CCINP Maths PC 2024

SESSION 2024 PC1M

CONCOURS
COMMUN

INP

ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE PC

MATHÉMATIQUES

Durée : 4 heures

NB. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la 
précision et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur 
d'énoncé, il le signalera sur sa copie
et devra poursuivre Sa composition en expliquant les raisons des initiatives 
qu'il a été amené à prendre.

RAPPEL DES CONSIGNES

«_ Utiliser uniquement un Stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la 
rédaction de votre composition ; d'autres
couleurs, excepté le vert, bleu clair ou turquoise, peuvent être utilisées, 
mais exclusivement pour les schémas
et la mise en évidence des résultats.

. Ne pas utiliser de correcteur.

« Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.

Les calculatrices sont interdites.

Le sujet est composé de trois exercices indépendants.

1/8
EXERCICE 1

Racine cubique d'une matrice

Présentation générale

Dans tout l'exercice, on considère un entier n EUR N°.

On dit qu'une matrice À EUR M,(R) admet une racine cubique s'il existe B  M,(R) 
telle que À = B°. Dans
ce cas, on dit que B est une racine cubique de A.

Partie 1 - Étude d'un exemple

Dans cette partie, on considère la matrice :

4 --]2
a-[5 Fe je mem

Nous allons déterminer toutes les racines cubiques de la matrice A.

Q1. Justifier quil existe une matrice inversible P EUR WG(R), qu'il n'est pas 
nécessaire de déterminer
explicitement, telle que A = PDP ! avec :

Q2. Montrer qu'une matrice B EUR AL(R) est une racine cubique de A si et 
seulement si A = P-!BP est
une racine cubique de D.

Q3. Soit A EUR WB(R) une racine cubique de D. Montrer que les matrices D et À 
commutent, puis en
déduire que la matrice À est diagonale.

Q4. Déterminer l'ensemble des racines cubiques de D, puis l'ensemble des 
racines cubiques de A.
On pourra se contenter de décrire ce dernier ensemble en fonction de P et de A.

Partie Il - Dans un plan euclidien

Dans cette partie, on considère un plan euclidien orienté £ muni d'une base 
orthonormée directe 8.On
fixe également un réel 8 e R et on note :

_ a -- sin(6)

sin(8)  cos(6) | EC).

Q5. Quelle est la nature de l'endomorphisme " EUR L(E) dont la matrice dans la 
base 8 est M?
Q6. En déduire une racine cubique de la matrice M.

Q7. Soit N e WG(R) une matrice orthogonale de déterminant ---1. Montrer que N 
admet une racine
cubique.

218
Partie INT - Racines cubiques et diagonalisation

Dans toute cette partie, on considère une matrice diagonalisable À EUR M,(R). 
On note 1,,...,4ekRles
valeurs propres deux à deux distinctes de la matrice A.

111.1 - Existence d'une racine cubique polynomiale

Q8. Soient1eR et p e N°. Déterminer une racine cubique de la matrice :

(A O0 :.. 0)
O "... '. :
H,() = | EUR M,(R).
1 7 7 0
(DO -.. 0 À

Q9. Déduire de la question précédente que la matrice A admet une racine 
cubique. On pourra re-
marquer que À est semblable à une matrice diagonale par blocs où les blocs sur 
la diagonale
sont de la forme H,(1) avec (p, À) e N° XR.

111.2 - Réduction d'une racine cubique

Dans cette sous-partie, on suppose de plus que la matrice À est inversible et 
on considère le polynôme :

d

90 = | [( -X4).

k=1]

Q10. Montrer que les nombres 1;,...,1, Sont non nuls.

Q11. Soit 1 e C* que l'on écrit sous la forme 1 = pe? avec p > 0 et8 e R. 
Montrer que l'équation z° =
d'inconnue z e C admet exactement trois solutions.

Q12. En déduire que le polynôme © est scindé à racines simples sur C.

Q13. Déduire des questions précédentes que si B est une racine cubique de À, 
alors la matrice B est
diagonalisable dans M,(C).

3/8
EXERCICE 2

La fonction In(l)

Présentation générale

Dans cet exercice, on souhaite déterminer les fonctions f : ]0,+co[-- R 
vérifiant :

(i) la fonction f est de classe C!,

(ii) pour tout x EUR ]0,+co[, on à f(x + 1) -- f(x) = In(x),
(ii) la fonction f' est croissante,

(iv) la fonction f s'annule en 1 , c'est-à-dire f(1) = 0.

Dans la suite, on note (C) l'ensemble de ces quatre conditions.

