SESSION 2011 PCM2006
A
CONCOURS COMMUNS POLYTECHNIQUES
EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PC
MATHEMATIQUES 2
Durée : 4 heures
N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, & la
précision et à la concision de
la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être
une erreur d 'e'nonce', il le
signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les
raisons des initiatives
qu 'il a été amené à prendre.
Les calculatrices sont interdites
Les parties 11 et 111 sont indépendantes
PARTIE 1
Soit 2 un la série de fonctions d'une variable réelle de terme général un
défini pour tout n E N*
2æ
par: pourtout OEEÆ, un(æ)=2_22.
oe +n7r
1.1.
1.1.1. Montrer que 2 un converge simplement sur Æ tout entier.
+oo
On note U = 2 un la somme de la série de fonctions 2 un .
n=1
1.1.2. Montrer que, pour tout a > O, Zun converge normalement sur [--a, a].
La série 2 un converge-t-elle normalement sur Æ '?
1.1.3. Montrer que U est continue sur Æ .
1/3
1.2.
1.2.1. Soit n E N'". Déterminer la primitive qui s'annule en 0 de la fonction
un.
1.2.2. Soit (on )OEN* la suite de fonctions définie par :
2
2
pourtout n EUR N",pourtout oe EUR Æ, Un(OE) : ln{l+OE--2J.
n7r
Montrer que 2 on converge simplement sur Æ .
+oo
1.2.3. On note V = z Un la somme de la série de fonctions 2 on .
n=1
Montrer que V est la primitive qui s'annule en 0 de la fonction U .
1.3. On considère la suite ( pn )"E N de fonctions polynômes sur Æ définie par :
pour tout oe EUR Æ, p0(æ) : oe;
2
pourtoutnEURN'etpourtoutæEURÆ, pn(æ)=æ {l--l--OE--J.
7T
Montrer que la suite ( pn )"E N converge simplement sur Æ , lorsque n tend vers
+oo,
vers une fonction p que l'on exprimera a l'aide de V puis de U .
+00 2
Pour tout oe EUR Æ, la limite donnant p(æ) sera alors notée : p(æ) : oeH{l +
kÎ--2J .
k=1 77
PARTIE II
Pour tout oe EUR Æ, on note 956 la fonction d'une variable réelle, périodique
de période 27T, telle que,
. t
pour tout t E ]--7T,71], on a1t : gæ(t) : ch[OE--] .
71
11.1.
11.1.1. Préciser pourquoi1 g est égale en tout point t E Æ a la somme de sa
série de Fourier :
--a0(æ æ)--l-- Î<% )(cos (nt) +bn (oe )sin(nt)). 11.1.2. Pour tout n E N' et tout oe ne Æ, calculer bn(æ). 11.1.3. Pour tout n E N et tout oe EUR Æ, calculer %(OE) . On distinguera les cas oe : O et $ i 0. 11.2. 11.2.1. En donnant à t une valeur particulière dans la série de Fourier de gx , montrer que, h 1 pourtout oe EUR Æ", U(æ) : C ($) ----. sh(æ ) $ 11. 2. 2. A partir de V(a: )=fÛ(t U(t )dt et du résultat de 11. 2. 1, donner a l'aide des fonctions usuelles une expression de la fonction V définie a la question 1.2.3. 11.2.3. En déduire que, pour tout oe EUR Æ, on a: sh(æ) =p(æ )=OEH{1+Ë ?} 2/3 PARTIE III Soit la la fonction définie sur Æ >< ]O, +oo[ par : pour tout (æ,t) EUR Æ >< ]O,+oo[, h(æ,t) : SMI--(m). exp(7rt) -- 1 111.1. III.1.1. Soit oe EUR Æ. Montrer que la fonction t |--> h(æ,t) admet, quand t
tend vers 0 par
valeurs positives, une limite finie que l'on déterminera.
III.1.2. Montrer que, pour tout oe EUR Æ, la fonction t |--> h(æ,t) est
intégrable sur ]0, +oo[.
III.2.
III.2.1. Montrer que la possède des dérivées partielles par rapport à $ en tout
point de Æ >< ]O, +oo[ et atout ordre. Calculer, pour tout (oe, t) E Æ >< ]O, +oo[ et n tout 77. E N*, Ô--n(æ,t). On distinguera les cas n pair et n impair. a: n III.2.2. Montrer que, pour tout oe EUR Æ et tout 77. E N , la fonction t |-->
%(æ,t)
a:
est continue et intégrable sur ]0, +oo[ .
sin(tæ)
+oo
III.3. Soit f la fonction définie sur Æ par : f (oe) : f dt pour tout oe EUR Æ.
()
exp(7rt) --
Montrer que f est de classe C00 sur Æ et que, pour tout oe EUR Æ et tout m E N ,
+00 (--1)mt2m sin(tæ) +00 (-- 1)mt2m+1 cos(tæ)
_ (2m) _ (2m+1) _
on a . æ _ dt et æ _ dt .
f ( ) f0 exp(7rt) -- 1 f ( ) f0 exp(7rt) -- 1
111.4.
III.4.1. Montrer que, pour tout t > 0, on a: =Î exp( --n7rt).
e--Xp(7rt) -- 1
III.4.2. Montrer que, pour tout 77. E N* et tout oe EUR Æ, la fonction t |-->
exp(--nwt)sin(tæ)
est intégrable sur [O,+oo[ et exprimer L+oe exp(--nwt)sin(tæ)dt a l'aide de
un(æ).
III.4.3. Pour tout 77. E N* , pour tout oe EUR Æ, pour tout t E [O, +oo[,
on pose : hn(æ,t) : Îexp(--kwt)sin(tæ) . Montrer que, pour tout oe EUR Æ et
tout t E ]O, +oo[,
k=1
h,,(æ, t) = (1 -- exp(--n7rt)) Î"Î""î .
+oo
Puis, montrer que : f(æ) : lim hn(æ,t)dt pour tout oe EUR Æ.
n-->+oo 0
En déduire une expression simple de la fonction f a l'aide de la fonction U .
Fin de l'énoncé
3/3
