On pourra commenMontrer que : !Hn  R2n-1 [X], i  1, n, Hn (xi ) = f  (xi ) cer linéaire de R2n-1 [X] dans R2n qui à P associe : par déterminer le noyau de l'application P (x1 ), . . . , P (xn ), P  (x1 ), . . . , P  (xn ) . Q40. On rappelle que An a été défini à la question Q6. Soit x  [-1, 1] tel que : i  1, n, x  xi . An (x)2 (2n) f (c). On pourra considérer l'application Montrer que : c  [-1, 1], f (x) - Hn (x) = (2n)! An (t)2 g définie sur [-1, 1] par g(t) = f (t) - Hn (t) - K, où K est un réel dépendant de x à (2n)! préciser, et appliquer le résultat de la question Q35 à la fonction g  . Q41. An (y )2 (2n) (c). f (2n)! Q42. Montrer que : y  [-1, 1], c  [-1, 1], f (y ) - Hn (y ) = Q43. Justifier l'existence de M2n (f ) = max |f (2n) (t)|, puis prouver que : t[-1,1] 1 -1 Q44. f (t) dt - 1 f (x1 ) + · · · + n f (xn ) M2n (f )  1 An (t)2 dt. (2n)! -1 Déterminer un équivalent simple au voisinage de + de 1 -1 FIN 7/7 An (t)2 dt.