Partie 1 - Existence de la solution du problème étudié

Dans cette partie, on construit une fonction vérifiant les conditions de (C).

Pour tout n e N°, on définit la fonction w, : ]0,+co[-- R par :

l
Vxe ]0,+oo[, u,(x) = cn + :] in (1 + =).
n n

Q14. Montrer que la série de fonctions » u, Converge simplement sur ]0, +cl.

n>1l

Dans tout le reste de cet exercice, on note 6 : J0,+c[-- KR la fonction définie 
par :

+00

Vx EUR ]0,+00[, gx) = --In() + > un).

n=]

Q15. Justifier que (u,),ew: est une suite de fonctions de classe C! sur 10, +oo 
puis montrer qu'il existe
une suite (&,)en: telle que la série » &, Converge absolument et que :

n>1l

V(n, x) EUR N°X ]0,+oo[, u,(x) = + En.
n(n + x)

Q16. En déduire que la série de fonctions » u, converge normalement sur tout 
segment [a, b] inclus

n>1l

dans ]0, +cof.

Q17. Montrer que la fonction & vérifie les conditions de (C).

418
Partie Il - Unicité de la solution

Dans cette partie, on montre que % est l'unique fonction vérifiant les 
conditions de (C). On considère
une fonction g : Ï0,+c[-- R vérifiant les conditions de (C) et on pose h = 6-2.

Les questions Q18 et Q19 sont indépendantes.
Q18. Montrer que pour tout x > 0, on a A(x + 1) = h(x) et h'(x + 1) = h'(x).

Q19. Soient x EUR ]0,1] et p e N°. Montrer successivement que :
/ / / / / / / / I
p(p)-g(1+p)k)=P(ZEA)- PESTE

On remarque que le résultat de la question précédente est encore valable pour k 
= 0.

Q28. Justifier que la variable aléatoire T, est d'espérance finie et que l'on a 
:

n! l
-- L) nt

E(T,) = D) e

6/8
Partie Il - Une expression intégrale de l'espérance

Dans cette partie, on détermine une expression de l'espérance de 7, sous la 
forme d'une intégrale.

+C0
u= | re"! dr.
(0)

Q29. Soit & e N. Montrer que l'intégrale /, est convergente.

Pour tout k e N, on considère l'intégrale :

Q30. Montrer que pour toutkeN,onal/;=Kk!.

n

+00 t n ,
ECT,) = (1+°) e 'dr.
0 n

+00 n
Q31. En déduire que l'intégrale [ ( + . e ' di converge, puis que :
0

Partie III - Un équivalent de l'espérance

Dans cette partie, on détermine un équivalent de l'intégrale obtenue à la 
question Q31 lorsque n -- +co.
Pour tout entier n e N°, on considère les intégrales :

1, = (+=) e dr et J,=-- (+=) e 'di.
(0) nl n nl

Les résultats de la partie précédente impliquent la convergence de ces deux 
intégrales.
lll.1 - Étude de la suite (J,),en*

Q32. Soit n e N°. En utilisant un changement de variable, établir que :

_ +00 v n _,
J, =e 2+°) e dy.
0 n

Q33. Montrer que la suite (K,),e: définie par :

+00 y \?
Vn EUR N°, k= | (1+) e 'dv
0 2n

est bornée. On pourra utiliser librement l'inégalité 1 + x < e" valable pour tout xeR. Q34. En déduire que la suite (J,),aw converge et préciser sa limite. 718 11.2 - Étude de la suite (Z,),aw: Dans cette sous-partie, on définit la fonction f, : 10, +c[-- R par : Vu E ]0,+o[,  f,(u) = Q35. Montrer que : \Vn u n +00 1, = vi [ Ê --- _ e "Vi du = vi [ fn(u) du. 0 vn 0 Q36. Montrer que pour tout u EUR ]0, nl, on a l'égalité : co (--1)-1 u* M(fA(u)) = T-- Q37. En déduire que pour tout u EUR ]0, Vn[, on a les inégalités : 2 u 3 2 Mÿn(u)) + In(f,(u)) < -- | U < ---- , 3 Vn --u?/2 Q38. Justifier que la fonction " + e est intégrable sur [0, +col[, puis établir que : +00 +00 ; lim [[ fau) du = | e "/? du. n-- +00 0 0 111.3 - Conclusion +00 Q39. En admettant que [ e "/2 du = 3. déterminer un équivalent de E(T,) lorsque n -- +0. 0 FIN 8/8 NATIONALE - 241097 - D'après documents fournis IMPRIMERIE