CCINP Maths 2 PC 2013

SESSION 2013 PCM2006

-î- CONCOURS COMMUNS

-=- POLYTECHNIQUES

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PC

MATHEMATIQUES 2

Durée : 4 heures

N .B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, a la 
précision et a la concision de
la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être 
une erreur d 'e'nonce', il le
signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les 
raisons des initiatives
qu 'il a été amené à prendre.

Les calculatrices sont interdites

On s'intéresse ici a des suites et séries de fonctions en liaison avec des 
intégrales.

Dans la partie I7 on calcule indépendamment deux intégrales particulières (les 
questions 1 et 2
pour l'une, la question 3 pour l'autre) qui interviennent dans les parties II 
et III. Les parties II et
III sont indépendantes.

Partie I : calculs préliminaires

I - 1.
I - 1.1.
+00
1 -- t
Justifier l'existence de l'intégrale K = / %... dt.
0
I - 1.2.
A sin(t)
Pour tout A > 07 justifier l'existence de l'intégrale D(A) : / t dt.
0

I - 1.3.

Grâce à une intégration par parties7 prouver que D(A) a une limite (réelle) 
quand A tend vers

+oo --
t
--l--oo7 égale à K. C'est--à--dîre que : K = / s1n( ) dt : lim D(A).
0 t A-->+oo

I - 2.
I - 2.1.

+00 1 -- cos(t)

t2 e"'"' dt est définie et continue sur lR+.

Justifier que l'application L : a: le /
0

I - 2.2.
Montrer que7 pour tout réel a > 07 l'application L est de classe C2 sur 
l'intervalle [a, +oo[.

Etablir ensuite que l'application L est de classe C2 sur l'intervalle ]0, +oo[.

1/4

I - 2.3.

1 -- cos(t) 1 -- cos(t)

Justifier que les fonctions t 1% t2 et t 1% sont bornées sur ]0, +oo[.

Etablir alors que les fonctions a: 1% loeL'(oe)l et a: 1% loeL(oe)l sont 
majorées sur IR:

, . _ . / _ . _
En déduire que . oeli>moe L (a:) -- oeli>moe L(a:) -- O.

I - 2.4.
Pour tout réel a: > 07 exprimer L" (a:) sans utiliser d'intégrale.

On pourra remarquer que cos(t) : Re(e").

I - 2.5.
En déduire L'(a:) pour a: > 0, puis L(a:) pour oe>0. Oonclure que K = %-

I-3.

I - 3.1.

est intégrable sur ]0, 1[.

Justifier que la fonction u 1%

ln(u)
1

I - 3.2.

1
Pour tout [EUR EUR ]N7 justifier l'existence et calculer / uk ln(u) du-
0

I - 3.3.

Grâce à un développement en série de 1 pour U E ]0, 1[ et en précisant le 
théorème utilisé7

1 +00
1 1
justifier que : / n(u) du : Ë (

0 u--1 k--O k+1)2
+00 1 7T2
Par ailleurs7 on donne sans avoir a le justifier : z _ = ---
k=O (k + 1)2 6

Partie II : étude de quelques suites d'intégrales

II-1.

Rappeler avec précision le théorème de convergence dominée.
II - 2.
II - 2.1. On considère ici une application continue f : [O7 +oo[ + IR.

1
Pour tout n EUR ]N7 on pose In : / f(t") dt. Déterminer lim In.
0

n-->+oo

u) est intégrable sur ]0, 1].

II - 2.2. On suppose ici de plus que u 1% f(

Déterminer lim nl... On pourra transformer nln grâce a un changement de 
variable.
n-->+oo

II - 2.3. Application 1.

1
Déterminer un équivalent quand n + +00 de / sin(t") dt (grâce a une intégrale).
0

2/4

II - 3. On considère maintenant que f : [(), +oo[ + IR est une application 
continue et intégrable sur

IR+.

II - 3.1.
Soit 77. E ]N*.

+oo
Grâce a un changement de variable approprié, justifier l'existence de A,, = / f 
(t") dt.
1

II - 3.2.
Déterminer lim nA,, (grâce a une intégrale que l'on ne cherchera pas a 
calculer).
n--> 00
II - 4.

A
II - 4.1. Pour tout 77. EUR ]N,n>2 et tout A > 1, on pose C,,(A) : / sin(t") dt.
1

Grâce a un changement de variable et une intégration par parties, exprimer 
C,,(A) en fonction

An
1 _
de / c_3s(u)u% du et de A.
1

11.
II - 4.2.
+oo
En déduire que C,,(A) a une limite quand A + +oo, prouvant l'existence de / 
sin(t") dt
1

pour tout 77. E ]N, 7122.

II - 4.3. Application 2.

+00
Déterminer lim n / sin(t") dt grâce a K calculée en I-2.5 .
n-->+oo 0

Partie III : étude de séries de fonctions

III - 1. Un premier exemple.

III - 1.1.
+oo
Pour tout a: E ]--1,1[, calculer F(a:) : 2 $" ainsi que F'(oe).
n=1
III - 1.2.
, . . . . / - 2 /
Determ1ner li1 oe-->1

1--oe"

\n.
1--a:

III - 3. Dans cette question7 f est une application réelle continue et 
croissante sur [0,1[ avec

f (U)

f(0) : 0 et telle que u le -- soit intégrable sur 10,11.
u

Soit 513 610,11.
III - 3.1.
+00 1
Justifier l'existence de G(a:) : / f(oe") dt et l'égalité G(a:) : --1 1 / @ du.
0 H(OE) 0 U
III - 3.2.

Pour tout 77. EUR lN"7 justifier l'encadrement :
n+1 n
] f(sc') dt < f(oe") < ] f(OE') dt- n n--1 III - 3.3. +oo En déduire l'existence de F (a:) = 2 f ($")7 ainsi qu'un encadrement de F (a:) par deux intégrales n=1 dépendant de $. III - 3.4. Conclure avec soin que : li1

III - 4. Un dernier exemple.

+oo
Pour tout a: E ]--1,1[7 on pose enfin cette fois : F(a:) : -- z ln(1 -- oe").
n_1

III - 4.1.
Montrer que F est définie et de classe C1 sur ]--17 11 et exprimer sa dérivée 
sous la forme d'une

série de fonctions.

III - 4.2.

1
1
Grâce a III - 3.4.7 montrer que li1

III - 4.3.
Par une méthode similaire a celle de III - 3.7 montrer que :

1_ 1 2+OO nsc" _ 1ln(u)d

oe-->1

En déduire li1

Fin de l'énoncé

4/4

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