CCINP Maths PC 2022

SESSION 2022

QE _

CONCOURS
COMMUN
INP

ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE PC

MATHÉMATIQUES

Durée : 4 heures

N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la 
précision et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur 
d'énoncé, il le signalera sur sa copie
et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives 
qu'il a été amené à prendre.

RAPPEL DES CONSIGNES

-_ Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la 
rédaction de votre composition ; d'autres
couleurs, excepté le vert, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les 
schémas et la mise en
évidence des résultats.

-< _ Ne pas utiliser de correcteur. *_ Écrire le mot FIN à la fin de votre composition. Les calculatrices sont autorisées. Le sujet est composé de trois exercices indépendants. 1/8 EXERCICE 1 Étude d'un endomorphisme sur un espace de polynômes Présentation générale On rappelle le théorème de la division euclidienne pour les polynômes : si U EUR C[X] et V e CIX] sont deux polynômes avec V + 0, alors il existe un unique couple (Q,R) e C[X]* tel que : U--=VO+R avec CR -- 0 ou degiR) < deg(V) ). Les polynômes © et R sont respectivement appelés le quotient et le reste dans la division euclidienne du polynôme U par V. Dans cet exercice, on se donne un entier n EUR N° et un couple (A, B) e C,|X]xC/X] tel que deg(B) = n+1. On considère également l'application & définie sur C,{X] qui à un polynôme P EUR C,ÏX] associe le reste dans la division euclidienne de AP par B. Par exemple, si on suppose que l'on a : n=2, A--=X*, B=X°-X, P=X"+X+1, alors, en effectuant la division euclidienne de AP par B, on obtient : AP=X +X°+X?=BO+R avec OQ--=X+1 et R--=2X?+X, donc on a g(P) = 2X°+xX. Partie | - Généralités sur l'application Dans cette partie, on démontre que l'application & est un endomorphisme de C,{X]. Q1. Justifier que pour tout polynôme P eC,|X]|,on aw(P)ecC,lX|. On considère deux polynômes P; EUR C,[X] et P2 e C,ÏX]. Par le théorème de la division euclidienne rappelé dans la présentation, il existe (Q1,R1) EUR C[X] x C,[X] et (Qo, R2) EUR CIX] x C,[X] tels que : AP; = BO; +R; et AP: = BO2 + Ro. Q2. Soit 1e C. Exprimer le quotient et le reste dans la division euclidienne de A(P;1 + 4P2) par Ben fonction de 1 et des polynômes Q:, 02,R, et R en justifiant votre réponse. En déduire que % est un endomorphisme de l'espace vectoriel C,[X]. Partie Il - Étude d'un premier exemple Dans cette partie uniquement, on suppose que : n=2, A=X°+2X et B--X°+X"-X-1. Q3. Montrer que la matrice de l''endomorphisme w de C2[X] dans la base (1, X, X°) est : 0 1 1 mM=1|2 1 2le W(C). 1 1 0 Q4. Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres de la matrice M. Q5. Justifier que l'endomorphisme « est diagonalisable. Déterminer une base de C2|X] formée de vecteurs propres de . 218 Partie Ill - Étude d'un second exemple Dans cette partie uniquement, on suppose que n = 2? et que B = X°. Comme A est un élément de l'espace vectoriel C2[X], il existe («,B, y) EUR C*° tel que À = « + BX + yX*. Q6. Montrer que la matrice de l''endomorphisme w de C2[X] dans la base (1, X, X°) est : a D O0 T=|B a 0|[e MG(C). y Ê « Q7. Montrer que l'endomorphisme est diagonalisable si et seulement si le polynôme À est constant. Partie IV - Étude du cas où B est scindé à racines simples Dans cette partie, on ne suppose plus que n -- 2 : le nombre 7 est un entier quelconque de N°. Jusqu'à la fin de l'exercice, on suppose que B est un polynôme scindé à racines simples. On note xo,...,x, EUR C les racines de B qui sont donc des nombres complexes distincts. On définit les polynômes de Lagrange Lo,...,L, EUR C,[X] associés aux points xo,...,x, par: n Vk EUR [0,n]. = || i=0 i#k X -- x; Xk = Xi En particulier, les relations suivantes sont vérifiées : 1 Si j--=k V(K, j) EUR 0,77, Lux) = À Si j£K. IV.1 - Décomposition avec les polynômes de Lagrange Q8. Soit PeC,;{[X]. Montrer que xo,..., x, Sont des racines du polynôme D = P - > P(x;)L:.
i=0

Q9. Déduire de la question précédente que pour tout P e C,|X|, on a P -- > 
P(x;)L:.
i=0

Q10. Montrer que (Lo,...,L,) est une base de C,/[X].

