Centrale Maths 1 PC 2006

 

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Notations

On note I le segment [--1 ,1] de IR et E l'espace préhilbertien complexe des 
fonc-
tions continues sur I à valeurs complexes muni du produit scalaire :

(fis) H (fis) = fÎÎÎ)g(t)dt .
1

Pour tout nombre complexe z n'appartenant pas à l'intervalle ]--oo, O] , on note

Arg(z) {unique nombre réel appartenant à l'intervalle ]--n:,n[ tel que
2 : |zle' rg Z .

P EIN2 t s c#": " =.__ÆL_--
our (n,p) e p n, n (p) p!(n--p)!

Questions préliminaires

a) Déterminer le développement en série entière au point 0 de la fonction :

pa1yam...ms 1

M

et préciser le rayon de convergence de la série entière obtenue.

b) Pour n E ]N , on pose

1 (271)
a = -- .
n 2271 n

Montrer que la fonction :

00

cp : C--> @, zr--> 2 anzn est définie sur A : {zE C||zl < 1}. n = 0 c) Montrer que cp est une racine carrée de la fonction A --> C , z l----> ---î----Z- autrement dit, pour tout 2 EUR A , (cp(z))2 : 
Ï_--1--_z°

d) Montrer que :

1 --£Arg(l --z)

2
dll--Zl

Vz EUR A , cp(z) : e . Que vaut cp(x) lorsque x E]--1,1[ ?
On pourra dorénavant noter

cp(z) : (l--z)_1/2 pour zEA.

e) Cette question est indépendante des précédentes.

Pour tout entier naturel n , prouver l'existence d'une fonction polynomiale H "
telle que, pour tout réel 9 , on & H,,(cos6) : cosn6 .

Partie I -

I.A - Montrer que, pour tout t E I , la fonction

'Pt îl-1, 1[-->ÏR, fo(t,x) définie par : 1pt(x) : (1 --2xt+x2)--1/2

est l'unique solution sur ]--1, 1[ d'une équation différentielle linéaire du 
premier
ordre à coefficients polynomiaux prenant la valeur 1 en 0. On donnera cette
équation différentielle :

(E) : a(t,x)y' + b(t, x)y : 0 où a et b sont des polynômes unitaires en x.

I.B -
I.B.l) Vérifier que pour x E ]--1,1[ et 6 E ]R on a

00

woese(x) = cp(xeie)cp(xe--ie),puis woese(x) = E Gn(8)xn

n = 0
où G,, est une combinaison linéaire à coefficients positifs d'applications de la

forme 6 1--> eik6 où le EUR 2 . Préciser la valeur de G,,(O) .

I.B.Z) Montrer que pour n EUR IN et 8 EUR IR, on a G,,(B) : P,,(cosô) où Pn est
un polynôme à coefficients réels.

I.B.8) Montrer que pour n EUR IN et 6 EUR IR , on a ]Gn(6)| s G,,(O) , puis que 
pour
tE[--1, 1] et xE]--l,l[, f(t,x) : 2 Pn(t)xn (1)
n=0

avec convergence normale sur [--1, 1] >< [--a, et] où a E ]0, 1[ . I.B.4) Montrer que la suite (Pn)n20 vérifie P0(t) : 1 , Pl(t) : t et pour nal,(2n+l)tPn(t) : (n+1)Pn+l(t)+nPn_l(t) (2) I.B.5) Déterminer pour tout n E ]N le degré et la parité de Pn . Déterminer le coefficient dominant de Pn , ainsi que Pn( 1) et Pn(--1) . I.C - I.C.1) Soit a et b deux éléments distincts de ]1, +oo[ . Calculer et simplifier la dérivée de la fonction définie sur [---1 ,1] par : h : t l--> ln{OE--_--QË--(--bj--) _ A/(a _ t)(b -- t)]

après avoir vérifié qu'elle est bien définie.
En déduire la valeur de l'intégrale :

pour tout couple (a,b) d'éléments de ]1, +oo[.

1 dt
f--l A/(a -- t)(b ---- t)
I.C.2) Montrer que :

] 1 1+ .../xy ,, ,
@ t'dt=--r--l tt 1 , dl td
f_1f( x)f( y) xy DL _ @] pour ou coup e (x y) e emen S EUR

]0,1[.

On admettra sans démonstration l'identité suivante :

