Centrale Maths 1 PC 2000

MATHÉMATIQUES / Filière PC

MATHÉMATIQUES |

Partie I -

Soit E l'espace vectoriel réel des fonctions continues à valeurs réelles 
définies
sur l'intervalle [O, n] , que l'on munit du produit scalaire

(fig) + (fig) = i J0nf(t)g(t)dt
et des normes

f--> llfll1 = Jo"lf(t)|dt,
f--> ||f||2 = «/_(fIf ,

f-->llf|l...,= SUP VW-

0 S t S 'II
Pour tout n & IN , on note en (respectivement % ) la fonction définie sur [O, 
715] par
la formule cn(t) : cos(nt) (respectivement sn(t) : sin(nt) ).

Pour tout f e E , on note ;" la fonction définie sur IR, 27t -périodique, 
paire, coïn-
cidant avec f sur l'intervalle [O, n] et ;" la fonction définie sur IR, 27: 
-périodique,
impaire, coïncidant avec f sur l'intervalle ]O, n[ et vérifiant la condition
suivante : en tout point x de IR

f(x) = %( lim (Î(x+h)+Î(x--h))).

h-->O,h>0

I.A -

I.A.1) On considère la fonction f définie sur [O, 71:] par la formule
f (t) = -- 2t + n .

Représenter graphiquement les fonctions ? et Î .

I.A.2) Soit f un élément de E . Montrer (soigneusement) que la fonction Î est
définie et continue, et que la fonction f est définie et continue par morceaux.
Donner une condition nécessaire et suffisante pour que la fonction f soit conti-
nue.

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MA THÉMA TIQUES / Filière PC

Filière PC

LB -
I.B.1) Soit f un élément de E .
Montrer que sur l'intervalle [O, n] , le problème aux limites

{w = --f
y(0) = y(fi) = 0

admet une solution et une seule notée Tf .
Indication : si on désigne par
t
FO :tæj0 f(u)du

la primitive de f sur [O, %] s'annulant en 0, on pourra exprimer Tf à l'aide
d'intégrales comportant FO .

L'objet du problème est d'étudier l'application T.

I.B.2) Déterminer précisément Tf lorsque f est la fonction définie au I.A.1)
et en donner une représentation graphique.

Partie II - Valeurs propres et vecteurs propres de T

II.A - Montrer que l'application T : f ----> Tf est un endomorphisme de E . 
Déte-
rminer son noyau et son image.

II.B - Pour tout entier naturel n , calculer Ton .
II.C - Vérifier que, pour tout couple (f 1,f 2) d'éléments de E ,
(Tf1lf2) : (f1lez)

Que peut-on dire de ( f 1|f 2) lorsque f1 et f 2 sont des vecteurs propres 
associés
à des valeurs propres distinctes ?

II.D - Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres de T.

ILE - On note S : (sn)nEUR }... .
II.E.1) Montrer que S est une famille orthonormale.

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MA THÉMA TIOUES / Filière PC

II.E.2) Soit f un élément de E . Pour tout N 6 IN* , on pose
N

fN : 2 (f|3n)3n-

n = 1
Que représente f N pour la fonction 2% -périodique Î ?

: l' -- = .
En conclure que N1_}m+oe||f f N||2 0

Déduire de là que, si f est orthogonal à S , la fonction f est nulle.

II.F - On note C l'ensemble des en lorsque n décrit IN .
II.F.1) La famille C est-elle orthonormale ?

II.F.2) Pour tout N 6 IN* ,on pose
N

hN : %(f|co) + 2 (f|cn)cn , où f est un élément de E . Montrer que
n=1

lim ||f--hN"2 : o.

N-->+oo

Que peut-on dire si f est orthogonal à C '?

Partie III - Représentation intégrale de T

HLA - Soit f un élément de E. En écrivant la formule de TAYLOR avec reste
intégrale à l'ordre 1 entre 0 et x puis entre 0 et n , montrer que, pour tout
x EUR [O, R],

Tf(x) = [O"k(x,t)f(t)dt ,où

t(rc--x)

" si OSth
k(x,t) :
x(nfi--t) si OSx< [O, %] sépa- rément continue en x et en t satisfaisant à la condition Tf(x) : I0nk(x, t)f(t)dt pour tout fe E et pour tout x e [O, n] . III.C - III.C.1) Démontrer que la fonction le admet un maximum M atteint en un point unique A de [O, 11:] >< [O, n] et déterminer M et A (pour x fixé dans [O, n] , on pourra commencer par étudier la fonction t--> k(x, t) sur [O, n] ).

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MATHÉMATIQUES / Filière PC
III.C.2) En déduire que, pour tout f E E ,
||Tfll... s Ëllfll1. -- (1)

III.C.3) En considérant la suite (f n)n 21 où

n
(gt) si OStS
TE

MIT--l

fn(t) = n
(%(n--t)) si %sp.

p=1p

IV.A.1) Démontrer que la série du second membre converge normalement sur
l'intervalle [O,n].

IV.A.2) Prouver que T"f : Tnf , pour tout f & E et tout n e ]N*.

IV.B - Déterminer les valeurs propres et les espaces propres de T" .

IV.C-

IV.C.1) Soit f un élément de E. Montrer que la suite de fonctions (T"f)n21
converge uniformément sur [O,n] vers une fonction que l'on déterminera ;

(il pourra être utile d'étudier le comportement de la suite

( 2 %] lorsque n augmente indéfiniment).
p = 2 p n 2 1

IV. 02) Donner l'expression explicite de la limite de (Tn f ) lorsque f est la 
fonc-
tion définie au I.A.l).

00. FIN 000

Concours Centrale--Supélec 2000 5/5