IV.2 - Réduction de l'endomorphisme

Pour tout entier k EUR [0,1], on désigne respectivement par Q4 e C[X] et R; EUR 
C,|X] le quotient et le reste
dans la division euclidienne de AZ; par B.

Q11. Soit (j,k) EUR [0,n]°. Montrer que R{(x;) = 0 si j 4 k et que R{(xx) = 
A(xx).

Q12. En utilisant Q9, en déduire pour tout k EUR [0,7] que w(Lx) = A(x)Lx.

Q13. Justifier que l'endomorphisme « est diagonalisable et préciser ses valeurs 
propres.

318
EXERCICE 2

Étude de séries de pile ou de face

Présentation générale

On considère un espace probabilisé (Q, A, P) modélisant une succession infinie 
de lancers indépen-
dants d'une pièce équilibrée (c'est-à-dire donnant pile avec la probabilité 1/2 
et face avec la probabi-
lité 1/2). Pour tout entier k e N°, on désigne par P, l'évènement [le k-ième 
lancer de la pièce donne pile]
et par F4 l'évènement [le k-ième lancer de la pièce donne face].

On appelle série une succession de lancers amenant le même côté de la pièce. La 
série n°1 commence
au premier lancer et se poursuit jusqu à ce qu'un des lancers suivants donne un 
résultat différent du
premier lancer. De même, la série n°2 commence au lancer suivant la fin la 
série n°1 et se termine au
lancer précédant un changement de côté. On définit de même les séries suivantes.

Voici deux exemples pour illustrer la définition des séries donnée ci-dessus :

Exemple 1 : POPN F3 NPA PN PEN PIN FN...
--_-- oo. ne dé
Série n°1 Série n°2 Série n°3

+ co
Exemple 2 : BnF An Pan Pin Pen Pr | r]
ni eo ni Lo k=9
Série n°1 Série n°2 ,
Série n°3

Partie 1 - Étude de la longueur de la première série

Dans cette partie, nous allons étudier la longueur de la première série. On 
définit la variable aléatoire L;:
de la manière suivante :
- Si la série n°1 ne se termine pas (ce qui arrive si et seulement si on 
obtient que des piles ou que
des faces), on pose Zi --0;
- Sinon, on désigne par Z, la longueur de la série n°1.
Ainsi, si l'évènement donné dans l'exemple 1 est réalisé, alors on a Z; -- 2 
tandis que si l'événement
donné dans l'exemple 2 est réalisé, alors on a Li --3.

1.1 - Calcul de la somme d'une série entière

Q14. Rappeler (sans le démontrer) le rayon de convergence et la somme de la 
série entière :

D

kZz0

+00
Q15. En déduire que pour tout x e]-1,1|, la série > kx° converge et que > kx° = 
TETE |
-- X
k>0 k=0

418
1.2 - Étude de L:

Dans cette partie, on considère un entier k e N°.

Q16. Exprimer l'évènement (Z; = k) en fonction des évènements P; et F; 
pourief[1,k+1].
Q17. Montrer que P(L, = k) =2*.

Q18. En déduire la valeur de P(L; = 0).

Q19. Démontrer que la variable aléatoire L. admet une espérance, puis 
déterminer sa valeur. Que
représente ce nombre par rapport au problème étudié dans cet exercice ?

Partie Il- Étude du nombre de séries

Pour tout entier n EUR N°, on note N, le nombre de séries apparues lors des n 
premiers lancers. Par
exemple, si l'évènement de l'exemple 1 dans la présentation est réalisé, alors 
on a :

N=-=b=lIl, MN=2, N-=N=-=N---N;---3 et N--14.
Jusqu'à la fin de l'exercice, on considère un entier n EUR N°.
11.1 - Généralités

Q20. Déterminer les lois de N. et MN.

Q21. Quel est l'ensemble des valeurs prises par la variable aléatoire N, ?

11.2 - Relation de récurrence pour la loi N,

Dans cette sous-partie, on détermine une relation de récurrence entre la loi de 
N,., et la loi de N,.

Q22. Soitke [1,n + 1]. Justifier que l'on a l'égalité d'évènements :
(Na = k)N PO Pur = (Ni =k)N Pal Pr,

puis en déduire que :

P((Naxi = &)N Pa Pau) = =P((N, = k)NP;).