sz--y(1--x><1--y)--<1+xy)+4xy = (1+JaÎy)2(2fiÿ--(x+y)) 1.0.3) a) Pour tout couple (x, y) d'éléments de ]0, 1[ établir que : 1 1 + @] °° 2 n n --l = . @ "L _ @ 2n + 1°C y b) On fixe y dans l'intervalle ]0, 1[ . Montrer que, pour tout couple (t,x) appar- tenant à lx ]0, 1[ : f(t,x)f(t,y) = E Pn(t)f(t,y)x" n = 0 la série convergeant normalement sur tout l'ensemble de la forme 1 x ]0, a] avec a E ]O, 1[ . Conclure que : f_lan(t)f(t,y)dt = ' " 2n+1y' c) En écrivant que, pour tout (t,y)EURlx]0, 1[, f(t,y) : î Pm(t)ym, prouver que, pour tout n E ]N : m = 0 % (f_]1Pn(t)Pm(t)dt)ym : 2 yn. 2n+1 m=0 d) Conclure que 1 2 f_an(t)Pm(t)dt : ô 2n+1n,m où 6 est le symbole de Kronecker :ôn,m : 1 si m = n et ôn,m : 0 sinon. n,m Interpréter le résultat obtenu. I.D - Soit n un entier supérieur ou égal à 1 et 2 un zéro de Pn (a priori dans P t 43 ). On note Rn la fonction polynôme telle que, pour t := z , Rn(t) : t"_(Z) . I.D.1) Calculer (Rann)-- _ I.D.2) En déduire que 2 est réel et que M < 1 . I.D.3) Montrer que 2 est une racine simple de Pn . I.E - LED En utilisant (2), établir que, pour tout entier naturel n et tout couple (x,y) de nombres complexes distincts : [Pn +1(ac)Pn(y)----Pn(oc)Pn+1(3V)] x--y ' E (2k+ 1)Pk(x)Pk(y) : (n+ l) (3) k =O _ I.E.2) En déduire que, pour tout x E C : 2 (27EUR + 1)(Pk(DC))2 = (" +1)[P'n+1(x)Pn(x)--P'n(x)Pn+1(x)l (4) k =o I.E.3) Déduire de cette dernière formule que tout zéro de Pn est strictement compris entre deux zéros consécutifs de Pn + 1 . I.F - Pour toute fonction f de classe % 2 sur I , on note Af la fonction de I dans C définie par : M... = %[(1--t2)f'(t)l Prouver que, pour tout couple (f ,g) de fonctions de classe % 2 sur I , (Aflg) = (flAg)- _ En déduire que, pour tout n .>. 1 et tout entier le , 0 5 k 5 n --- 1 , 
(Pk|APn) : 0 .

En déduire que Pn est solution de l'équation différentielle :

(1--t2)y"--2ty'+n(n+l)y = o. (5)
Partie II-

II.A -

II.A.1) On associe à n EUR IN et à fe E le coefficient Cn(f) : (Pn|f).
Montrer que la série de terme général

(n + %) |cn( f )12 est convergente.

II.A.2) Montrer, à l'aide de I.F - que si f E E est de classe % 2 sur I , alors 
la
série 2n5|cn( f )l2 est convergente.

En déduire que la série En}cn( f )\ est convergente.

II.B -
II.B.1) Pour tout n EUR IN , on définit fn dans E par fn : t+--> t".
Montrer que si f EUR E est telle que, pour tout n EUR IN , ( f n' f ) = 0 alors 
f est nulle.

II.B.2) Supposant f E E de classe % 2 sur I , montrer que l'expression :

OO

g(t) : f(t) --- E (n + %) cn(f)Pn(t) définit sur 1 une fonction continue g.

n = 0
II.B.3) Montrer que g est nulle.

II.B.4) Déduire de ce qui précède une condition suffisante pour que la série de
fonctions

2 (n + %>cn(f)Pn converge normalement sur I et ait pour somme f .

Pn(t)--Pn(x)

est
t--x

II.C - Pour tout n EUR IN et tout x E IR , vérifier que la fonction t +-->
intégrable sur le segment I .

Établir que, pour tout n EUR IN , la fonction x +----> Qn(x) définie par :

Qn(x) = f' @ dt
--1 t--x
est une fonction polynôme de degré (n -- 1) et que la suite (Qn)n EUR... 
vérifie les

conditions initiales QQ : O, Ql : 2 et la même relation de récurrence que la
suite (Pn)nElN à partir du rang n = 1 .

II.D - Soit nEIN* fixé. On note a], ...,an les zéros de Pn écrits dans l'ordre
croissant, i.e. _]  IR, Pr-->P(ai) . Montrer que %
est une base de l'espace vectoriel des formes linéaires sur R,, _ 1[X ] .

II.D.3) En déduire qu'il existe une suite (>... >...) de nombres réels et une
seule telle que :

VPERn_1[X],J'1]P(t)dt : 2 A, P(a,).

L=l

II.D.4) Montrer, en utilisant éventuellement une division euclidienne par Pn :

VPER2n_1[X],IÎ]P(t)dt = 2 x, P(a,). (6)

L=l n

II.D.5) Montrer que les_ki sont éléments de lRî et que 2 ki : 2
ILE - "'

II.E.1) Montrer que si Q,, est le polynôme défini en II.C alors, avec les nota-
tions de HD, on a :

7%

x--ai

Q,,(x) = P,... 2

L = 1
on pourra commencer par examiner le cas Où x > 1 .

II.E.2) En déduire que les (n -- 1) zéros de Qn sont situés strictement entre 
les
zéros de Pn .

II.F -
II.F.1) Montrer, pour x > 1 , que :

Q(x) x+l n' }" a'2n ] 1t2n
PZ(x)--ln _;271 _1x_tdt.

II.F.2) En déduire que, pour tout a > () , la suite de fonctions
(&)
Pn nEURlN

approche uniformément la fonction

x+l
x--l

x +--> ln< ) sur l'intervalle [1 + oc, +oo[ . 00. FIN ooo