CCINP Maths 2 PC 2003

 

SESSION 2003 | PCMZOO7

CONCOURS (OMMUNS POlYÏECHNIOUES

EPREUVE SPECIFIQUÈ -- FILIERE PC

MATHEMATIQUES 2

Durée : 4 heures

Les calculatrices sont interdites
' ****

N.B.: Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté,
& la précision et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur 
d'énonce',
il la signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition

en expliquant les raisons des initiatives qu 'ila été amené à prendre.
****

PARTIE 1

Pour tout nombre réel u EUR]O, 1[ on définit la fonction cpu de la variable 
réelle t par :
-- Pour tout t EUR [--7r, +7r[, cpu(t) : cos ut,
-- La fonction cpu est périodique de période 271".

+00
1
Soit --2-ao(u) + z a,,(u) cos nt la série de Fourier de la fonction 9%.
n=1

I.1 Calculer a,,(u) pour tout n EUR IN. _
La fonction cpu est-elle égale en tout point de IR à la somme de sa série de 
Fourier ?

1.2 En déduire, pour tout u EUR]0, 1[, l'égalité :

+oo
7rcos 7... 1 __ 2 Zu
sin7ru u _ n___1 u2 -- n2'
æ2
I\.3 Montrer que la série de fonctions de terme général u,,(æ) = ln (l ---- 
--2--) , n EUR N°",
n

converge simplement sur [O, 1[, et que la série de foncti0ns de terme général 
uÇ,(æ) converge
normalement sur tout segment [O, a] C [0,1[.

+a>
En déduire une expression de z un(æ) pour tout 33 EUR [0,1[.
n=1 '

1.4 Soit (sn)nEUR1N la suite de fonctions définies pour tout 33 EUR IR par la 
récurrence :

2
30(oe) : a:, sn(æ) : (l -- OE--) sn_1(æ) pour tout n EUR IN*.

1.4.1 Montrer que la suite de fonctions (Sn)nEURlN converge simplement sur IR.
Nous noterons 3 sa limite.

æ+n+l

OE'--71

1.4.2 Montrer que pour tout n EUR IN"' et tout :v EUR IR on a sn(æ+1) : sn(æ).

En déduire que s(oe + 1) : --s(oe) pour tout 3: EUR IR.

1.4.3 Calculer s(x) pour tout 33 EUR [0,1[.
sin 7roe

En déduire que pour tout a: EUR IR on a s(oe) :
7r

PARTIE II

On considère la suite ( fn)nEURlN* de fonctions définies pour tout &: EUR IR 
par :

--x _x n--l
n n
fn(æ) : (n_1)'æ(oe+l) (æ+n--l)= (n--1)'H(æ+k)
k=0
11.1
11.1.1 Soit 19 EUR IN un nombre entier naturel. Déterminer _l_1Æl fn(--p).

11.1.2 On suppose que 3: n'est pas un nombre entier négatif ou nul.
Montrer que la suite ( fn(oe))nelN. converge vers une limite non nulle (on 
pourra con-

fn+l(æ)

fn(æ)
déterminera en fonction de 33).

Nous noterons f la fonction lir_|n f... définie sur IR tout entier.
?).--> 00

, défini à partir d'un certain rang Na: que l'on

sidérer la série de terme général ln

11.2 Montrer que pour tout oe EUR IR on a f(x) : xf(æ +1).
Calculer f(1) et en déduire f(n) pour tout n EUR IN'".

sin 7roe

II.3 Montrer que pour tout x EUR IR on a f(oe)f(l --- ;p) :
7r
fn(oe)fn(l _ il?)

On pourra étudier, pour n EUR N'" le rapport ( )
sn x

11.4 On se propose dans cette question de montrer que pour tout :1: EUR IR et 
tout ]) EUR IN'"
on a la relation :

II.4.1 Montrer que la relation (1) est vérifiée lorsque pac est entier négatif 
ou nul.

II.4.2 On suppose que px n'est pas entier négatif, et soit n un élément 
quelconque

Ppæ_lfpn(pæ)

p--1 le

de N'". Montrer que ne dépend pas de a:. En déduire que f vérifie une

relation du type :

où A,, est un nombre réel positif ou nul dépendant de p.

. 1 . .
11.4.3 En écr1vant pour :1: = -- la relation c1--dessus, montrer que :

En déduire une expression de A; en fonction de p et de H sin Î'
k=1

11.4.4 Montrer l'identité suivante entre fonctions polynômes de la variable 
réelle oe :

p--1 --2 2 p--1 2 2k7T
(3: +3? ---+oe+1) ==H cc --2:ccos--+l .

le:] p
p--1
. , . . k7r . .
En donnant a ac la valeur 1, en déduire les valeurs de Hs1n ----- et de A... 
a1n81 que la
P
k=1

relation (1).

PARTIE III

+oo
Soit I' la fonction de la variable réelle a: définie par P(oe) : / e"ttOE--ldt.
0

111.1 Déterminer le domaine de définition D de l' et montrer que I' est 
indéfiniment
dérivable sur D.

. n t n
III.2 Pour tout :c EUR]0, +00[ et tout n EUR N'" on pose Gn(oe) : / (l -- --) 
tx"1dt.
0

n

1
III.2.1 On pose gn(oe) : ] (l -- u)"uæ_ldu. Déterminer une relation entre 
gn(oe) et
0

gn_1(æ + 1) et en déduire l'expression de gn(æ) enfonction de a: et n.
n

En dédllil'EUR que Gn(oe) : ....

t '"
III.2.2 Montrer que pour tout t E [O,n] on a les inégalités e"t 2 (1-- --) et

. t " t " t2 "
et 2 (1 + --) . En déduire que l'on a 0 S e_t-- (l -- --) S @"lt [1 --- (1-- 
--) ] pour
n

n
tout t EUR [0,72] .

III.2.3 Montrer, par récurrence sur n, que l'on a (1 -- a)" Z 1 --- na pour tout
a EUR [O, 1] et tout n E N'". En déduire que pour tout t E [O, n] on a les 
inégalités :

n 2--t
O