CCINP Maths 2 PC 2001

SESSION 2001 PCOOG

A

CONCOURS COMMUNS POlYÏECHNIQUES

ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE PC

MATHÉMATIQUES 2

DURÉE : 4 heures

L 'utilisation des calculatrices n 'est pas autorisée.

Pour tout nombre entier relatif n & Z , on définit la fonction ]" de la 
variable réelle x par:

J,, (x) : %Kcos(nt -- xsin t)dt .

(on ne cherchera pas à calculer cette intégrale)

RIE

I.1 Montrer que Jn est définie sur IR , paire si n est pair et impaire si n est 
impair.

I.2 Exprimer J _ "(x) en fonction de J "(x) .
On supposera dorénavant que n est un nombre entier positif ou nul.

I.3 Montrer que "J,. est de classe EUR" sur IR.

" .

I.4 Montrer que l'on a J ; (x) = ;',--I cos t.[(n -- x cost)cos(nt -- x sin 
t)]dt .

0
En déduire que J,, est solution de l'équation différentielle linéaire homogène :

(B") x2y" + xy' + (x2 - n2 )y = 0 .

EARTIE I! ,

II.1 Montrer que pour tout p e [N et tout x & IR on a :
sz (x) : %Kcos 2 pt. cos(x sin t)dt ,

J,,,+1 (x) : %Ksin(2 p + 1)z. sin(x sin t)dt .

Tournez la page S.V.P.

11.2 Montrer que pour tout n e N , J_(x) est développable en série entière de x 
sur R tout entier

(on utilisera les développements en série entière des fonctions cosinus ou 
sinus, selon la parité de n ).

11.3 Soit p un nombre entier naturel.

'

II.3.1 Calculer l'intégrale I cos2pt.sin" t.dt pour tout nombre entier k 
supérieur ou égal

0

à p (on pourra exprimer sin" : comme combinaison linéaire des cos 2qt , avec q 
& IN et

q 5 k ). Lorsque p > 0 , montrer que cette intégrale est nulle pour tout nombre 
entier k tel
que 0 .<. k < p . En déduire les coefficients au(p) du développement en série entière J,p(x)=2a,,(p)x" de sz sur R. k=0 21: +1 Il.3.2 Calculer l'intégrale Ksin(2p+l)t.sin t.dt pour tout nombre entier k supérieur ou égal à p (on pourra exprimer sin""'1 I comme combinaison linéaire des sin (2q+l)t , avec q & IN et q 5 k ). Lorsque p > 0 , montrer que cette intégrale est nulle 
pour tout
nombre entier k tel que 0 .<. k < p . En déduire les coefficients a2k+l(p) du développement en série entière sz+l(x)=2052k+1(p)x2"+1 de J2p+1 sur IR. k=0 II.--4 11.4.1' On fixe x & IR . Exprimer en fonction des valeurs des J_(x) les coefficients de Fourier des fonctions cos(x sint) et sin(x sint) de la variable t . Ces deux fonctions sont- elles égales àla somme de leurs séries de Fourier ? 11.4.2 En déduire la valeur des sommes Jo(x)+22(--l)szp(x) , Jo(x)+22sz(x) , P=1 p=l n=1 Î(--l)"J2P+I(x) et Jo(x)2+2îln(x)z . ... _ On considère l'équation différentielle linéaire homogène : (B,) x2y"+ xy'+ (x2 -- 23)y : 0 . où À est un nombre réel donné. III.1 III.1.1 Montrer que, pour que x*z(x) soit solution de (B,) sur ]0, +«>[ , il 
faut et il suffit

que 2 soit solution de l'équation :
(Bi) xz"+ (2/1 + l)z' +xz : 0 .

III.1.2 Dans le cas où 2. = ----à-- , déterminer la solution générale de (B;) 
sur ]0, +oo[ , et en

déduire la solution générale de (B,) sur ]0, +oo[ .
III.1.3 En déduire la solution générale de (B1) sur ]0, +oo[ lorsque À =â-- .

On se propose à présent de chercher les solutions de (B,) sur ]0, +oo[ de la 
forme y(x) = x"z(x) ,

où z(x) est la somme d'une série entière.

III.2 On cherche les solutions de (Bi) sur ]0, +oo[ de la forme z(x) = 2a,,x" .
k=0

III.2.1 Etablir la relation qui doit exister pour tout k21 entre a,,1 et a,,_1 
pour que 2 soit

solution de (Bi) .

On suppose dorénavant que À n'est pas un entier strictement négatif.

Tournez la page S.V.P.

111.2.2 Montrer qu'il existe une unique solution zz de (B;) de la forme

zl(x) : zazp(À)x2" , et telle que aO(À)=1 . Calculer ab(À) pour tout p e N . 
Quel est le
p=0

rayon de convergence de la série entière Z a2p(À)x2" ?

111.3 On définit sur ]0, +..[ la fonction j1 par jÀ(x)=xlzÀ(x) .

III.3.1 On suppose que )... n'est pas un nombre entier.

Montrer que les fonctions jÀ et j_À sont linéairement indépendantes.

En déduire la solution générale de (B,) sur ]0, +oo[ .

III.3.2 Soit n un nombre entier strictement positif.
Comparer j,. àla fonction ]" définie au début du problème.

Vérifier que la fonction z_n définie par z_n(x) : x"z_ (x) est solution de 
l'équation (Bj_) .

Fin de l'énoncé