CCINP Maths PC 2023

SESSION 2023 PC1M

CONCOURS
COMMUN

INP

ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE PC

MATHÉMATIQUES

Durée : 4 heures

N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la 
précision et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur 
d'énoncé, il le Signalera sur Sa copie
et devra poursuivre Sa composition en expliquant les raisons des initiatives 
qu'il a été amené à prendre.

RAPPEL DES CONSIGNES

«_ Utiliser uniquement un Stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la 
rédaction de votre composition ; d'autres
couleurs, excepté le vert, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les 
schémas et la mise en évidence
des résultats.

. _ Ne pas utiliser de correcteur.

« Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.

Les calculatrices sont interdites.

Le sujet est composé de trois exercices indépendants.

1/8
EXERCICE 1
Endomorphisme cyclique

Présentation générale

Dans cet exercice, nous allons étudier la notion d'endomorphisme cyclique dont 
la définition est donnée
ci-dessous. Soit f un endomorphisme d'un espace vectoriel E de dimension finie 
n EUR N°. On rappelle
que pour tout entier p EUR N°, on note :

f°=ldg, f=f, ff=fof,  fP=fo..of.

p fois

On dit que l'endomorphisme f est cyclique s'il existe un vecteur v EUR E tel 
que la famille (v. flv), .f""(v))
soit une base de l'espace vectoriel E.

Cet exercice est composé de quatre parties indépendantes. Les trois premières 
sont consacrées à
l'étude de différents exemples. Dans la dernière partie, on détermine une 
condition nécessaire et suffi-
sante pour qu un endomorphisme diagonalisable soit cyclique.

Partie | - Étude d'un premier exemple

Dans cette partie, on considère l'endomorphisme f : R° -- R° défini par :

V(LY) ER, f(xy) = (4x- 27, x + y).

Q1. En considérant v -- (1,0) e R°, montrer que f est un endomorphisme cyclique 
de R°.
Q2. Déterminer les valeurs propres de f et donner une base de chaque 
sous-espace propre de f.

Q3. Existe-t-il un vecteur w EUR R° non nul tel que la famille (w, f(w)) ne 
soit pas une base de R° ?

Partie Il - Étude d'un deuxième exemple

Dans cette partie, on considère l'endomorphisme £ : R° -- R° dont la matrice 
dans la base canonique

est :
O --1 1
M =1|-1 0 -1

1 --1 0

EUR M3 (R) .

Q4. Montrer que l'on a la relation g° = g + 2 Idys.
Q5. Montrer que la matrice M est diagonalisable et déterminer ses valeurs 
propres.

Q6. L'endomorphisme £ est-il cyclique ?

218
Partie III - Étude d'un troisième exemple

Dans cette partie, on fixe un entier n EUR N \ {0,1} et on considère 
l'application À définie sur R,{X] par :
VPER,[X, A(P) = P(X +1) - P(X).

Par exemple, on a A(X*)--(X +1)*-X*--2X +1.

Q7. Montrer que À est un endomorphisme de R,|X1.

Q8. Soitke [0,r]. Calculer A(X°) sous une forme développée.

Q9. En déduire que si PE R,]|X] est un polynôme non constant, alors deg(A(P)) 
-- deg(P) -- 1.

Q10. Montrer que l'endomorphisme À est cyclique.

Partie IV - Cas d'un endomorphisme diagonalisable

Dans cette partie, on considère un endomorphisme diagonalisable À d'un C-espace 
vectoriel E de di-
mension finie n EUR N°. On souhaite déterminer une condition nécessaire et 
suffisante sur les valeurs
propres de À pour que cet endomorphisme soit cyclique.

Comme l'endomorphisme À est diagonalisable, il existe une base 8 -- (v1,...,v,) 
de l'espace vectoriel E
composée de vecteurs propres de À. Pour tout ke [1,n], on note 1,4 e C la 
valeur propre associée au
vecteur propre v;.

Soit ve E. Comme 8 est une base de E, il existe (a1,...,a,) EUR C" tel que :

V--=QiV +" + OEnVn.

Q11. Montrer que pour tout pe N°,ona:

hP(v) = @ dvi ++: + andhivs.

Q12. Montrer que le déterminant de la famille F = (v,h(v),...,h"!(v)) dans la 
base 8 est égal à :

detg(f) = @:--.@ | (A; -- À;).

1 s, ConVerge simplement sur ]0, +c| et 
que :

n>0

+ co

V1E]O,+o0[, D sfr) = f(rx).

n=0
n To Un
Q20. Montrer que la série ) --_ converge et déduire des questions précédentes 
que L(x) -- ) -- .
n
n>1 n--=1

1
Q21. Montrer que pour tout x EUR [1,1], on a L(x) + L(-x) = > L(x°).

Q22. Déduire des questions précédentes les valeurs de Z(1) et L(-1).

