SESSION 2010 PCM2006
A
CONCOURS (OMMUNS POLYTECHNIOUES
EPREUVE SPECIFIQUE FILIERE PC
MATHEMATIQUES 2
Durée : 4 heures
Les calculatrices sont interdites
NB. : Le candidat attachera la plus grande importance a la clarté, la précision
et a la conci--
sion de la rédaction ; si un candidat est amené a repérer ce qui peut lui
sembler être une erreur
d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en
expliquant les raisons
des initiatives qu'il a été amené a prendre.
PARTIE I
On note D : IR\ (--]N*) l'ensemble des nombres réels qui ne sont pas des
nombres entiers
strictement négatifs.
On considère la série de fonctions d'une variable réelle de terme général un
défini par :
1
1.1. Montrer que cette série de fonctions converge simplement sur D.
+OE)
On notera désormais U : Zun la somme de cette série de fonctions, et, pour tout
71 E ]N*,
n=1
n +OE)
Un : Zuk la somme partielle d'ordre n et Rn : î: uk le reste correspondant. On
a donc
k=1 k=n+1
Rn : U -- Un pour tout 71 E ]N*.
1.2.
1.2.1. Soit E ]N* donné. Pour tout 71 E ]N*, soit ufÎ' la dérivée de un a
l'ordre p.
EUR(
Calculer uf,(OEp a:) pour tout a: E IR, a: # --n.
1.2.2. Soient & et 19 deux nombres réels tels que --1 < a < 19. Montrer que la série de fonctions de terme général ufÎ' converge normalement sur [a, [9]. 1.2.3. Déduire de ce qui précède que U est de classe C00 sur ] -- l, +oo[. 1/3 1.3. 1.3.1. Soit N E ]N* donné. Pour tout a: E D, exprimer U(a:) a l'aide de UN(OE) et U(a: + N). 1.3.2. En déduire que U est de classe COO sur ] -- N -- 1, --N], puis sur D. 1.3.3. Soit ]? E ]N donné, p 2 2. +00 Pour tout a: E D, établir une expression de 2 W a l'aide de p et de U 0 on a ? £ U(a:) £ t--2.
oe+1 a:
En déduire un équivalent de U (33) lorsque 3: tend vers +oo.
l -- 1
1.6. Montrer que pour tout a: E D on a U(a:) : Â ]U (%) + U (1 2 >].
PART1E 11
11.1. Pour tout p E ]N on note f,, la fonction définie sur IR" par :
tp+1
et--1'
Vt EUR IR*, f,,(t) :
11.1.1. Déterminer ]inà f,,(t) selon les valeurs de p.
On notera désormais f,, la fonction f,, prolongée par continuité a IR tout
entier.
11.1.2. Déterminer un équivalent de f,,(t) lorsque t tend vers +oo.
11.2. Soit gp la fonction d'une variable réelle 3: définie par :
+oo
@(fL') = J""o(t)ff"alt = /
0 0 et--1
+OO t6--oet
dt.
11.2.1. Montrer que le domaine de définition de go est ] -- 1, +00].
11.2.2. Soient ]? E ]N et a E] -- 1, +00] donnés.
Vérifier que pour tout a: Z a et tout t 2 0 on a 0 £ fp(t)e_OEt £ fp(t)e_at.
Montrer que la fonction t |--> fp(t)e_at est intégrable sur ]0, +00].
11.2.3. Déduire de ce qui précède que gp est de classe C00 sur ] -- 1, +00].
11.2.4. Déterminer lim g0(a:).
oe-->+oo
11.3.
11.3.1. Montrer que gp(a:) -- g0(a: + 1) = 2 pour tout a: > --1.
l
(a:+1)
11.3.2. En déduire que g0(a:) : U(a:) pour tout a: > --1.
2/3
II.3.3. Soit ]? E ]N donné, p 2 2.
+00 1 +00 tp--16--oet
P t t >--1 ' --'1"dd td dt.
OUT 011 33 ,expr1meräê = % -- 1331-
1 +°°
Soit äa0(g) + Z (an(g) cos na: + bn(g) sin nav) la somme de la série de Fourier
de g.
n=1
III.1. Préciser pourquoi g est égale en tout point de IR a la somme de sa série
de Fourier.
III.2.
III.2.1. Calculer bn(g) pour tout 71 E ]N*.
III.2.2. Calculer an(g) pour tout 71 E ]N.
III.3.
+00 1
III.3.1. Calculer Z _2.
k=1 (21EUR -- 1)
III.3.2. En déduire la valeur de U (--%), puis celle de U(O).
+00 +00
1 1
111.4. Calculer % W. En déduire la valeur de la somme --4.
-- n
k=1 n=1
III.5. On note G la primitive de g telle que G(O) : O.
III.5.1. Montrer que G est impaire, périodique de période 27T.
III.5.2. Calculer les coefficients de Fourier de G.
Préciser pourquoi G est égale en tout point de IR a la somme de sa série de
Fourier.
+00 +00
1 1
III.5.3. Calculer les sommes Ë _ et --.
_ 6 6
k=1 (21EUR 1) n=1 71
Fin de l'énoncé
3/3
