Centrale Maths 1 PC 2004

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Dans tout le problème, a : (an)n EUR IN désigne une suite de complexes et 2anzn

la série entière associée, dont le rayon de convergence Ra est supposé non nul
et fini.

On note Ca l'ensemble des complexes 2 de module Ra tels que ganz"
est convergente.

On appelle cercle unité l'ensemble des complexes de module 1 : un complexe z
appartient au cercle unité si et seulement s'il existe un réel x appartenant à
l'intervalle I : ]--n,n] tel que 2 = e".

D'autre part on note: 2352 : {2krc|k EZ} , et [[ p,ql] désigne l'ensemble des
entiers naturels k vérifiant : p 5 k 5 q .

On étudie différentes séries entières pour lesquelles l'ensemble Ca prend 
diffé--
rentes formes.

Dans le cas où Ca est un cercle, on propose d'observer différents comportements
de la fonction somme de la série entière sur ce cercle.

Partie I - Calculs préliminaires

Les résultats de cette partie sont destinés à préparer les démonstrations des
parties suivantes.

I.A - Montrer les inégalités :

Vx EUR [0,15], 0 s sinx 5 x et Vx EUR [Opt/2], sinx z îx .

I.B - Montrer que pour tout x qui appartient à IR\2nZ et pour tout couple
d'entiers naturels (p, q) tel que p 5 q :

q
ikx
2e
k=p

1 0
sin (£)
2

LC - Soient (un) E

S

. et (Un) . deux suites complexes.
n &

IN IN

On note (Vn) & * la suite des sommes partielles de la série 2 Un :
n

ÏN

nal

n
pourtoutnem*, Vn = 2 Uk-
k=l

I.C.1) Montrer que pour tout couple d'entiers naturels (p, q) tel que
lspC
.nx.

n: (,
x-->ane

Montrer que la série de fonction 2fn converge uniformément sur I vers une
fonction continue sur I .

II.B.3) Donner un exemple simple de série entière îanz" pour laquelle Ca
est le cercle unité.

II.C - Donner un exemple simple de série entière 2anzn pour laquelle Ra : 1
et Ca est vide.

II.D - Construction de quelques cas intermédiaires.

II.D.1) On suppose qu'il existe un complexe 20 de module 1 tel que Eanzg soit

semi-convergente (c'est-à-dire que îanzg est convergente mais ne converge pas
absolument).

Montrer qu'alors Ra : 1 .

II.D.2) Soit & un complexe de module 1. Si pour tout n EUR 1N* , an : -l--n , 
mon-
trer que Ca est le cercle unité privé d'un point à déterminer. "&

II.D.3) Soit p & ]N* et p complexes distincts gl, ëp , tous de module 1.

Construire un exemple de série entière Eanzn pour laquelle Ca est le cercle
unité privé des p points 131, ëp. -

II.D.4) On suppose que, pour tout n EUR IN* , an. : %Ë .

Déterminer Ra et Ca.

La série 2 |an| est-elle convergente '?
n a 1

Partie III - Un exemple pour lequel Ca est le cercle unité et
Elan| diverge

Dans cette partie, on définit la suite a,, de la façon suivante :
° a 0 = O ,
0 pour tout naturel p non nul et tout naturel n tel que

(--1)p
2 .
P

pzsns(p+l)2--l :an=

HLA - Montrer que la série 2 |a,,| est divergente.
(On pourra par exemple chercher un équivalent de '|an] ).

III. B- Soit (An ) la suite des sommes partielles de la série numérique 2azn.

III. B. 1) Pour N E IN* ,on note P le plus grand entier naturel vérifiant: P2 5 
N.

On pose . RN: AN--AP2_I.

2P+1
P2

III.B.2) En déduire que la série Ean est convergente.

Montrer que [RM 5

III.C - Soit 2 : eix un complexe de module 1, avec x non nul appartenant à I .

III.C.1) Calculer la,, +1 -- an| suivant les valeurs du naturel n , et en 
déduire que

la ser1e Elan + 1 --a n| est convergente.

III. C. 2) Déduire des résultats précédents et de la partie I que la série Ean 
z"
est convergente.

Partie IV - Un dernier exemple

IV.A - On veut montrer qu'il existe une constante réelle C1 telle que pour tout
entier naturel non nul n et tout réel x :

kE sin(kx)£

Soient x E ]O, n[ et kx le plus grand entier naturel tel que kx - x s 315 .
IV.A.1) On suppose que 1 s n s kx . Montrer que :

n

sin(kx)
Oskz1 k sn.

IV.A.2) On suppose que n > kx . Montrer que :

î sin(kx)

k 52.

k=h+l

On pourra notamment utiliser le résultat de la question I.C.1.
' IV.A.3) Conclure.

IV.B - Soit n et N deux entiers naturels tels que : 1 s n 5 N .
Soit Qn, N le polynôme défini par :

N--1 1 k N+n 1 k
Qn,N(X)= 2 N--kX + 2 N--kX°
k=N--n k=N+l

IV.B.1) Soit x E IR. Montrer que :

n

Qn,N(eix) : _2ieiNx 2 s1näkx)_
k=1

IV.B.2) En déduire qu'il existe 'une constante réelle C2 telle que, pour
tout couple de naturels (n, N) tel que 1 s n 5 N et tout complexe 2 de module 1 
:

IQÛ,N(2)I 5 C2 .
IV.C - Pour tout entier naturel non nul j , on pose :
_ (j3) _  __
nj--2 ,Nj--2 etlj-- [[Nj--nj,Nj+nJ-fl.

Vérifier que les intervalles Ij ainsi définis sont disjoints deux à deux.

Pour toute la suite du problème, on pose pour tout naturel j non nul:
P j : an, N]. , et on définit les suites (ak)k EUR IN et (ak)k E N de la façon 
suivante :

0 s'il existe jEIN* tel que kte,etk=NJ-,alorsz

1 e/j
et ak : --------- ;
Nrk jzC

n' inx '
x-->ane

On veut prouver que la série de fonctions 2 fn ne converge pas uniformément
sur I.

IV.G.1) Montrer que, pour tout entier naturel j non nul :

AN(--;--) AN...---n--l( })= 45275

Jk=l

IV.G. 2) Donner un équivalent simple de cette expression lorsque j tend
vers +00 et conclure.

IV.H - Donner Ra et Ca.

ooo FIN ooo