Partie III - Une autre propriété

Dans cette partie, on considère la fonction h : [0,1|-- R définie par :

Vxe]0,1{, A(x) = L(x) + L(I - x) +In(x)In(1 - x).

Q23. Justifier que la fonction L est dérivable sur | -- 1,1] et montrer que 
l'on a :

M(1-x) .
------ si x£0
Vxe]l-1,1|, L'(x) = x
1 Si x--0.
Q24. Montrer que la fonction h est constante sur [0,1].
+00 t
Q25. Montrer que h(x) -- L(1) pour tout x EUR |0,1{. En déduire la valeur de 
l'intégrale [ Det of.
0 _

9/8
EXERCICE 3
Un jeu de société

Présentation générale

On considère deux entiers M EUR N \ {0,1} et A e N°. On dispose d'un plateau de 
jeu infini sur lequel
se trouve un parcours composé de cases numérotées par les entiers naturels. Un 
pion se trouve initia-
lement sur la case numérotée 0 et il doit atteindre ou dépasser la case 
numérotée A pour terminer le
jeu. À chaque tour de jeu, le joueur utilise un ordinateur qui génère 
aléatoirement et uniformément un
élément de l'ensemble [[0, M -- 1] : le pion est avancé d'autant de cases que 
le nombre généré.

Dans la suite, on s'intéresse tout particulièrement au nombre de tours de jeu 
nécessaire pour que le
pion atteigne ou dépasse la case numérotée A.

Pour modéliser cette situation, on se place sur un espace probabilisé (Q, A, P) 
et on considère une
suite (X;)rax de variables aléatoires réelles indépendantes de loi uniforme sur 
[[0, M -1]. On considère
également la suite de variables aléatoires réelles (S,),ex définie par So = 0 
et:

n
Yn e N°, Sn= NX.
k=1

On considère la variable aléatoire T définie de la façon suivante :
1. sipourtoutneN",onasS, A}.

L'objectif de cet exercice est de déterminer l'espérance de la variable 
aléatoire T dans deux cas parti-
culiers.

Partie | - Préliminaires

1.1 - Modélisation

Dans cette sous-partie, on effectue le lien entre la situation présentée dans 
l'introduction et le modèle
considéré ci-dessus.

Q26. Soit n e N°. Que représentent les variables aléatoires X, et S, dans le 
contexte de la situation
présentée ?

Q27. Que représente la variable aléatoire T°?
1.2 - Calcul de la somme d'une série entière
On considère la fonction f : | ---1,1|-- R définie par :

Vxe]l-1,1|, f(x) =

1x

Q28. Montrer que la fonction f est de classe C" sur | - 1,1] et que :

P!

Vp EN, Vxe]-1,1|} FPE EE

6/8
Q29. Soit p e N. Montrer que le rayon de convergence de la série entière > e 
est égal à 1.

n2p

Q30. Soit p e N. En développant la fonction f en série entière, déduire des 
questions précédentes

l'égalité suivante :
Sn xP
Vxe]-1,1{ » ni AT
n=p

Partie Il - Étude d'un premier cas

Dans cette partie uniquement, on suppose que M = 2.
11.1 - Loi des variables aléatoires S, et 7

Q31. Soit n e N°. Démontrer que $, suit une loi binomiale de paramètres n et 
1/2.
Q32. Quelles sont les valeurs prises par la variable aléatoire T ?

Q33. Soitke N avec k > A. Exprimer l'évènement (T = k) en fonction des 
évènements (Sx_1 = A---1)
et (X4 = 1). En déduire que :

er-pÂ[(t"1}1

2 (A-1/2%

Q34. Calculer P(T = 0).

11.2 - Espérance de la variable aléatoire T

On déduit des résultats précédents que la fonction génératrice G7 de la 
variable aléatoire T est égale à
la somme de la série entière > P(T = k)x" sur son intervalle de convergence.
k>A

Q35. Déterminer la rayon de convergence R- de la série entière > P(T = k)x* et 
montrer que :
k>A

Vxe]-RrRrl Gr) = =) |

Q36. En déduire le nombre moyen de tours de jeu pour terminer notre partie.

Partie Ill - Étude d'un second cas

Dans cette partie uniquement, on suppose que À < M. 111.1 - Calcul de la probabilité P(S, < k) Dans cette sous-partie, on pourra librement utiliser la formule suivante : n © pps) V(k.n) e N°, ( ) 2 n + | 718 Q37. Soit n e N°. En considérant le système complet d'évènements ((Xn+1 = 0),...,(Xur1 = M- 1)); montrer que : 1 VkE0,A-1], P(Syi1  P(Z > n) converge, alors 
Z admet une espérance

n>0

et on a l'égalité :

E(Z) = Y P(Z > n).
n=0

Q39. Que peut-on dire des évènements (T > n) et (S, < A) pour tout n EUR N ? En déduire que la variable aléatoire T admet une espérance et calculer sa valeur. FIN 8/8 NATIONALE - 231133 - D'après documents fournis IMPRIMERIE