Dans la suite, on admet que l'on a pour tout k e [1,n + 1] les relations :

P((Nn41 = &)N Fa Fu) = =P((N, = k)n Fi),

P((Nnxi = EUR) N Pal Fat) = =P((N, =k-1)NP)).

P((Nnxi = &)N Fil Pau) = =P((N, =k-1)NF)).

Q23. En utilisant la formule des probabilités totales avec le système complet 
d'évènements :
(Pr N Pr; Fn N Fni1, Fn N Pri1; Ph N F1)

et les relations précédentes, montrer que l'on a pour tout k EUR [1,n + 1] la 
relation :

1 1
POV = EUR) = SP(Na = À) + SP(Nn = k-- 1).

9/8
1.3 - Fonction génératrice, loi et espérance de N,

Pour tout m EUR N°, on note G,, : R -- R la fonction génératrice de la variable 
aléatoire N,, dont on
rappelle la définition :

VXER, Gm(x) = D P(Nn = RS.
k=1
En particulier, on déduit des résultats précédents (on ne demande pas de le 
vérifier) que :

VxEeR, Gi(x) = x.

Q24. Déduire de Q23 que pour tout xe R, on a la relation :

TL + x
2

Gn+1(x) -- Ga(x) .

Q25. Déterminer une expression explicite de G,;(x) pour tout n e N'ettoutxeR.

Q26. Rappeler l'expression de l'espérance de N, en fonction de sa fonction 
génératrice G, . En déduire
l'espérance de la variable aléatoire N, .

Q27. Déterminer la loi de la variable aléatoire N, à partir de l'expression de 
G,.

6/8
EXERCICE 3
La constante d'Euler

Présentation générale

Dans cet exercice, on commence dans la première partie par démontrer la 
convergence d'une suite afin
de définir la constante d'Euler comme sa limite. Dans la seconde partie, on 
détermine une expression
de cette constante sous la forme d'une intégrale.

Partie | - Construction de la constante d'Euler

On définit la suite (u,)1ew* par :

VnEN", un -- D 3 -- In(n).

et on considère la suite (A,),>-2 définie par :
VneN\{0,1},, A, =ur; -un-_1.

Q28. Déterminer un nombre a e R° tel que À, -- _T.

n-- +co n?

Q29. Montrer que la série > À, est convergente.

n>2

Q30. En déduire que la suite (u,),ew: est convergente.

Partie Il - Expression intégrale de la constante d'Euler

Dans Q30, on a montré que la suite (4,),«w+ converge vers un un nombre réel que 
l'on note y dans
la suite de l'exercice. Ce dernier est appelé constante d'Euler. Dans cette 
partie, on détermine une
expression de y sous la forme d'une intégrale.

Pour tout n e N°, on considère la fonction f, : 0, +c|--- R définie par :

( -- =] In(r) si 1n.

11.1 - Propriétés de la suite (f,),1"

Dans cette sous-partie, on pourra utiliser librement l'inégalité In(1+x) < x valable pour tout x e]-1,+c|. Q31. Soit re |0, +c|. Justifier qu'il existe no EUR N° tel que pour tout n e N° vérifiant n > no, On a :

l

ft = (1-2) in.

n

Q32. Déduire de la question précédente que la suite de fonctions (f,),ew- 
converge simplement vers
la fonction r + e 'In(r) sur l'intervalle ]0, +co!.
Q33. Soit n e N°. Montrer que pour tout f EUR ]0, +, on a |f,(r)| < e'|In(s)|. Q34. Montrer que la fonction : + e 'In(r) est intégrable sur ]0, +co!. 718 1.2 - Convergence d'une suite d'intégrales Pour tout n e N°, on considère les intégrales : 1, = no f{i-1) mod et = [win du. n On considère un entier n EUR N°. Q35. Q36. Q37. Q38. Q39. Montrer que l'intégrale J, est convergente. Déduire des résultats de la sous-partie 11.1 que la suite (7,),a est convergente et que : + co lim = | e 'In(r) dr. n--+co 0 Montrer que l'intégrale /, est convergente si et seulement si l'intégrale : 1 n+1l 27 [ y 0 u -- | est convergente. En déduire que l'intégrale /, est convergente et que l'on a les égalités : 1 L'yntl 2] 1 7 pe pa Ur n+1l Jo u-l n +1 k Montrer que l'on a la relation : n L. -- Foon+l IN(n) +nJ,. Déduire des questions précédentes que : + co == | e 'In(r) dr. 0 FIN 8/8 NATIONALE - 221169 - D'après documents fournis IMPRIMERIE